チェンクラス

チャーン類は特性類の一種です。これらは滑らかな多様体上のベクトル束に関連付けられた位相不変量です。一見異なる2つのベクトル束が同一であるかどうかという問いに答えるのは非常に難しい場合があります。チャーン類は簡単な判定法を提供します。2つのベクトル束のチャーン類が一致しない場合、それらのベクトル束は異なると判断できます。しかし、その逆は必ずしも真ではありません。

位相幾何学、微分幾何学、代数幾何学においては、ベクトル束が持つ線形独立なセクションの数を数えることがしばしば重要となる。チャーン類は、例えばリーマン・ロッホの定理やアティヤ・シンガーの指数定理などを通じて、この点に関する情報を提供する。

チャーン類は実際に計算することも可能です。微分幾何学（および一部の代数幾何学）では、チャーン類は曲率形式の係数に関する多項式として表現できます。

このテーマへのアプローチ方法は様々であり、それぞれがチェルン級数の異なる側面に焦点を当てている。

チャーン類への本来のアプローチは代数トポロジーによるものでした。チャーン類は、ベクトル束と分類空間（この場合は無限グラスマン多様体）を関連付ける写像を提供するホモトピー理論によって生じます。多様体M上の任意の複素ベクトル束Vに対して、 Mから分類空間への写像fが存在し、束Vは分類空間上の普遍束をfで引き戻したものと等しくなります。したがって、 Vのチャーン類は、普遍束のチャーン類を引き戻したものとして定義できます。さらに、これらの普遍チャーン類は、シューベルトサイクルを用いて明示的に記述できます。

Mから分類空間Vへの任意の 2 つの写像fとgについて、それらの引き戻しが同じ束 V である場合、これらの写像はホモトピックでなければならないことが示せる。したがって、任意の普遍チャーン類からMのコホモロジー類へのfまたはgによる引き戻しは、必ず同じ類となる。これは、 Vのチャーン類が適切に定義されていることを示している。

チャーンの手法は、主に本稿で説明する曲率アプローチを通して、微分幾何学を用いた。彼は、以前の定義が実際には自身の定義と等価であることを示した。その結果得られた理論は、チャーン＝ワイル理論として知られている。

また、アレクサンダー・グロタンディークによるアプローチでは、公理的には線束の場合のみを定義すればよいことが示されている。

チャーン類は代数幾何学において自然に現れる。代数幾何学における一般化されたチャーン類は、任意の非特異多様体上のベクトル束（より正確には、局所自由層）に対して定義できる。代数幾何学的チャーン類は、基礎となる体が特別な性質を持つことを必要としない。特に、ベクトル束は必ずしも複素数である必要はない。

特定のパラダイムに関わらず、チャーンクラスの直感的な意味は、ベクトル束のセクションの「必要な零点」に関係しています。たとえば、毛玉を平らに梳かすことはできないという定理（毛玉定理）が挙げられます。厳密に言えばこれは実ベクトル束に関する問題ですが（球の「毛」は実際には実数直線のコピーです）、毛が複素数である場合（下記の複素毛玉定理の例を参照）、または他の多くの体上の 1 次元射影空間の場合にも一般化できます。

詳しくは、チャーン・サイモンズ理論を参照してください。

滑らかな多様体M上の複素ランクnの複素ベクトル束Vが与えられたとき、ベクトル束の接続を固定する。${\displaystyle \nabla }$.次に、各チャーンクラスの代表者（チャーン形式とも呼ばれる）${\displaystyle c_{k}(V)}$Vの係数は、曲率形式の特性多項式の係数として与えられる。${\displaystyle \Omega }$の${\displaystyle \nabla }$。

$$\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}}$$

行列式は環上で${\displaystyle n\times n}$要素がM上の偶数次複素微分形式の可換代数の係数を持つtの多項式である行列。曲率形式${\displaystyle \Omega }$Vの定義は次のように定義されます。 $${\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}$$ ω は接続形式 、d は外微分、または同じ式で ω がVのゲージ群のゲージ場である場合。スカラーtはここでは行列式から和を生成するための不定値としてのみ使用され、 I はn × n単位行列を表します。

与えられた式がチャーンクラスの代表であると言う場合、ここでいう「クラス」とは、厳密微分形式の加算を除いてクラスを意味する。つまり、チャーンクラスはド・ラームコホモロジーの意味でのコホモロジークラスである。チャーン形式のコホモロジークラスは接続の選択に依存しないことが示される。${\displaystyle \nabla }$。

