数学において、 五次三次多様体とは、4 次元 射影空間 における 5 次 3 次元超曲面である 。特異でない五次三次多様体は カラビ・ヤウ多様体 である。
ポ
4
{\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
非特異五次三次元多様体の
ホッジダイヤモンド は
数学者 ロバート・ダイクグラーフは 「代数幾何学者なら誰でも知っている数字の1つは2,875である。なぜなら、明らかにそれは五次方程式の直線の数だからである」と述べた。 [1]
意味 五次三次多様体は 、 の 次数射影多様体によって定義される カラビ・ヤウ多様体 の特別なクラスです。 多くの例は、の 超曲面 、 に含まれる 完全な交差 、または別の多様体の特異点を解決する滑らかな多様体として構築されます 。 集合として、カラビ・ヤウ多様体は であり 、 は 次数同次多項式です。 最も研究されている例の 1 つは、 フェルマー多項式 と呼ばれる 多項式からのものです。 このような多項式がカラビ・ヤウを定義することを証明するには、 随伴公式 や 滑らかさ の条件 など、さらにいくつかのツールが必要です 。
5
{\displaystyle 5}
ポ
4
{\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
ポ
4
{\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
ポ
4
{\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
バツ = { x = [
x
0
:
x
1
:
x
2
:
x
3
:
x
4
] ∈
Ｃ ポ
4
: p （ x ） = 0 }
{\displaystyle X=\{x=[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:p(x)=0\}}
p （ x ）
{\displaystyle p(x)}
5
{\displaystyle 5}
p （ x ） =
x
0
5
+
x
1
5
+
x
2
5
+
x
3
5
+
x
4
5
{\displaystyle p(x)=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}
P の超曲面 4 同次多項式 (ここでは 超平面直線束 のセールツイスト )は、 などの体 である 代数から、 射影多様体 または 射影スキーム を定義することを思い出してください。次に、 その 標準バンドルを計算するために 随伴公式を 使用すると、次の式が得られます。したがって 、 多様体がカラビ・ヤウであるためには、つまり自明な標準バンドルを持つためには、その次数は でなければなりません 。さらにこの多様体が 滑らか で ある場合、それはカラビ・ヤウ多様体です。これは、多項式の零点を見て 、集合が 空であることを確認することで確認できます。
ふ ∈ Γ （
ポ
4
、
お
（ d ） ）
{\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(d))}
お
（ d ）
{\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}
バツ
{\displaystyle X}
け [
x
0
、 … 、
x
4
]
（ ふ ）
{\displaystyle {\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(f)}}}
け
{\displaystyle k}
Ｃ
{\displaystyle \mathbb {C} }
Ω
バツ
3
=
ω
バツ
=
ω
ポ
4
⊗
お
（ d ）
≅
お
（ − （ 4 + 1 ） ） ⊗
お
（ d ）
≅
お
（ d − 5 ）
{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{X}^{3}&=\omega _{X}\\&=\omega _{\mathbb {P} ^{4}}\otimes {\mathcal {O}}(d)\\&\cong {\mathcal {O}}(-(4+1))\otimes {\mathcal {O}}(d)\\&\cong {\mathcal {O}}(d-5)\end{aligned}}}
5
{\displaystyle 5}
∂
0
ふ 、 … 、
∂
4
ふ
{\displaystyle \partial _{0}f,\ldots ,\partial _{4}f}
{ x = [
x
0
: ⋯ :
x
4
]
|
ふ （ x ） =
∂
0
ふ （ x ） = ⋯ =
∂
4
ふ （ x ） = 0 }
{\displaystyle \{x=[x_{0}:\cdots :x_{4}]|f(x)=\partial _{0}f(x)=\cdots =\partial _{4}f(x)=0\}}
例
フェルマー五次方程式 カラビ・ヤウ多様体を確認する最も簡単な例の 1 つは、 フェルマーの 5 次三次多様 体 によって与えられます。これは、多項式 の消失軌跡によって定義されます。 の 偏微分を計算すると、 4 つの多項式が得られます 。 が消失する唯一の点は の座標軸によって与えられるため、 は の点でない ため、消失軌跡は空です 。
ふ =
x
0
5
+
x
1
5
+
x
2
5
+
x
3
5
+
x
4
5
{\displaystyle f=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}
ふ
{\displaystyle f}
∂
0
ふ = 5
x
0
4
∂
1
ふ = 5
x
1
4
∂
2
ふ = 5
x
2
4
∂
3
ふ = 5
x
3
4
∂
4
ふ = 5
x
4
4
{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{0}f=5x_{0}^{4}\\\partial _{1}f=5x_{1}^{4}\\\partial _{2}f=5x_{2}^{4}\\\partial _{3}f=5x_{3}^{4}\\\partial _{4}f=5x_{4}^{4}\\\end{aligned}}}
ポ
4
{\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
[ 0 : 0 : 0 : 0 : 0 ]
{\displaystyle [0:0:0:0:0]}
ポ
4
{\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
