パイロット波理論 ド・ブロイ＝ボーム理論はパイロット波を記述するψ （ q 、 t ） ∈ C {\displaystyle \psi (q,t)\in \mathbb {C} } 構成空間 においてQ {\displaystyle Q} q （ t ） ∈ Q {\displaystyle q(t)\in Q} [ 6 ]
ド・ブロイ＝ボーム理論は、古典力学 と同様に粒子の位置と軌道を扱いますが、その力学は異なります。古典力学では、粒子の加速度は物理的な3次元空間に存在する力によって直接与えられます。ド・ブロイ＝ボーム理論では、量子場が新しい種類の「量子力学的」力を及ぼします。[ 7 ] ： [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]
粒子ではなく波動関数自体がシステムの動的進化を決定する。粒子は波動関数に反作用しない。ボームとハイリーが述べたように、「量子場のシュレーディンガー方程式には源がなく、粒子の状態によって場が直接影響を受ける他の方法もない[...]量子理論は、量子場が粒子に源やその他の依存形態を持たないという仮定によって完全に理解できる」。[ 11 ] [ 12 ] ホランドは後に、これは記述の不完全性による単なる見かけ 上の反作用の欠如であると呼んだ。 [ 13 ]
以下では、1 つの粒子が移動するセットアップについて説明します。R 3 \displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 続いて、3次元空間を移動するN 個の粒子のセットアップが示される。最初のケースでは、構成空間と実空間は同じだが、2番目のケースでは、実空間はまだR 3 \displaystyle \mathbb {R} ^{3}} R 3 N \displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}
この理論の拡張 には、スピンやより複雑な配置空間が含まれる。
私たちはQ {\displaystyle \mathbf {Q} } ψ {\displaystyle \psi }
指針となる方程式 スピンを持たない単一粒子が運動する場合R 3 \displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
d Q d t （ t ） = ℏ m 私は （ ∇ ψ ψ ） （ Q 、 t ） 。 \displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} }{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} ,t).} 多くの粒子にラベルが付けられているQ k {\displaystyle \mathbf {Q} _{k}} k {\displaystyle k}
d Q k d t （ t ） = ℏ m k 私は （ ∇ k ψ ψ ） （ Q 1 、 Q 2 、 … 、 Q N 、 t ） 。 \displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t).} 注目すべき主な事実は、この速度場はすべての実際の位置に依存するということです。N {\displaystyle N}
ボルン規則との関連性 ボームの原著論文[ 14 ] | ψ | 2 \displaystyle |\psi |^{2}} | ψ | 2 \displaystyle |\psi |^{2}}
特定の実験では、これが真であると仮定し、実験的に検証することができる。しかし、Dürr ら[ 15 ] | ψ | 2 \displaystyle |\psi |^{2}} 初期条件の典型性の適切な尺度となる。著者らは、可能な初期配置の大部分がボルン規則に従う統計（すなわち、 | ψ | 2 \displaystyle |\psi |^{2}}
したがって、この状況は古典統計物理学における状況と類似している。エントロピーの 低い初期条件は、圧倒的に高い確率でエントロピーの高い状態へと進化する。つまり、熱力学第二法則 に合致する振る舞いが典型的である。第二法則に違反する異常な初期条件も存在するが、そのような条件のいずれかが実現したことを裏付ける非常に詳細な証拠がない限り、実際に観測されたエントロピーの均一な増加以外の結果を期待するのは全く不合理である。同様に、ド・ブロイ＝ボーム理論においても、ボルンの規則に違反する測定統計（標準量子論の予測と矛盾する）を生み出す異常な初期条件が存在するが、典型性定理によれば、そのような特別な初期条件のいずれかが実際に実現したと信じる具体的な理由がない限り、ボルンの規則に従う振る舞いが期待されるべきである。
このような限定的な意味において、ド・ブロイ＝ボーム理論におけるボルンの規則は、 （通常の量子論におけるように）追加の公準 ではなく、定理である 。
また、ボルンの規則に従って分布していない 粒子分布（つまり、「量子平衡から外れた」分布）がド・ブロイ・ボームのダイナミクスの下で進化する場合、圧倒的に次の分布状態に動的に進化する可能性が高いことも示せる。| ψ | 2 \displaystyle |\psi |^{2}} 16 ]
サブシステムの条件付き波動関数 ド・ブロイ＝ボーム理論の定式化では、宇宙全体に対する波動関数のみが存在します（これは常にシュレーディンガー方程式に従って進化します）。ここでいう「宇宙」とは、シュレーディンガー方程式を解くために用いられる境界条件によって制限されるシステムのことです。しかし、理論が定式化された後は、宇宙のサブシステムに対しても波動関数の概念を導入するのが便利です。宇宙の波動関数を次のように書きましょう。ψ （ t 、 q 私 、 q II ） {\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})} q 私 \displaystyle q^{\text{I}}} q II \displaystyle q^{\text{II}} Q 私 （ t ） {\displaystyle Q^{\text{I}}(t)} Q II （ t ） {\displaystyle Q^{\text{II}}(t)} 条件付き波動関数 は次のように定義される。
ψ 私 （ t 、 q 私 ） = ψ （ t 、 q 私 、 Q II （ t ） ） 。 {\displaystyle \psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})=\psi (t,q^{\text{I}},Q^{\text{II}}(t)).} 事実から直ちに導かれるのはQ （ t ） = （ Q 私 （ t ） 、 Q II （ t ） ） {\displaystyle Q(t)=(Q^{\text{I}}(t),Q^{\text{II}}(t))} Q 私 （ t ） {\displaystyle Q^{\text{I}}(t)} ψ {\displaystyle \psi } ψ 私 \displaystyle \psi ^{\text{I}}} Q （ t ） {\displaystyle Q(t)} は、二乗 絶対値で与えられる確率密度 を持つランダムである。ψ （ t 、 ⋅ ） {\displaystyle \psi (t,\cdot )} 条件付き確率密度 がQ 私 （ t ） {\displaystyle Q^{\text{I}}(t)} Q II （ t ） {\displaystyle Q^{\text{II}}(t)} ψ 私 （ t 、 ⋅ ） \displaystyle \psi ^{\text{I}}(t,\cdot )} （Dürrら[ 17 ] 基本条件付き確率公式 と呼ばれている）。
