二次微分

数学において、リーマン面上の二次微分は、正則余接束の対称正方形の切断である。切断が正則である場合、二次微分は正則であると言われる。リーマン面上の正則二次微分のベクトル空間は、リーマン・モジュライ空間、またはタイヒミュラー空間への余接空間として自然に解釈される。

複素平面上の領域上の各二次微分は と表記されます。ここでは複素変数、 は上の複素数値関数です。このような「局所」二次微分は、 が正則である場合に限り正則です。一般的なリーマン面のチャートと上の二次微分が与えられると、プルバックは複素平面上の領域上の二次微分を定義します。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle f(z)\,dz\otimes dz}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle R}$${\displaystyle q}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (\mu ^{-1})^{*}(q)}$

がリーマン面上のアーベル微分である場合、 は二次微分です。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega \otimes \omega }$

正則二次微分は、その零点の補集合上のリーマン計量を決定します。 が複素平面上の領域上で定義され、 である場合、関連付けられたリーマン計量は（ ）です。 は正則であるため 、この計量の曲率は 0 です。したがって、正則二次微分は、となるの集合の補集合上の平坦計量を定義します。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle |q|}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q=f(z)\,dz\otimes dz}$${\displaystyle |f(z)|(dx^{2}+dy^{2})}$${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f(z)=0}$

• クルト・ストレベル、二次微分。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3)、5. Springer-Verlag、ベルリン、1984. xii + 184 pp. ISBN  3-540-13035-7。
• Y. 今吉・M. 谷口正之『タイヒミュラー空間入門』。著者らによる日本語版からの翻訳・改訂。Springer-Verlag、東京、1992年。xiv + 279頁。ISBN 4-431-70088-9。 
• Frederick P. Gardiner、「Teichmüller理論と二次微分」、Wiley-Interscience、ニューヨーク、1987年、xvii + 236ページ、ISBN 0-471-84539-6。