余接層

代数幾何学において、スキームの射f : X → Sが与えられたとき、 X上の余接層は、S-微分^[1]を表現（または分類）する-加群の層である。任意の-加群Fに対して、同型が存在する。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \オメガ_{X/S}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}(\Omega _{X/S},F)=\operatorname {Der} _{S}({\mathcal {O}}_{X},F)}$

は自然にFに依存します。言い換えると、余接層は普遍的性質によって特徴付けられます。つまり、任意のS微分が何らかの と因数分解されるような微分が存在します。 ${\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/S}}$${\displaystyle D:{\mathcal {O}}_{X}\to F}$${\displaystyle D=\alpha \circ d}$${\displaystyle \alpha :\Omega _{X/S}\to F}$

XとSがアフィンスキームの場合、上記の定義は がケーラー微分のモジュールであることを意味します。コタンジェント層を構築する標準的な方法 (例: Hartshorne, Ch II. § 8) は、対角射 (ケーラー微分 のモジュールをアフィンチャートに貼り付けて、大域的に定義されたコタンジェント層を取得すること) を使用することです。スキームX上のコタンジェント層の双対モジュールはX上のコタンジェント層と呼ばれ、 と表記されることもあります。^[2]${\displaystyle \オメガ_{X/S}}$${\displaystyle \Theta_{X}}$

重要な正確なシーケンスが 2 つあります。

1. S → Tがスキームの射 ならば、

   ${\displaystyle f^{*}\Omega _{S/T}\to \Omega _{X/T}\to \Omega _{X/S}\to 0.}$

2. Z がイデアル層Iを持つXの閉部分スキームである場合、

   ${\displaystyle I/I^{2}\to \Omega _{X/S}\otimes _{O_{X}}{\mathcal {O}}_{Z}\to \Omega _{Z/S}\to 0.}$^{[3] [4]}

余接層は多様体やスキームの滑らかさと密接に関係している。例えば、代数多様体がn次元で滑らかであるためには、 Ω _{X が}n階の局所自由層である場合に限る。^[5]

を導入部にあるようなスキームの射とし、Δ: X → X × S _Xを対角射とする。このとき、Δ の像は局所的に閉じている、すなわち、 X × _S Xのある開集合Wにおいて閉じている（像が閉じているのは、 fが分離している場合のみ）。IをWにおけるΔ( X )のイデアル層とする。すると、次のようになる。 ${\displaystyle f:X\to S}$

${\displaystyle \Omega _{X/S}=\Delta ^{*}(I/I^{2})}$

そして、この加群の層が余接層の必要な普遍的性質を満たすことを確認します (Hartshorne、Ch II. Remark 8.9.2)。この構成は特に余接層が準コヒーレントであることを示しています。Sがノイザンであり、f が有限型である 場合、コヒーレントです。

上記の定義は、 X上の余接層が、 S上のXの対角埋め込みへの余法線層のXへの制限であることを意味します。

射影空間上の余接層は、トートロジー直線束 O (-1) と次の正確な関係式で結びついている。環R上の射影空間について書くと、 ${\displaystyle \mathbf {P} _{R}^{n}}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbf {P} _{R}^{n}/R}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}(-1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}\to 0.}$

(チャーン類#複素射影空間も参照。)

この概念については、§1を参照。

A. Beilinson と V. Drinfeld、Hitchin の可積分系と Hecke 固有層の量子化 [1] 2015-01-05 にWayback Machineでアーカイブ^[6]

そこで、代数スタックX上の余接スタックは、X上の接層の対称代数の相対 Specとして定義されます。(注: 一般に、Eが有限ランクの局所自由層である場合、 はEに対応する代数ベクトル束です。^{[引用が必要]} ) ${\displaystyle \mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} ({\check {E}}))}$

参照:ヒッチン ファイバリング( のコタンジェント スタックはヒッチン ファイバリングの全空間です。) ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

• コタンジェント複素数

• 「射の微分層」。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157

• 「スキーム上の接線バンドルと余接バンドルに関する質問」 。Stack Exchange。2014年 11 月 2 日。