普遍波動関数とは異なり、サブシステムの条件付き波動関数は必ずしもシュレーディンガー方程式に従って進化するとは限りませんが、多くの場合、そうなります。たとえば、普遍波動関数が次のように因数分解される場合
ψ （ t 、 q 私 、 q II ） = ψ 私 （ t 、 q 私 ） ψ II （ t 、 q II ） 、 {\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})=\psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})\psi ^{\text{II}}(t,q^{\text{II}}),} すると、サブシステム（I）の条件付き波動関数は（無関係なスカラー因子を除いて）次のようになる。ψ 私 \displaystyle \psi ^{\text{I}}} ψ 私 \displaystyle \psi ^{\text{I}}} ψ {\displaystyle \psi }
ψ （ t 、 q 私 、 q II ） = ψ 私 （ t 、 q 私 ） ψ II （ t 、 q II ） + ϕ （ t 、 q 私 、 q II ） 、 {\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})=\psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})\psi ^{\text{II}}(t,q^{\text{II}})+\phi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}}),} どこϕ {\displaystyle \phi } ϕ （ t 、 q 私 、 Q II （ t ） ） = 0 \displaystyle \phi (t,q^{\text{I}},Q^{\text{II}}(t))=0} t {\displaystyle t} q 私 \displaystyle q^{\text{I}}} ψ 私 \displaystyle \psi ^{\text{I}}} ψ 私 \displaystyle \psi ^{\text{I}}}
サブシステムの条件付き波動関数が必ずしもシュレーディンガー方程式に従って進化しないという事実は、サブシステムの条件付き波動関数を考慮すると、標準量子論の通常の崩壊規則がボーム形式から生じるという事実と関連している。
拡張機能
相対性理論 パイロット波理論は明示的に非局所的であり、これは特殊相対性理論と明らかに矛盾している。この問題を解決しようとする「ボーム型」力学のさまざまな拡張が存在する。ボーム自身は1953年に、単一粒子に対する ディラック方程式を 満たす理論の拡張を発表した。しかし、これは絶対時間を使用していたため、多粒子の場合に拡張できなかった。[ 18 ]
1990年代には、ボーム理論のローレンツ不変 拡張の構築に対する関心が再び高まりました。ボームとハイリーの「分割されない宇宙」 [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]によって示されています。
したがって、Dürr ら (1999) は、追加の構造を導入することで、Bohm–Dirac 理論のローレンツ不変性を形式的に回復できることを示した。このアプローチでは、時空の葉層構造 が依然として必要となる。これは相対性理論の標準的な解釈と矛盾するが、好ましい葉層構造が観測不可能であれば、相対性理論との経験的な矛盾は生じない。2013 年に、Dürr らは、必要な葉層構造は波動関数によって共変的に決定できると示唆した。[ 22 ]
非局所性と優先葉層構造の関係は、次のように理解するとよりよく理解できる。ド・ブロイ＝ボーム理論では、非局所性は、ある粒子の速度と加速度が他のすべての粒子の瞬間的な位置に依存するという事実として現れる。一方、相対性理論では、瞬間性の概念は不変の意味を持たない。したがって、粒子の軌跡を定義するには、どの時空点を瞬間的とみなすべきかを定義する追加の規則が必要となる。これを実現する最も簡単な方法は、時空の優先葉層構造を手動で導入し、葉層構造の各超曲面が等時間の超曲面を定義するようにすることである。
当初、ボソンを相対論的に記述することの難しさから、ド・ブロイ・ボーム理論で光子の軌跡を記述することは不可能だと考えられていた。[ 23 ] パルタ・ゴースは ダフィン・ケマー・ペティオー方程式 から出発して、スピン0とスピン1のボソンの相対論的量子力学的記述を発表し、質量のあるボソンと質量のないボソン（したがって光子 ）のボーム軌跡を示した。[ 23 ] ジャン＝ピエール・ヴィジェは 、ボーム力学またはネルソン確率力学のいずれかの枠組みで、粒子の軌跡の観点から光の明確な記述を導出することの重要性を強調した。[ 24 ] [ 25 ] 弱測定 実験では、予測された軌道と一致する軌道が得られた。[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]
クリス・デューニーとG・ホートンは、ボームの量子場理論の相対論的に共変な波動関数形式を提案し[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] 。
シドニー大学のロデリック・I・サザーランドは、パイロット波とそのビーブルに関するラグランジアン形式を提唱している。これは、 ヤキール・アハロノフ のレトロ因果的弱測定に基づき、構成空間を必要とせずに特殊相対論的な方法で多粒子エンタングルメントを説明するものである。この基本的な考え方は、1950年代にオリヴィエ・コスタ・ド・ボーレガードによって既に発表されており、 ジョン・クレイマー も、フォン・ノイマン強射影演算子測定の間に存在するビーブルを除いて、自身のトランザクション解釈においてこの考え方を用いている。サザーランドのラグランジアンは、パイロット波とビーブル間の双方向の作用反作用を含んでいる。したがって、これは量子論の無信号定理に違反する最終境界条件を持つポスト量子非統計理論である。特殊相対性理論が時空の曲率がゼロになる一般相対性理論の極限の場合であるのと同様に、ボルン規則を持つ統計的無エンタングルメント信号量子理論も、反応をゼロに設定し、最終境界条件を積分消去した場合のポスト量子作用反応ラグランジアンの極限の場合である。[ 32 ]