ホッジ予想のテストベッドとして 五次三次多様体のもう一つの応用は、無限小一般化ホッジ予想 の研究であり、 この場合、この困難な問題は解決できます。 [2] 実際、この超曲面上のすべての直線は明示的に見つけることができます。
ドゥワークの五次三重多様体の族 多くの文脈で研究されている五次三重多様体の例として、もう一つのよく知られたクラスが ドワーク族 です。そのような族のよく知られた研究の 1 つは、Candelas、De La Ossa、Green、および Parkes [3] によるもので、彼らは 鏡面対称性 を 発見しました。これは、族 [4]の 123-125 ページ によって与えられます。ここで、 は 1 の 5 乗根 に等しくない単一のパラメータです 。 これは、 の偏微分を計算し 、その零点を評価することによって見つけることができます。偏微分は によって与えられます。 偏微分がすべて零である点では、関係式 が得られます 。たとえば、 では 、 を割り 、各辺に を掛けることで が得られます 。これらの方程式族を掛け合わせると、 解が または のいずれかで与えられることを示す 関係 式が得られます 。しかし、最初のケースでは、 の変分項が消えるため、これらは滑らかな部分軌跡を与えるので 、 には特異点がなければなりません 。このような が与えられた場合 、特異点は となる形式になります。 ここでです。 たとえば、 、 で あるため、点 は とその偏導関数 の両方の解です 。
ふ
ψ
=
x
0
5
+
x
1
5
+
x
2
5
+
x
3
5
+
x
4
5
− 5 ψ
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
{\displaystyle f_{\psi }=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}
ψ
{\displaystyle \psi }
f
ψ
{\displaystyle f_{\psi }}
∂
0
f
ψ
=
5
x
0
4
−
5
ψ
x
1
x
2
x
3
x
4
∂
1
f
ψ
=
5
x
1
4
−
5
ψ
x
0
x
2
x
3
x
4
∂
2
f
ψ
=
5
x
2
4
−
5
ψ
x
0
x
1
x
3
x
4
∂
3
f
ψ
=
5
x
3
4
−
5
ψ
x
0
x
1
x
2
x
4
∂
4
f
ψ
=
5
x
4
4
−
5
ψ
x
0
x
1
x
2
x
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{0}f_{\psi }=5x_{0}^{4}-5\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\\partial _{1}f_{\psi }=5x_{1}^{4}-5\psi x_{0}x_{2}x_{3}x_{4}\\\partial _{2}f_{\psi }=5x_{2}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{3}x_{4}\\\partial _{3}f_{\psi }=5x_{3}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{4}\\\partial _{4}f_{\psi }=5x_{4}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}\\\end{aligned}}}
x
i
5
=
ψ
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
{\displaystyle x_{i}^{5}=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}
∂
0
f
ψ
{\displaystyle \partial _{0}f_{\psi }}
5
x
0
4
=
5
ψ
x
1
x
2
x
3
x
4
x
0
4
=
ψ
x
1
x
2
x
3
x
4
x
0
5
=
ψ
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
{\displaystyle {\begin{aligned}5x_{0}^{4}&=5\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\x_{0}^{4}&=\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\x_{0}^{5}&=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\end{aligned}}}
5
{\displaystyle 5}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
x
i
5
=
ψ
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
{\displaystyle x_{i}^{5}=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}
∏
x
i
5
=
ψ
5
∏
x
i
5
{\displaystyle \prod x_{i}^{5}=\psi ^{5}\prod x_{i}^{5}}
x
i
=
0
{\displaystyle x_{i}=0}
ψ
5
=
1
{\displaystyle \psi ^{5}=1}
f
ψ
{\displaystyle f_{\psi }}
ψ
5
=
1
{\displaystyle \psi ^{5}=1}
ψ
{\displaystyle \psi }
[
μ
5
a
0
:
⋯
:
μ
5
a
4
]
{\displaystyle [\mu _{5}^{a_{0}}:\cdots :\mu _{5}^{a_{4}}]}
μ
5
∑
a
i
=
ψ
−
1
{\displaystyle \mu _{5}^{\sum a_{i}}=\psi ^{-1}}
μ
5
=
e
2
π
i
/
5
{\displaystyle \mu _{5}=e^{2\pi i/5}}
[
μ
5
4
:
μ
5
−
1
:
μ
5
−
1
:
μ
5
−
1
:
μ
5
−
1
]
{\displaystyle [\mu _{5}^{4}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}]}
f
1
{\displaystyle f_{1}}
(
μ
5
