ベクトル束の方向

数学において、実ベクトル束の向きはベクトル空間の向きの一般化である。したがって、実ベクトル束π: E → Bが与えられた場合、 Eの向きは、各ファイバーE _xに対してベクトル空間E _xの向きがあり、各自明化写像（これは束写像である）が

${\displaystyle \phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {R} ^{n}}$

は繊維方向の配向が保存され、R ⁿには標準配向が与えられます。より簡潔に言えば、これは、実一般線型群GL _n ( R )であるEのフレームバンドルの構造群が、正の行列式を持つものからなる部分群に還元できることを意味しています。

Eが階数nの実ベクトル束である場合、 E上の計量の選択は構造群を直交群 O ( n ) に縮小することに相当する。その状況では、 Eの方向付けはO ( n ) から特殊直交群 SO ( n )への縮小に相当する。

向きが指定されたベクトル束は向き付けられた束と呼ばれます。向きを指定できるベクトル束は向き付け可能なベクトル束と呼ばれます。

有向バンドルの基本的な不変量はオイラー類です。有向バンドルのオイラー類による乗算（つまり、カップ積）により、ギシン列が生成されます。

複素ベクトル束は標準的な方法で方向付けられます。

ベクトル束の向きの概念は、微分可能多様体の向きを一般化します。つまり、微分可能多様体の向きは、その接束の向きです。特に、微分可能多様体は、その接束がベクトル束として向き付け可能な場合にのみ向き付け可能です。(注: 多様体として、接束は常に向き付け可能です。)

階数nの実ベクトル束Eに方向を与えることは、Eの(実)行列式束に方向を与えることです。同様に、 Eに方向を与えることは、 Eの単位球面束に方向を与えることです。 ${\displaystyle \operatorname {det} E=\wedge ^{n}E}$

実ベクトル束が実無限グラスマン多様体によって分類されるのと同様に、向き付けられた束は向き付けられた実ベクトル空間の無限グラスマン多様体によって分類されます。

コホモロジーの観点からは、任意の環Λに対して、階数nの実ベクトル束EのΛ配向は、クラスの選択（および存在）を意味する。

${\displaystyle u\in H^{n}(T(E);\Lambda )}$

トム空間 T ( E )のコホモロジー環において、u が大域的および局所的に自由 - 加群として生成するようなもの。すなわち、 ${\displaystyle {\tilde {H}}^{*}(T(E);\Lambda )}$${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}$

${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )\to {\tilde {H}}^{*}(T(E);\Lambda ),x\mapsto x\smile u}$

は同型（トム同型と呼ばれる）であり、ここで「チルダ」は各同型に制限される 縮小コホモロジーを意味する。

${\displaystyle H^{*}(\pi ^{-1}(U);\Lambda )\to {\チルダ {H}}^{*}(T(E|_{U});\Lambda ) }$

自明化によって誘導されます。少し作業すれば、 ^[要出典]通常の方向の概念がZ方向と一致することが示せます。 ${\displaystyle \pi^{-1}(U)\simeq U\times \mathbf {R}^{n}}$

• ファイバーに沿った統合
• 方向バンドル(または方向層) - これは、非方向バンドルの Thom 同型性を定式化するために使用されます。

• ボット、ラウル、トゥ、ローリング（1982）、代数的位相幾何学における微分形式、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-90613-4
• JP メイ、「代数的位相幾何学の簡潔なコース」シカゴ大学出版局、1999年。
• ミルナー、ジョン・ウィラード、スタシェフ、ジェームズ・D. (1974)、「特性クラス」、数学研究年報、第76巻、プリンストン大学出版局、東京大学出版会、ISBN 978-0-691-08122-9