スピン スピン を組み込むために、波動関数は複素ベクトル値をとる。値空間はスピン空間と呼ばれ、スピン1/2粒子の場合、スピン空間は次のように表される。C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 内積 をとることで複素ベクトルを複素数に変換して修正されます。シュレーディンガー方程式は、パウリのスピン項 を追加することで修正されます。
d Q k d t （ t ） = ℏ m k 私は （ （ ψ 、 D k ψ ） （ ψ 、 ψ ） ） （ Q 1 、 … 、 Q N 、 t ） 、 私 ℏ ∂ ∂ t ψ = （ − ∑ k = 1 N ℏ 2 2 m k D k 2 + V − ∑ k = 1 N μ k S k ℏ s k ⋅ B （ q k ） ） ψ 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)&={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} \left({\frac {(\psi ,D_{k}\psi )}{(\psi ,\psi )}}\right)(\mathbf {Q} _{1},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t),\\i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi &=\left(-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}D_{k}^{2}+V-\sum _{k=1}^{N}\mu _{k}{\frac {\mathbf {S} _{k}}{\hbar s_{k}}}\cdot \mathbf {B} (\mathbf {q} _{k})\right)\psi ,\end{aligned}}}
どこ
m k 、 e k 、 μ k {\displaystyle m_{k},e_{k},\mu _{k}} 磁気 モーメントk {\displaystyle k} S k {\displaystyle \mathbf {S} _{k}} スピン演算子 がk {\displaystyle k} s k {\displaystyle s_{k}} スピン量子 数k {\displaystyle k} s k = 1 / 2 {\displaystyle s_{k}=1/2} A {\displaystyle \mathbf {A} } ベクトルポテンシャル ですR 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} } 磁場 はR 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} D k = ∇ k − 私 e k ℏ A （ q k ） {\textstyle D_{k}=\nabla _{k}-{\frac {ie_{k}}{\hbar }}\mathbf {A} (\mathbf {q} _{k})} k {\displaystyle k} SI単位系 ）ψ {\displaystyle \psi } ψ : R 9 × R → C 2 ⊗ C 2 ⊗ C 3 、 {\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{9}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3},} ⊗ {\displaystyle \otimes } テンソル積 なので、このスピン空間は12次元です。（ ⋅ 、 ⋅ ） {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} における 内積C d {\displaystyle \mathbb {C} ^{d}} （ ϕ 、 ψ ） = ∑ s = 1 d ϕ s * ψ s 。 {\displaystyle (\phi ,\psi )=\sum _{s=1}^{d}\phi _{s}^{*}\psi _{s}.}
量子場理論 Dürr ら[ 33 ] [ 34 ] は、生成消滅演算子 を扱うための de Broglie–Bohm 理論の拡張について説明しており、これを「ベル型量子場理論」と呼んでいます。基本的な考え方は、構成空間が任意の数の粒子のすべての可能な構成の (互いに素な) 空間になるということです。ある時間では、システムは固定数の粒子を持つガイド方程式の下で決定論的に進化します。しかし、確率過程 の下では、粒子は生成および消滅する可能性があります。生成イベントの分布は波動関数によって決定されます。波動関数自体は、常に多粒子構成空間全体で進化しています。
Hrvoje Nikolić [ 35 ]
非局所性を活用する アントニー・ヴァレンティーニが ド・ブロイ・ボーム理論に関する講義で作成した図。ヴァレンティーニは、量子論はより広い物理学の特別な平衡ケースであり、量子非平衡を 観測して利用することが可能かもしれないと主張している[ 41 ]。 ド・ブロイとボームによる量子力学の因果的解釈は、後にボーム、ヴィジェ、ハイリー、ヴァレンティーニらによって確率的性質を含むように拡張された。ボームやヴァレンティーニを含む他の物理学者たちは、ボルンの規則がR {\displaystyle R} 確率密度関数 へρ = R 2 {\displaystyle \rho =R^{2}} シュレーディンガー方程式 の下での時間発展の過程でシステムが量子平衡 に達した結果である。平衡に達すると、システムはその後の時間発展の過程でその平衡状態を維持することが示される。これは、シュレーディンガー発展に関連付けられた連続方程式から導かれる。 ψ {\displaystyle \psi } [ 42 ]
アントニー・ヴァレンティーニ [ 43 ] カオス的インフレーション理論 の並行宇宙を原理的に観測可能にするという利点がある。
ド・ブロイ＝ボーム理論とは異なり、ヴァレンティーニの理論では波動関数の進化は存在論的変数にも依存する。これにより不安定性、つまり隠れた変数を「サブ量子熱死」から押し出すフィードバックループが生じる。結果として、理論は非線形かつ非ユニタリーになる。ヴァレンティーニは、量子力学の法則は創発的 であり、古典力学における熱平衡に類似した「量子平衡」を形成するため、原理的には他の「量子非平衡 」分布が観測され、利用される可能性があると主張している。これらの分布では、量子理論の統計的予測が破られる。量子理論は、非局所的（超光速 ）信号伝達が可能であり、不確定性原理が破られる可能性のある、はるかに広範な非線形物理学の特殊なケースにすぎないという議論がある。[ 44 ] [ 45 ]
結果 以下は、ド・ブロイ・ボーム理論の分析から得られた結果のハイライトです。実験結果は、量子力学の標準的な予測と一致する限りにおいて、それらすべてと一致します。しかし、標準的な量子力学は「測定」の結果を議論することに限定されているのに対し、ド・ブロイ・ボーム理論は外部の観測者の介入なしにシステムのダイナミクスを支配します（ ベル[ 51 ]
標準量子力学との一致の根拠は、粒子が次のように分布しているということである。| ψ | 2 {\displaystyle |\psi |^{2}} [ 15 ]