行列の恒等式から導かれる${\displaystyle \mathrm {tr} (\ln(X))=\ln(\det(X))}$それ${\displaystyle \det(X)=\exp(\mathrm {tr} (\ln(X)))}$.ここで マクローリン級数を適用すると${\displaystyle \ln(X+I)}$すると、チャーン形式について次の式が得られます。

$${\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[1+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right]。$$

チャーンクラスはオイラークラスを用いて定義することができる。これはミルナーとスタシェフの著書で採用されているアプローチであり、ベクトル束の向き付けの役割を強調している。

基本的な観察は、複素ベクトル束には標準的な向きが備わっているということです。${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$連結している。したがって、束の最上位のチャーン類をそのオイラー類（基となる実ベクトル束のオイラー類）と定義し、下位のチャーン類を帰納的に扱う。

正確な構成は次のとおりです。アイデアは、基数変換を行ってランクが1少ないバンドルを取得することです。${\displaystyle \pi \colon E\to B}$をパラコンパクト空間B上の複素ベクトル束とする。B がゼロ切断としてEに埋め込まれていると考えると、${\displaystyle B'=E\setminus B}$そして、新しいベクトルバンドルを定義します。 $${\displaystyle E'\to B'}$$各ファイバーは、 Eの ファイバーFと、 F内の非ゼロベクトルvによって張られる直線との商である（ B′の点は、EのファイバーFとF上の非ゼロベクトルによって指定される。）^{[ 4 ]}すると${\displaystyle E'}$Eのランクより1つ低いランクを持つ。繊維束のギシン配列から${\displaystyle \pi |_{B'}\colon B'\to B}$: $${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,}$$ 私たちは、${\displaystyle \pi |_{B'}^{*}}$は同型写像である${\displaystyle k<2n-1}$。 させて $${\displaystyle c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E')&k<n\\e(E_{\mathbb {R} })&k=n\\0&k>n\end{cases}}}$$

次に、この定義に対してチャーンクラスの公理が満たされているかどうかを確認するには、多少の作業が必要となる。

参照：トム同型性。

させて$\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$をリーマン球面とする。1次元複素射影空間とする。z をリーマン球面の正則局所座標とする。${\displaystyle V=T\mathbb {CP} ^{1}}$複素接線ベクトルの束は、次の形式をとる。${\displaystyle a\partial /\partial z}$各点において、aは複素数である。我々は、毛玉定理の複素数版を証明する。 すなわち、 V には、至るところでゼロでない断面は存在しない。

そのためには、次の事実が必要です。自明なバンドルの最初のチャーンクラスはゼロです。つまり、 $$\displaystyle c_{1}(\mathbb {CP} ^{1}\times \mathbb {C} )=0.}$$

これは、自明な束は常に平坦な接続を持つという事実によって証明されます。そこで、次のことを示します。 $${\displaystyle c_{1}(V)\not =0.}$$

ケーラー計量について考えてみよう$${\displaystyle h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

曲率2形式は次のように与えられることが容易に示される。 $${\displaystyle \Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

さらに、第1チャーンクラスの定義により $${\displaystyle c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\operatorname {tr} \Omega \right].}$$

このコホモロジー類がゼロでないことを示さなければならない。リーマン球面上での積分を計算すれば十分である。 $${\displaystyle \int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2}$$極座標 に切り替えた後。ストークスの定理により、完全形式は積分すると0になるため、コホモロジークラスはゼロではない。

これは次のことを証明する$\displaystyle T\mathbb {CP} ^{1}}$これは自明なベクトル束ではない。

束/束の正確な順序があります: ^{[ 5 ]}$$\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {CP} ^{n}\to 0}$$ どこ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}}$は構造層（つまり、自明な線束）であり、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)}$はセルのねじれ層（すなわち、超平面束）であり、最後の非ゼロ項は接層/束である。

上記の数列を取得するには、2つの方法があります。

総チャーンクラスの加法性により${\displaystyle c=1+c_{1}+c_{2}+\cdots }$（つまり、ホイットニー和の公式） $${\displaystyle c(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {CP} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1},}$$ ここで、aはコホモロジー群の標準生成子である。${\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n},\mathbb {Z} )}$すなわち、トートロジー線束の第一チャーン類の否定である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(-1)}$（注記：${\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)}$いつ${\displaystyle E^{*}}$はEの双対である。）

特に、${\displaystyle k\geq 0}$、 $${\displaystyle c_{k}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.}$$

これらの抽象的性質を使用して、線束の残りのチャーンクラスを計算できます。${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$思い出してください。${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{*}\cong {\mathcal {O}}(1)}$表示中${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))=1\in H^{2}(\mathbb {CP} ^{1};\mathbb {Z} )}$テンソルパワーを使用すると、それらをチャーンクラスに関連付けることができます。${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(n))=n}$任意の整数に対して。