i
)
5
=
(
μ
5
5
)
i
=
1
i
=
1
{\displaystyle (\mu _{5}^{i})^{5}=(\mu _{5}^{5})^{i}=1^{i}=1}
ψ
=
1
{\displaystyle \psi =1}
その他の例
五次三倍体上の曲線 次数の有理曲線の数の計算は、 シューベルト計算 を使って明示的に行うことができます 。を、 ある階数 ベクトル空間の -平面 の グラスマン多様体 上の階数 ベクトル束とします。 を に射影化すると、 次数 1 の射影グラスマン多様体は に直線となり 、この射影グラスマン多様体上のベクトル束に 降下します 。その全 チャーン類は Chow 環 に あります 。ここで、 束の切断は線型同次多項式 に対応する ため、 の切断は 五次多項式 の切断に対応します 。次に、一般的な五次三次多様体上の直線の数を計算するには、積分 [5]を計算すれば十分です。これは、 分割原理 を使って行うことができます 。 次元 ベクトル空間に対して であり で あるため 、 の全チャーン類は 積 によって与えられます。 次に、 オイラー類 、つまり最上位類 は、 、 、 を含む、 ピエリの公式 によって暗示される関係を使用して 、 これを元のチャーン類 に関して展開すると、 が得られます 。
1
{\displaystyle 1}
T
∗
{\displaystyle T^{*}}
2
{\displaystyle 2}
G
(
2
,
5
)
{\displaystyle G(2,5)}
2
{\displaystyle 2}
5
{\displaystyle 5}
G
(
2
,
5
)
{\displaystyle G(2,5)}
G
(
1
,
4
)
{\displaystyle \mathbb {G} (1,4)}
P
4
{\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
T
∗
{\displaystyle T^{*}}
c
(
T
∗
)
=
1
+
σ
1
+
σ
1
,
1
{\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}}
A
∙
(
G
(
1
,
4
)
)
{\displaystyle A^{\bullet }(\mathbb {G} (1,4))}
l
∈
Γ
(
G
(
1
,
4
)
,
T
∗
)
{\displaystyle l\in \Gamma (\mathbb {G} (1,4),T^{*})}
l
~
∈
Γ
(
P
4
,
O
(
1
)
)
{\displaystyle {\tilde {l}}\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(1))}
Sym
5
(
T
∗
)
{\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(T^{*})}
Γ
(
P
4
,
O
(
5
)
)
{\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(5))}
∫
G
(
1
,
4
)
c
(
Sym
5
(
T
∗
)
)
=
2875
{\displaystyle \int _{\mathbb {G} (1,4)}c({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))=2875}
c
(
T
∗
)
=
(
1
+
α
)
(
1
+
β
)
=
1
+
(
α
+
β
)
+
α
β
{\displaystyle {\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+(\alpha +\beta )+\alpha \beta \end{aligned}}}
2
{\displaystyle 2}
V
=
V
1
⊕
V
2
{\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}}
Sym
5
(
V
)
=
⨁
i
=
0
5
(
V
1
⊗
5
−
i
⊗
V
2
⊗
i
)
{\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(V)=\bigoplus _{i=0}^{5}(V_{1}^{\otimes 5-i}\otimes V_{2}^{\otimes i})}
Sym
5
(
T
∗
)
{\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(T^{*})}
c
(
Sym
5
(
T
∗
)
)
=
∏
i
=
0
5
(
1
+
(
5
−
i
)
α
+
i
β
)
{\displaystyle c({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))=\prod _{i=0}^{5}(1+(5-i)\alpha +i\beta )}
5
α
(
4
α
+
β
)
(
3
α
+
2
β
)
(
2
α
+
3
β
)
(
α
+
4
β
)
5
β
{\displaystyle 5\alpha (4\alpha +\beta )(3\alpha +2\beta )(2\alpha +3\beta )(\alpha +4\beta )5\beta }
c
6
(
Sym
5
(
T
∗
)
)
=
25
σ
1
,
1
(
4
σ
1
2
+
9
σ
1
,
1
)
(
6
σ
1
2
+
σ
1
,
1
)
=
(
100
σ
3
,
1
+
100
σ
2
,
2
+
225
σ
2
,
2
)
(
6
σ
1
2
+
σ
1
,
1
)
=
(
100
σ
3
,
1
+
325
σ
2
,
2
)
(
6
σ
1
2
+
σ
1
,
1
)
=
600
σ
3
,
3
+
2275
σ
3
,
3
=
2875
σ
3
,
3
{\displaystyle {\begin{aligned}c_{6}({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))&=25\sigma _{1,1}(4\sigma _{1}^{2}+9\sigma _{1,1})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=(100\sigma _{3,1}+100\sigma _{2,2}+225\sigma _{2,2})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=(100\sigma _{3,1}+325\sigma _{2,2})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=600\sigma _{3,3}+2275\sigma _{3,3}\\&=2875\sigma _{3,3}\end{aligned}}}