スピンと偏光の測定 通常の量子論によれば、粒子のスピン や偏光 を直接測定することはできません。代わりに、ある方向の成分が測定されます。単一粒子の結果は、粒子が測定装置と整列している場合は 1、反対方向に整列している場合は -1 となります。偏光子によって状態 1 に準備された粒子群は、後続の装置ではすべて状態 1 に偏光した状態で測定されます。最初の通過に対して角度をつけて設定された偏光子を通過する偏光した粒子群は、相対的な整列に応じて、一部が 1 、一部が -1 の値になります。これに関する詳細な説明については、シュテルン＝ゲルラッハ実験を 参照してください。
ド・ブロイ・ボーム理論では、スピン実験の結果は、実験装置に関する知識なしには分析できません。粒子の軌道に影響を与えずに、ある装置では粒子がスピンアップとして記録され、別の装置ではスピンダウンとして記録されるように装置を変更することは可能です[ 52 ] [ 53 ]
ド・ブロイ・ボーム理論は、（非相対論的）量子力学とほぼ同じ結果を与える。波動関数は粒子の運動を記述するため、この理論では波動関数を基本的な対象として扱う。つまり、実験ではこの2つの理論を区別することはできない。このセクションでは、標準量子形式が量子力学からどのように生じるかという考え方の概要を説明する。[ 14 ] [ 15 ]
波動関数の崩壊 ド・ブロイ＝ボーム理論は、主に宇宙全体に適用される理論です。つまり、宇宙のすべての粒子の運動は、導出方程式に従って単一の波動関数によって支配されます。理論的には、ある粒子の運動は、宇宙の他のすべての粒子の位置に依存します。実験系などの状況では、系の波動関数が系の環境を条件付けすることによって得られるド・ブロイ＝ボーム理論を用いて、系自体を表現することができます。したがって、系はシュレーディンガー方程式と導出方程式を用いて、初期条件とともに解析することができます。| ψ | 2 {\displaystyle |\psi |^{2}} サブシステムの条件付き波動関数に関するセクションを参照）。
システムの条件付き波動関数が量子進化に従うためには、特別な設定が必要です。システムが測定などを通じて環境と相互作用すると、システムの条件付き波動関数は異なる形で進化します。普遍的な波動関数の進化は、システムの波動関数が異なる状態の重ね合わせにあるように見えるようなものになる可能性があります。しかし、環境が実験結果を記録している場合、環境の実際のボーム配置を条件として使用することで、条件付き波動関数は測定結果に対応するただ一つの選択肢に収束します。
崩壊は決して起こりません。その全発展はシュレーディンガー方程式によって支配され、粒子の発展はガイド方程式によって支配されます。崩壊は、独自のシュレーディンガー方程式に従っているように見える系においてのみ、 現象論的な 形で起こります。これは系の有効な記述であるため、実験系に何を含めるかを定義することは選択の問題であり、それが「崩壊」が起こるタイミングに影響を与えます。
観測可能な演算子 標準的な量子形式論では、観測量の測定は一般的にヒルベルト空間上の演算子の測定と考えられています。たとえば、位置の測定は位置演算子の測定であると考えられています。この物理的測定とヒルベルト空間演算子の間の関係は、標準的な量子力学では理論の追加公理です。対照的に、ド・ブロイ・ボーム理論では、そのような測定公理は必要ありません（そして、測定自体は、この理論における物理的プロセスの動的に異なる特別なサブカテゴリではありません）。特に、通常の演算子を観測量とする形式論は、ド・ブロイ・ボーム理論では定理です。[ 54 ]
ド・ブロイ＝ボーム理論の歴史において、提唱者たちはこの理論が不可能であるという主張にしばしば対処しなければならなかった。このような議論は一般的に、演算子を観測量として不適切に分析することに基づいている。スピン測定が、測定前に存在していた粒子のスピンを測定していると考えるならば、矛盾が生じる。ド・ブロイ＝ボーム理論は、スピンは粒子の特性ではなく、波動関数の特性であると指摘することで、この問題に対処する。したがって、スピンは実験装置が選択されて初めて確定的な結果を持つ。これを考慮に入れると、不可能性定理は無関係になる。また、この理論は、通常、演算子の固有状態を含む特定の状況について述べていることに基づく反論もある。例えば、水素の基底状態は実数波動関数である。指導方程式によれば、これは電子がこの状態にあるときに静止していることを意味する。それにもかかわらず、それは| ψ | 2 {\displaystyle |\psi |^{2}}
演算子を観測量として扱うと、多くの演算子が等価であると考える人が多くなります。この観点から、ド・ブロイ・ボーム理論は、運動量観測量などではなく、位置観測量を好ましい観測量として選択します。ここでも、位置観測量との関連性は、力学の結果です。ド・ブロイ・ボーム理論の動機は、粒子のシステムを記述することです。これは、理論の目標が、それらの粒子の位置を常に記述することであることを意味します。他の観測量には、このような説得力のある存在論的地位はありません。明確な位置を持つことで、検出器の画面上の閃光のような明確な結果が得られることが説明できます。他の観測量ではそのような結論には至りませんが、他の観測量のための数学理論を定義することに問題はありません。任意の可換演算子の集合に対して確率密度と確率電流を定義できるという事実の探求については、Hyman ら[ 55 ]を参照してください。
隠れ変数 ド・ブロイ＝ボーム理論はしばしば「隠れた変数」理論と呼ばれます。ボームはこの主題に関する最初の論文でこの表現を用い、「通常の解釈 の観点からすると、これらの追加要素またはパラメータ（すべてのプロセスの詳細な因果的かつ連続的な記述を可能にするもの）は『隠れた』変数と呼ばれる可能性がある」と書いています。ボームとハイリーは後に、ボームが「隠れた変数」という用語を選んだのは制限が厳しすぎると感じたと述べています。特に、粒子は実際には隠れているのではなく、「観測において最も直接的に現れるものであるが、その性質は（不確定性原理 によって設定された限界内で）任意の精度で観測することはできない」と主張しました。[ 56 ] [ 57 ]
一般化された粒子の軌道は、同様に準備されたシステムの集合に対する多数の弱い測定から外挿することができ、そのような軌道はド・ブロイ・ボーム軌道と一致します。特に、弱い測定と事後選択を使用して一方の光子のボーム軌道のセットが決定された、2 つのもつれた光子の実験は、その光子の軌道ともう一方の光子の偏光との間の非局所的なつながりという観点から理解できます。[ 58 ] [ 59 ]
ハイゼンベルクの不確定性原理は、特定の観測量のペア [ a ] Δ x {\displaystyle \Delta x} Δ p {\displaystyle \Delta p} Δ x Δ p ≥ ℏ / 2. {\displaystyle \Delta x\Delta p\geq \hbar /2.} [ 64 ]