チャーンクラスは以下の4つの公理を満たす。

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$すべてのEについて。
2. 自然さ: もし${\displaystyle f:Y\to X}$は連続であり、f*EはEのベクトルバンドルプルバックである。${\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)}$[ ^{15 ]​}
3. ホイットニー和の公式: もし${\displaystyle F\to X}$別の複素ベクトル束である場合、直和のチャーン類は${\displaystyle E\oplus F}$^{[ 16 ] [ 17 ]}によって与えられる。$${\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);}$$つまり、$${\displaystyle c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).}$$
4. 正規化:トートロジー線束の全チャーン類${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k}}$は 1− Hであり、Hは超平面のポアンカレ双対である。${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbb {CP} ^{k}}$。

あるいは、アレクサンダー・グロタンディーク（1958 ）はこれらを、やや少ない数の公理に置き換えた。 

• 自然さ：（上記と同じ）
• 加法性: もし${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$ベクトル束の正確なシーケンスである場合、${\displaystyle c(E)=c(E')\smile c(E'')}$。
• 正規化: Eが線束である場合、${\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathbb {R} })}$どこ${\displaystyle e(E_{\mathbb {R} })}$これは、基礎となる実ベクトル束のオイラー類である。

彼は、ルレイ・ヒルシュの定理を用いて、任意の有限ランクの複素ベクトル束の全チャーン類は、トートロジー的に定義された線束の第一チャーン類によって定義できることを示した。

すなわち、射影化を導入する${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$n階の複素ベクトル束E → B を、任意の点でファイバーがB上のファイバー束として定義する。${\displaystyle b\in B}$はファイバーE _bの射影空間です。この束の全空間は${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$は、同義複素線束を備えており、それを次のように表記する。${\displaystyle \tau }$そして最初のチャーン級 $${\displaystyle c_{1}(\tau )=:-a}$$ 各ファイバーに対する制限${\displaystyle \mathbb {P} (E_{b})}$複素射影空間のコホモロジーを考慮して、ファイバーのコホモロジーを張る超平面の（ポアンカレ双対）クラスを差し引く。

クラス $${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbb {P} (E))}$$ したがって、ファイバーのコホモロジーの基底に制限されたアンビエントコホモロジークラスの族を形成する。Leray –Hirschの定理は、任意のクラスが${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} (E))}$は、基底上のクラスを係数とする1、a、a ²、...、a ^{n −1の線形結合として一意に記述できます。}

特に、Eのチェルンクラスをグロタンディークの意味で定義することができ、${\displaystyle c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)}$このようにクラスを拡張することで${\displaystyle -a^{n}}$関係性： $${\displaystyle -a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E).}$$

そうすれば、この代替定義が、自分が好む他の定義と一致するかどうかを確認したり、あるいは以前の公理的特徴付けを使用したりできます。

実際、これらの特性はチャーンクラスを独自に特徴づけるものであり、とりわけ以下のことを示唆している。

• nがVの複素ランクである場合、${\displaystyle c_{k}(V)=0}$すべてのk > nに対して。したがって、全チャーンクラスは終了する。
• 最上位のChernクラスV（つまり、${\displaystyle c_{n}(V)}$（ここでnはVのランク）は常に基礎となる実ベクトル束のオイラー類に等しい。

コホモロジー環の代数幾何学的類似物であるチャウ環に値をとる、別のチャーンクラスの構成法も存在する。

させて${\displaystyle X}$次元の非特異準射影多様体である${\displaystyle n}$代数ベクトル束を割り当てる、唯一のチャーン類の理論が存在することが示される。${\displaystyle E\to X}$要素へ${\displaystyle c_{i}(E)\in A^{i}(X)}$チャーン多項式を持つチャーンクラスと呼ばれる${\displaystyle c_{t}(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}}$（グロタンディークの公理的アプローチと同様に）以下の条件を満たす。 ^{[ 18 ]}

1. カルティエ除数の場合${\displaystyle D}$、 我々は持っています${\displaystyle E\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)}$、 それから${\displaystyle c_{t}(E)=1+Dt}$。
2. もし${\displaystyle f:X'\to X}$射である場合、${\displaystyle c_{i}(f^{*}E)=f^{*}c_{i}(E)}$。
3. もし${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$は、ベクトル束の正確なシーケンスである。${\displaystyle X}$すると、ホイットニー和の公式が成り立つ。${\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E')c_{t}(E'')}$。