σ
1
2
=
σ
2
+
σ
1
,
1
{\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}+\sigma _{1,1}}
σ
1
,
1
⋅
σ
1
2
=
σ
3
,
1
+
σ
2
,
2
{\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{3,1}+\sigma _{2,2}}
σ
1
,
1
2
=
σ
2
,
2
{\displaystyle \sigma _{1,1}^{2}=\sigma _{2,2}}
有理曲線 ハーバート・クレメンス (1984) は、ジェネリックな 5 次 3 次元多様体上の与えられた次数の有理曲線の数は有限であると予想しました。(滑らかだがジェネリックではない 5 次 3 次元多様体には、その上に無限の直線族が存在するものがあります。) これは、次数 7 まで Sheldon Katz (1986) によって検証され、次数 2 の有理曲線の数は 609250 であるとも計算されました。
フィリップ・カンデラス 、 ゼニア・C・デ・ラ・オッサ 、ポール・S・グリーン他 (1991) は、任意の次数の有理曲線の仮想数に関する一般的な公式を予想し、これはギブンタル (1996) によって証明されました (仮想数が実際の数に等しいという事実は、クレメンスの予想の確認に依存しており、現在、次数 11 までで知られています (コテリル (2012))。ジェネリックな 5 次 3 次元多様体上のさまざまな次数の有理曲線の数は、次のように与えられます。
2875、609250、317206375、242467530000、...（ OEIS の配列 A076912 ）。 一般的な五次三次多様体はカラビ・ヤウ三次多様体であり、与えられた次数の有理曲線のモジュライ空間は離散的な有限集合（したがってコンパクト）であるため、これらには明確に定義された ドナルドソン・トーマス不変量 （「仮想点の数」）があり、少なくとも次数 1 と 2 については、これらは実際の点の数と一致します。
参照
参考文献
^ Robbert Dijkgraaf (2015年3月29日). 「現代数学における量子物理学の不合理な有効性」. youtube.com . Trev M. 2021年12月21日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2015年 9月10日 閲覧。 29分57秒を見る ^ Albano, Alberto; Katz, Sheldon (1991). 「フェルマーの五次三次元上の線と無限小一般化ホッジ予想」. アメリカ数学会誌 . 324 (1): 353–368. doi : 10.1090/S0002-9947-1991-1024767-6 . ISSN 0002-9947. ^ Candelas, Philip; De La Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991-07-29). 「正確に可解な超共形理論としての一対のカラビ・ヤウ多様体」. Nuclear Physics B. 359 ( 1): 21–74. Bibcode :1991NuPhB.359...21C. doi :10.1016/0550-3213(91)90292-6. ISSN 0550-3213. ^ グロス、マーク;ハイブレヒト、ダニエル。ジョイス、ドミニク (2003)。エリングスルッド、ゲイル。オルソン、ローレン。ラネスタッド、クリスチャン。ストロム、スタイン A. (編)。カラビ・ヤウ多様体と関連幾何学: ノルウェー、ノルフィヨルドのサマースクールでの講義、2001 年 6 月。Universitext。ベルリン ハイデルベルク: Springer-Verlag。 123–125ページ。 ISBN 978-3-540-44059-8 。 ^ カッツ、シェルドン。 列挙幾何学と弦理論 。p. 108。
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![{\displaystyle X=\{x=[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:p(x)=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4da81588faa99bb60eee1bcb2aca69e5332b6c)
![{\displaystyle {\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(f)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e477dc0669b5df2e51d0495f274cc6304e16d0)
![{\displaystyle \{x=[x_{0}:\cdots :x_{4}]|f(x)=\partial _{0}f(x)=\cdots =\partial _{4}f(x)=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590c63bebbe79f14d7359f4f2c8dca64343326d0)
![{\displaystyle [0:0:0:0:0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac07a25e3f98e75e0859f957d195943ed36d76e)
![{\displaystyle [\mu _{5}^{a_{0}}:\cdots :\mu _{5}^{a_{4}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0030352e8def77a46367c7ab52a865bbc61f96)
![{\displaystyle [\mu _{5}^{4}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1} :\mu _{5}^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92741012079cf593b3c1bd629ad4920aeb88fa6)