ド・ブロイ＝ボーム理論では、粒子の位置と運動量について常に事実が存在します。各粒子は、波動関数とともに明確に定義された軌道を持っています。観測者は、この軌道（したがって位置と運動量）について限られた知識しか持ちません。粒子の軌道に関する知識の欠如が、不確定性関係の原因となります。ある時点における粒子について知ることができる情報は、波動関数によって記述されます。不確定性関係は、量子力学の他の解釈においても波動関数から導出できるため、ド・ブロイ＝ボーム理論においても（上述の認識論的な意味で）同様に導出することができます。
言い換えれば、粒子の位置は統計的にしか分からない。古典力学 と同様に、粒子の位置を連続的に観測することで、実験者は粒子の初期条件 に関する知識をより正確に把握できるようになる。したがって、観測を重ねるごとに、初期条件はますます制約されていく。この形式は、シュレーディンガー方程式の通常の用法と矛盾しない。
不確定性関係の導出については、ハイゼンベルクの不確定性原理を参照してください。なお、この記事では コペンハーゲン解釈 の観点からこの原理を説明しています。
ド・ブロイ＝ボーム理論は非局所性 の問題を強調し、ジョン・スチュワート・ベルが 現在有名な定理 [ 65 ] ベルテスト につながった。
アインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンのパラドックス では、相互作用した粒子のペアに対して行うことができる思考実験について述べられており、その結果は量子力学が不完全な理論であることを示していると解釈されている。[ 66 ]
数十年後、ジョン・ベルは ベルの定理 を証明した（ ベル[ 51 ] 反事実的確定性 と多世界解釈を 参照）。特にベルは、一意の結果を持つ局所的な理論は、ベルの不等式と呼ばれる統計的制約を満たす経験的予測を行わなければならないことを証明した。
アラン・アスペは、偏光エンタングルド光子を用いて ベルの不等式の 一連のテストを行った。アスペの結果は、ベルの不等式が実際に破られていることを実験的に示しており、関連する量子力学的予測が正しいことを意味する。これらのベルテストでは、エンタングルド粒子ペアが生成され、その後粒子は分離され、遠隔の測定装置へと移動する。粒子が飛行している間に測定装置の向きを変えることができ、効果の明らかな非局所性を実証する。[ 65 ] [ 67 ]
ド・ブロイ＝ボーム理論は、通常の量子力学と同様に、ベルテストに関して経験的に検証された予測を行う。ド・ブロイ＝ボーム理論は非相対論的であり、明らかに非局所的である。このため、しばしば批判されたり、拒否されたりする。ベルの態度は、「この［非局所性］をこれほど明確に示して無視できないようにすることが、ド・ブロイ＝ボーム版の長所である」というものであった。[ 68 ]
ド・ブロイ＝ボーム理論は、ベル実験の物理現象を次のように説明しています。粒子の進化を理解するには、両方の粒子に対して波動方程式を立てる必要があります。装置の向きは波動関数に影響を与えます。実験中の粒子は波動関数の指示に従います。装置の向きを変えることで光速を超える効果をもたらすのは波動関数です。 モードリンは 、どのような種類の非局所性が存在し、それが相対性理論とどのように両立するのかを詳細に分析しています。[ 69 ] ベルは、非局所性によって超光速通信が 不可能であることを示しました。
古典的極限 ボームが古典的な形式で定式化したド・ブロイ・ボーム理論には、ボームが1952年に指摘したように、量子ポテンシャルが無視できる状況では、古典的な振る舞いがすぐに現れるように見えるという利点がある。デコヒーレンス の現代的な手法は、この極限の分析に関連している。厳密な分析に向けた手順については、 Allori et al. [ 70 ]を参照のこと。
量子軌道法 2000年代初頭のロバート・E・ワイアット の研究では、ボーム「粒子」を量子状態の実際の軌跡を時間と空間で追跡する適応メッシュとして使用しようと試みました。「量子軌跡」法では、量子波動関数を直交点のメッシュでサンプリングします。次に、ボーム運動方程式に従って直交点を時間的に進化させます。各時間ステップで、点から波動関数を再合成し、量子力を再計算して、計算を続行します。このアプローチは、化学物理学コミュニティの多くの研究者によって、半古典的および準古典的な分子動力学を計算する方法として、適応、拡張、使用されています。2007年のThe Journal of Physical Chemistry A の号は、ワイアット教授と彼の「計算ボーム動力学」に関する研究に捧げられました。[ 71 ]
ヒューストン大学 のエリック・R・ビットナー の研究グループ[ 72 ] は、ベイズサンプリング技術を用いて量子密度をサンプリングし、構造のない点のメッシュ上で量子ポテンシャルを計算する、このアプローチの統計的変種を開発しました。この技術は最近、 n ≈ 100の小さなクラスターNe n の熱容量における量子効果を推定するために使用されました。
ボームアプローチを用いる場合、主に量子波動関数の節による量子ポテンシャルの特異点の形成に関連する困難が残る。一般に、干渉効果によって形成される節は、次のような場合につながる。R − 1 ∇ 2 R → ∞ 。 {\displaystyle R^{-1}\nabla ^{2}R\to \infty .}
これらの方法は、ボームのハミルトン・ヤコビ定式化と同様に、スピンの完全なダイナミクスを考慮に入れる必要がある状況には適用できない。
ド・ブロイ＝ボーム理論における軌道の特性は、モヤルの量子軌道 や、開放量子系の展開から得られる量子軌道とは大きく異なる。
多世界解釈との類似点 キム・ヨリス・ボストロムは、ド・ブロイ＝ボーム力学とエヴェレット の多世界解釈の要素を組み合わせた非相対論的量子力学理論を提唱した。特に、ホーキングとワインバーグによる非現実的な多世界解釈は、ボームの非現実的な空虚な分岐世界の概念に類似している。
ボーム力学における2つ目の問題は、一見すると無害に見えるかもしれないが、詳しく見ていくとかなりの破壊力を持つ。それは、空の枝の問題である。これらは、実際の配置q を持たないため、どの粒子も誘導しない測定後状態の構成要素である。一見すると、空の枝は問題ではなく、むしろ理論が測定の特異な結果を説明できるため非常に役立つように見える。また、通常の量子力学と同様に、なぜ「波動関数の崩壊」が起こるのかを説明するようにも見える。しかし、詳しく見ていくと、これらの空の枝は実際には消滅しないことを認めざるを得ない。波動関数は実際に存在する場を記述するものとみなされるため、そのすべての枝は実際に存在し、進化の過程でいくつが空になろうとも、シュレーディンガー力学によって永遠に進化し続けるのである。ボームの存在論によれば、グローバル波動関数の各枝は潜在的に完全な世界を記述するが、それは粒子で満たされていれば現実の世界となる可能性のある世界にすぎず、エヴェレットの理論における対応する世界とあらゆる点で同一である。一度に粒子が存在するのは1つの枝だけであり、それによって現実の世界を表すが、他のすべての枝は、実際に存在する波動関数の一部として実際に存在しているにもかかわらず、空であり、惑星、海、木、都市、車、そして私たちのように話し、私たちのように振る舞う人々を含む一種の「ゾンビ世界」を含んでいるが、それらは実際には存在しない。さて、エヴェレットの理論が存在論的に過剰であると非難されるならば、ボームの力学は存在論的に無駄であると非難されるかもしれない。空の枝の存在論に加えて、量子平衡仮説のために観測者には永遠に未知の粒子の位置の存在論が加わる。しかし、実際の構成は実験的現実における統計的予測の計算には決して必要なく、これらは単なる波動関数代数によって得られる。この観点からすると、ボーム力学は無駄で冗長な理論に見えるかもしれない。私は、このような考察こそがボーム力学の一般的な受容を阻む最大の障害だと考えている。[ 73 ]