射影空間の特性クラスの計算は、任意の滑らかな射影部分多様体に対して、多くの特性クラス計算の基礎を形成します。${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$短い正確なシーケンスがあります $${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N}}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$$

チャーン類は、空間の位相的K理論からその有理コホモロジー（の完備化）への環の準同型を構成するために使用できる。直線束Lに対して、チャーン指標chは次のように定義される。

$${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$$

より一般的に言えば、${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$は、第1チャーン類を持つ線束の直和である。${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$チャーン指標は加算的に定義される $${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).}$$

これは次のように書き換えることができます。^{[ 19 ]}

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .}$$

この最後の表現は、分割原理を援用することで正当化され、任意のベクトル束Vに対する定義ch(V)として採用される。

基底が多様体である場合（すなわち、チャーン・ワイル理論の場合）、接続を用いてチャーン類を定義すると、チャーン指標の明示的な形式は次のようになる。 $${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left[\operatorname {tr} \left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]}$$ ここでΩは接続部の曲率である。

チャーン特性は、テンソル積のチャーンクラスの計算を容易にするため、有用である。具体的には、次の恒等式を満たす。^{[ 20 ] [ 21 ]}

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\oplus W)=\operatorname {ch} (V)+\operatorname {ch} (W)}$$$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\otimes W)=\operatorname {ch} (V)\operatorname {ch} (W).}$$

前述のように、チャーン類に対するグロタンディークの加法性公理を用いると、これらの恒等式のうち最初のものは、chがK 理論K ( X )からXの有理コホモロジーへのアーベル群の準同型である、と一般化できる。2 番目の恒等式は、この準同型がK ( X )の積も尊重することを示しており、したがってchは環の準同型である。

チャーン指標は、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理で用いられる。

次元の向き付けられた多様体上で作業する場合${\displaystyle 2n}$すると、総次数が のチャーン類の任意の積${\displaystyle 2n}$（つまり、積のチャーンクラスのインデックスの合計は${\displaystyle n}$）は、向きホモロジー類（または「多様体上で積分された」）と組み合わせることで、ベクトル束のチャーン数である整数を与えることができます。たとえば、多様体の次元が6の場合、次の3つの線形独立なチャーン数があります。${\displaystyle c_{1}^{3}}$、${\displaystyle c_{1}c_{2}}$、 そして${\displaystyle c_{3}}$一般に、多様体の次元が${\displaystyle 2n}$可能な独立チャーン数の数は、${\displaystyle n}$。

複素多様体（または準複素多様体）の接束のチャーン数は、その多様体のチャーン数と呼ばれ、重要な不変量である。

チャーン類の理論には、通常のコホモロジーを一般化コホモロジー理論に置き換えた一般化が存在する。このような一般化が可能な理論は、複素向き付け可能理論と呼ばれる。チャーン類の形式的性質は変わらないが、重要な違いが1つある。それは、線束のテンソル積の第一チャーン類を因子の第一チャーン類で計算する規則が、（通常の）加算ではなく、形式的な群法則であるということである。

代数幾何学には、ベクトル束のチャーン類に関する同様の理論が存在する。チャーン類が属する群によって、いくつかのバリエーションが存在する。

• 複素多様体の場合、チャーン類は上記のように通常のコホモロジーの値をとることができる。
• 一般体上の多様体の場合、チャーン類はエタールコホモロジーやl進コホモロジーなどのコホモロジー理論の値を取ることができます。
• 一般体上の多様体Vの場合、チャーン類はチャウ群CH(V) の準同型にも値を取ることができます。たとえば、多様体V上の線束の最初のチャーン類は、次数を 1 減らすCH( V ) から CH( V ) への準同型です。これは、チャウ群がホモロジー群のアナログの一種であり、コホモロジー群の要素はキャップ積を使用してホモロジー群の準同型と考えることができるという事実に対応します。

チャーン類の理論は、ほぼ複素多様体に対するコボルディズム不変量を生み出す。

Mがほぼ複素多様体である場合、その接束は複素ベクトル束になります。したがって、 Mのチャーン類は、その接束のチャーン類として定義されます。M がコンパクトで次元が 2d である場合、チャーン類における全次数が 2d の各単項式は、M の基本類とペアにすることができ、整数、すなわちMのチャーン数が得られます。M ′が同じ次元の別のほぼ複素多様体である場合、M ′のチャーン数がMのチャーン数と一致する場合に限り、M′ はMとコボルダントになります。

この理論は、適合するほぼ複素構造を介して、実シンプレクティックベクトル束にも拡張される。特に、シンプレクティック多様体は明確に定義されたチャーン類を持つ。

（アラケロフ幾何学を参照）