多くの著者が、ド・ブロイ＝ボーム理論をエヴェレットの多世界解釈と比較することで、批判的な見解を表明してきた。ド・ブロイ＝ボーム理論の支持者の多く（ボームやベルなど）は、普遍波動関数を物理的に実在するものと解釈している（ただし全員ではない）。エヴェレット理論の支持者の中には、（決して崩壊しない）波動関数を物理的に実在するものとみなすならば、その理論をエヴェレット理論と同じ多世界を持つものと解釈するのが自然だと考える者もいる。エヴェレットの見解では、ボーム粒子の役割は「ポインター」として機能し、普遍波動関数の1つの枝だけをタグ付けまたは選択することである（この枝が、特定の実験の観測結果を決定する 波束 を示すという仮定は、「結果仮定」[ 74 ] [ 74 ] H. ディーター・ツェーは これらの「空の」枝について次のようにコメントしています。[ 75 ]
ボームの理論は、エヴェレットの解釈（現在は「空虚な」波動成分とみなされている）と同じ動的に分離した分岐の「多くの世界」を含んでいることは、見過ごされがちである。なぜなら、ボームの理論はまさに同じグローバル波動 関数に基づいているからである。
デイヴィッド・ドイッチュは 、同じ点をより「辛辣に」表現している。[ 74 ] [ 76 ]
パイロット波理論は、慢性的な否認状態にある並行宇宙理論である。
この結論は、デトレフ・デュールとジャスティン・ラザロヴィチによって異議を唱えられている。
もちろん、ボーム主義者はこの議論を受け入れることはできない。彼女にとって、世界（あるいはむしろ世界そのもの）を構成するのは、抽象的な配置空間上の波動関数ではなく、三次元空間における粒子の配置である。その代わりに、彼女はエヴェレット主義者の理論には局所的な存在対象（ベルの意味で）がない、つまり三次元空間や四次元時空における局所的な実体を参照する存在論的変数がないと非難するだろう。したがって、彼女の理論における多くの世界は、この欠落のグロテスクな結果として現れるにすぎない。[ 77 ]
派生 ド・ブロイ＝ボーム理論は、これまで数多くの方法で導出されてきた。以下に6つの導出例を示すが、それぞれが大きく異なり、この理論の理解と拡張において異なる方向性を示している。
導出方程式も同様の方法で導出できます。平面波を仮定します。ψ （ x 、 t ） = A e 私 （ k ⋅ x − ω t ） {\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}} 私 k = ∇ ψ / ψ {\displaystyle i\mathbf {k} =\nabla \psi /\psi } p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} } v = ℏ m 私は （ ∇ ψ ψ ） {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right)} この導出ではシュレーディンガー方程式を使用していないことに注意してください。 時間発展の下で密度を保存することも、導出方法の一つである。これはベルが引用している方法である。この方法は、多くの代替理論に一般化できる。出発点は連続方程式である。 − ∂ ρ ∂ t = ∇ ⋅ （ ρ v ψ ） {\displaystyle -{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot (\rho v^{\psi })} ρ = | ψ | 2 {\displaystyle \rho =|\psi |^{2}} スピンを持たない粒子に適用できる方法として、波動関数を極分解し、シュレーディンガー方程式を2つの連立方程式（上記の連続方程式と ハミルトン・ヤコビ方程式） に変換する方法がある。これは1952年にボームが用いた方法である。分解と方程式は以下のとおりである。 分解：ψ （ x 、 t ） = R （ x 、 t ） e 私 S （ x 、 t ） / ℏ 。 {\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=R(\mathbf {x} ,t)e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar }.} R 2 （ x 、 t ） {\displaystyle R^{2}(\mathbf {x} ,t)} ρ （ x 、 t ） = | ψ （ x 、 t ） | 2 {\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}} 連続の式：− ∂ ρ （ x 、 t ） ∂ t = ∇ ⋅ （ ρ （ x 、 t ） ∇ S （ x 、 t ） m ） {\displaystyle -{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\rho (\mathbf {x} ,t){\frac {\nabla S(\mathbf {x} ,t)}{m}}\right)} ハミルトン・ヤコビ方程式：∂ S （ x 、 t ） ∂ t = − [ 1 2 m （ ∇ S （ x 、 t ） ） 2 + V − ℏ 2 2 m ∇ 2 R （ x 、 t ） R （ x 、 t ） ] 。 {\displaystyle {\frac {\partial S(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\left[{\frac {1}{2m}}(\nabla S(\mathbf {x} ,t))^{2}+V-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R(\mathbf {x} ,t)}{R(\mathbf {x} ,t)}}\right].} ハミルトン・ヤコビ方程式は、ポテンシャルを持つニュートン系から導出される方程式である。V − ℏ 2 2 m ∇ 2 R R {\displaystyle V-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}} ∇ S m 。 {\displaystyle {\frac {\nabla S}{m}}.} V {\displaystyle V} R {\displaystyle R} は量子ポテンシャル であり、ボームによって導入された用語である。 これにより、量子論は量子力によって修正された古典的な力の下で運動する粒子として捉えられる。しかし、標準的なニュートン力学 とは異なり、初期速度場はすでに指定されている。∇ S m {\displaystyle {\frac {\nabla S}{m}}} 4番目の導出はDürrら[ 15 ] Dürrら[ 33 ] H {\displaystyle H} f {\displaystyle f} f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} （ v （ f ） ） （ q ） = 再 （ ψ 、 私 ℏ [ H 、 f ^ ] ψ ） （ ψ 、 ψ ） （ q ） {\displaystyle (v(f))(q)=\operatorname {Re} {\frac {\left(\psi ,{\frac {i}{\hbar }}[H,{\hat {f}}]\psi \right)}{(\psi ,\psi )}}(q)} （ v 、 w ） {\displaystyle (v,w)} この定式化により、粒子の生成や消滅といった確率論的理論が可能となる。
歴史 ド・ブロイが後にパイロット波理論と呼ぶことになるこの理論は、物質波 の概念を導入した1924年の有名な博士 論文 で初めて探求された。ド・ブロイは、粒子力学の新たな基礎として、各粒子に「位相波」を導入した。光学力学のアナロジー に基づき、粒子の速度は、誘導波における等位相の面に垂直な軌道をたどることになる。粒子の速度は位相波の群速度に等しく、力から生じる加速度ではなく、波面の勾配から導かれる速度となる。[ 86 ] ： 33
ド・ブロイの博士論文は、光学と力学の変分原理 の融合に基づいていた。 [ 86 ] ： フェルマーの原理を取り上げ、点 a と点b の間の定常位相の条件として記述した。 δ ∫ 1 b d ϕ = 0. {\displaystyle \delta \int _{a}^{b}d\phi =0.} dl を用いて次のように表すことができる。 d ϕ = 2 π ν d l v ph {\displaystyle d\phi ={\frac {2\pi \nu dl}{v_{\textrm {ph}}}}} ν {\displaystyle \nu } 速度 v ph = c 2 / v 。 {\displaystyle v_{\textrm {ph}}=c^{2}/v.} プランクの関係式 、質量エネルギー等価性 を用いて、h ν = E = m c 2 {\displaystyle h\nu =E=mc^{2}} d ϕ = 2 π h m v d l 。 {\displaystyle d\phi ={\frac {2\pi }{h}}mv\ dl.} モーペルテュイの原理にたどり着き、 δ ∫ 1 b m v ⋅ d x = 0. {\displaystyle \delta \int _{a}^{b}m\mathbf {v} \cdot d\mathbf {x} =0.}
位相波に適用されるフェルマーの原理は、運動体に適用されるモーペルテュイの原理と同一である。運動体の動的に可能な軌跡は、波の可能な光線と同一である。[ 86 ] ：
ド・ブロイの論文は、彼自身が認めているように抽象的で不完全なものであったが、大きな影響を与えた。アインシュタインは「彼は大きなベールの片隅を持ち上げてくれた」とコメントした。[ 86 ] ：
1927年のパイロット波理論 パイロット波理論は、ド・ブロイの1927年の論文「波動力学と物質および放射線の原子構造」 で初めて登場した。この論文の大部分は、粒子を3次元空間における波の特異点として記述し、粒子の運動はシュレーディンガーの量子論における波に一致する別の連続波によって決定されるとしている。モーペルテュイの原理とフェルマーの原理の統一に基づき、粒子の速度は連続波の位相によって与えられる一次の動力学に従う。m 私 v 私 = ∇ 私 ϕ 。 {\displaystyle m_{i}\mathbf {v} _{i}=\nabla _{i}\phi .} [ 86 ] ：
ド・ブロイは1927年のソルベー会議でパイロット波理論を発表し、パイロット波を仮定するだけで特異点の側面を省略した。[ 87 ] [ 86 ]発表 ヴォルフガング ・パウリは 、この理論がフェルミが非弾性散乱の場合に以前採用した半古典的手法と互換性がないことを指摘した。一般に知られている伝説とは異なり、ド・ブロイは実際には、その特定の手法はパウリの目的に一般化できないという正しい反論をしたが、聴衆は技術的な詳細に気付かず、ド・ブロイの穏やかな態度はパウリの異議が正当であるという印象を与えた。彼は最終的に、この理論が引き起こした批判に落胆したため、この理論を放棄するよう説得された。[ 88 ] 量子デコヒーレンスを 理解していなかったため、適切な測定理論が欠けている。
ピーター・R・ホランドは、1927年の初めに アインシュタインが 実際に同様の提案のプレプリントを提出したが、納得できなかったため出版前に撤回したことを指摘している。 [ 89 ] のように ）、粒子を超えた実体（数学的には波動関数または関数によって記述される）によってすべてが作用を受けるからである」ということである。[ 90 ] 量子ポテンシャル である。
当時の主流の理論に不満を抱いていたデイヴィッド・ボームは、1952年にド・ブロイのパイロット波理論を再発見した。ボームの提案は当時広く受け入れられなかったが、その理由の一つは、ボームが若い頃に共産 主義者であったことなど、内容とは無関係な理由によるものだった。[ 91 ] ベルの定理の著者である ジョン・スチュワート・ベルは 、1982年にこの理論について次のように書いている。
ボームは、非相対論的波動力学にパラメータを導入することで、非決定論的な記述を決定論的な記述に変換できることを明確に示しました。さらに重要なことに、私の考えでは、従来の記述における主観性、すなわち「観測者」への必然的な言及を排除できるようになったのです。
しかし、なぜボルンはこの「パイロット波」について私に教えてくれなかったのだろうか？たとえそれが間違っている点を指摘するためだけでも？なぜフォン・ノイマンはそれを考慮に入れなかったのだろうか？さらに驚くべきことに、なぜ人々は1952年以降、そしてつい最近の1978年まで「不可能」の証明を作り続けたのだろうか？...なぜパイロット波の図は教科書で無視されているのだろうか？唯一の方法としてではなく、蔓延する自己満足に対する解毒剤として教えられるべきではないだろうか？曖昧さ、主観性、不確定性は実験的事実によって強制されるのではなく、意図的な理論的選択によってもたらされることを示すために？[ 92 ]
1990年代以降、ド・ブロイ・ボーム理論の拡張を定式化することへの関心が再び高まり、スピン や曲がった空間幾何学などの他の特徴に加えて、特殊相対性理論 や量子場理論 との調和を試みている。[ 93 ]
コペンハーゲン学派の正統派に完全に準拠した人気教科書『量子論』 を出版した後、ボームはアインシュタインの説得を受けて、フォン・ノイマンの「隠れた変数なし」証明を批判的に検討した。その結果生まれたのが『隠れた変数による量子論の解釈案 I および II』[ボーム 1952]である。これはパイロット波理論の独立した起源であり、測定の一貫した理論を組み込むように拡張され、ド・ブロイが適切に対応しなかったパウリの批判にも対処している。この理論は決定論的であるとされている（ただし、ボームは原著論文で、ブラウン運動がニュートン力学を乱すように、この理論にも何らかの乱れが生じるべきだと示唆している）。この段階はベルの著作[ベル 1987]では ド・ブロイ＝ボーム理論 として知られており、『運動の量子論』[ホランド 1993]の基礎となっている。
この段階は複数の粒子に適用され、決定論的である。
ド・ブロイ＝ボーム理論は、隠れた変数理論 の一例である。ボームは当初、隠れた変数によって、シュレーディンガーの猫 、測定問題 、波動関数の崩壊といった量子力学の多くのパラドックスを解決または解消できるような、局所的 で因果的 かつ客観的な記述が得られると期待していた。しかし、 ベルの定理は 、量子力学の予測と両立する局所的な隠れた変数理論は存在し得ないことを示しており、この期待を複雑にしている。ボームの解釈は因果的ではあるが、局所的ではない。
ボームの論文は、他の物理学者からほとんど無視されるか酷評された。ボームに、当時主流だったコペンハーゲン解釈に代わる現実主義的な代替案を探すよう提案した アルバート・アインシュタイン は、ボームの解釈を量子非局所性の問題に対する満足のいく答えとは考えず、「安易すぎる」と評した[ 94 ]。 ヴェルナー・ハイゼンベルクは それを「余計な『イデオロギー的上部構造』」とみなした[ 95 ] 。1927年にド・ブロイに納得しなかったヴォルフガング・パウリは 、ボームに対して次のように譲歩した。
11月20日付の長文の手紙を受け取り、論文の詳細についてもより詳しく検討しました。あなたの結果が通常の波動力学の結果と完全に一致し、測定装置と観測システムの両方であなたの隠されたパラメータの値を測定する手段が与えられていない限り、論理的な矛盾の可能性はもはや見当たりません。現状では、あなたの「波動力学の予言」は、換金できないチェックマークのようなものです。[ 96 ]
彼はその後、ボームの理論を「人工的な形而上学」と評した。[ 97 ]
物理学者のマックス・ドレスデン によれば、ボームの理論がプリンストン高等研究所 で発表された際、多くの反対意見は人身攻撃であり、ボームが 下院非米活動委員会 での証言を拒否したことに代表される、ボームの共産主義者への共感に焦点を当てていたという。[ 98 ]
1979年、クリス・フィリピディス、クリス・デューニー、バジル・ハイリーは 、量子ポテンシャルに基づいて数値計算を行い、粒子の軌道のアンサンブルを導出した最初の研究者であった。[ 99 ] [ 100 ] [ 101 ]
やがてジョン・ベルは この理論を擁護し始めた。『量子力学における語れることと語れないこと』[ベル 1987]には、隠れた変数理論（ボームの理論を含む）に言及する論文がいくつか掲載されている。
特定の実験配置で生じるボームモデルの軌跡は、一部の人々によって「超現実的」と呼ばれた。[ 102 ] [ 103 ] シェルドン・ゴールドスタイン はボームの理論について次のように述べている。「かつては異端とみなされ、それについて話すことさえできなかった時代があった。ボームの研究に実際に取り組むことは、物理学者としてのキャリアにとって今でも致命的かもしれないが、状況は変わりつつあるかもしれない」。[ 59 ]
ボーム力学 ボーム力学は同じ理論ですが、確率がボルンの規則に従うという量子平衡仮説 に基づいて決定される電流の流れの概念に重点を置いています。 「ボーム力学」という用語は、スピンのないボーム理論の拡張のほとんどを含むためにもよく使用されます。ド・ブロイ・ボーム理論は、量子ポテンシャル のアイコンとともに、ラグランジアン とハミルトン・ヤコビ方程式を 主な焦点と背景としていますが、ボーム力学は連続方程式 を主なものとし、ガイド方程式をアイコンとしています。 ハミルトン・ヤコビの定式化が適用される限り、つまりスピンのない粒子である限り、これらは数学的に等価です。
この理論では、非相対論的量子力学のすべてを完全に説明できます。最近の研究では、この形式論を使用して多体量子系の時間発展を計算しており、他の量子ベースの方法と比較して大幅に速度が向上しています。[ 104 ]
因果解釈と存在論的解釈 ボームは、当初は因果的解釈 と呼んでいた独自のアイデアを発展させた。しかし後に、因果的という言葉は 決定論的 と似すぎていると感じ、自身の理論を存在論的解釈と 呼ぶことを好んだ。主な参考文献は『分割されない宇宙』（ボーム、ハイリー、1993年）である。
この段階では、ボーム自身と、ジャン＝ピエール・ヴィジェ 、バジル・ハイリーとの共同研究について取り上げます。ボームはこの理論が非決定論的であることを明確に述べています（ハイリーとの共同研究には確率論的理論が含まれています）。そのため、厳密に言えばこの理論はド・ブロイ＝ボーム理論の定式化ではありませんが、「ボーム解釈」という用語はこの理論とド・ブロイ＝ボーム理論の間で曖昧なため、ここで言及する価値があります。
1996年に科学哲学者の アーサー・ファイン は、1952年のボームのモデルの可能な解釈について詳細な分析を行った。[ 105 ]
ウィリアム・シンプソンは、宇宙は物質粒子と実体的な形態から構成されるアリストテレス的な実体であるというボーム力学のヒュロモルフィック 解釈を提案した。波動関数は粒子の軌道を振り付ける役割を担っている。 [ 106 ]
流体力学的量子類似体 クーダーの論争の的となっている[ 107 ] [ 108 ] [ 109 ] は、パイロット波 モデルを「具現化」したとされている。 CouderとFort（2006）の研究[ 110 ] [ 111 ] [ 112 ] [ 113 ] [ 114 ] 類似物はファラデー波 [ 115 ] [ 116 ] [ 117 ] [ 118 ]
別の古典的な類似例は、表面重力波でも報告されている。[ 119 ]
シュールレアリスム的な軌跡 1992年、Englert、Scully、Sussman、およびWaltherは、粒子がBohmの軌道とは異なる経路をたどることを示す実験を提案した。[ 102 ] [ 58 ] [ 128 ] [ 58 ] [ 129 ]
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![{\displaystyle (v(f))(q)=\operatorname {Re} {\frac {\left(\psi ,{\frac {i}{\hbar }}[H,{\hat {f}}]\psi \right)}{(\psi ,\psi )}}(q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a152b01c38974ca0aae94ace66f0c754bc0197a7)
![{\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=[\nabla S(\mathbf {x} (t),t))]/m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11edf93808e16578b12ee0236405b6b464153e71)
