量子確率計算

量子確率計算は、確率計算を非可換変数に一般化したものである。^[1]量子確率計算によって提供されるツールは、量子軌跡のように、測定を受けるシステムのランダムな進化をモデル化するのに非常に役立つ。 ^{[2] ：148}リンドブラッドマスター方程式がフォッカー-プランク方程式の量子一般化を提供するのと同じように、量子確率計算は古典的なランジュバン方程式に類似した量子確率微分方程式（QSDE）の導出を可能にする。

この記事の残りの部分では、確率計算を量子確率計算と明確に区​​別するために、 古典確率計算と呼ぶことにします。

量子確率計算が必要となる重要な物理的シナリオは、熱浴と相互作用するシステムの場合である。多くの状況では、熱浴を調和振動子の集合としてモデル化することが適切である。システムと熱浴の間の相互作用の1つのタイプは、（標準変換を行った後）次のハミルトニアンでモデル化することができる：^{[3] ：42、45}

${\displaystyle H=H_{\mathrm {sys} }(\mathbf {Z} )+{\frac {1}{2}}\sum _{n}\left((p_{n}-\kappa _{ n}X)^{2}+\omega _{n}^{2}q_{n}^{2}\right)\,,}$

ここで、はシステム ハミルトニアン、は有限数の自由度に対応するシステム変数を含むベクトル、はさまざまな浴モードのインデックス、は特定のモードの周波数、は特定のモードの浴演算子、はシステム演算子であり、システムと特定の浴モード間の結合を定量化します。 ${\displaystyle H_{\mathrm {sys} }}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle q_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \kappa_{n}}$

このシナリオでは、任意のシステム演算子の運動方程式は量子ランジュバン方程式と呼ばれ、次のように記述される: ^{[3] : 46–47}${\displaystyle Y}$

ここで、およびはそれぞれ交換子と反交換子を表し、メモリ関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(t)\equiv \sum _{n}\kappa _{n}^{2}\cos(\omega _{n}t)\,,}$

時間依存ノイズ演算子は次のように定義されます。 ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi (t)\equiv i\sum _{n}\kappa _{n}{\sqrt {\frac {\hbar \omega _{n}}{2}}}\left(-a_{n}(t_{0})e^{-i\omega _{n}(t-t_{0})}+a_{n}^{\dagger }(t_{0})e^{i\omega _{n}(t-t_{0})}\right)\,,}$

ここで、浴消滅演算子は次のように定義されます。 ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}\equiv {\frac {\omega _{n}q_{n}+ip_{n}}{\sqrt {2\hbar \omega _{n}}}}\,.}$

多くの場合、この方程式は必要以上に一般的なので、方程式を簡略化するためにさらに近似が行われます。

多くの目的において、熱浴の性質について近似値をとり、白色ノイズ形式を実現するのが便利である。このような場合、相互作用はハミルトニアンでモデル化できる。ここで：^{[4] : 3762}${\displaystyle H=H_{\mathrm {sys} }+H_{B}+H_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle H_{B}=\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,\omega b^{\dagger }(\omega )b(\omega )\,,}$

そして

${\displaystyle H_{\mathrm {int} }=i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,\kappa (\omega )\left(b^{\dagger }(\omega )c-c^{\dagger }b(\omega )\right)\,,}$

ここで、は交換関係 を持つ浴の消滅演算子であり、はシステム上の演算子であり、浴モードのシステムへの結合の強さを定量化し、自由なシステム発展を記述する。^{[3] : 148}このモデルは回転波近似を使用し、数学的に単純なホワイトノイズ形式を許容するために の下限をまで拡張する。結合の強さは通常、第1マルコフ近似と呼ばれる定数に簡略化される。^{[4] : 3763}${\displaystyle b(\omega )}$${\displaystyle [b(\omega ),b^{\dagger }(\omega ^{\prime })]=\delta (\omega -\omega ^{\prime })}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \kappa (\omega )}$${\displaystyle H_{\mathrm {sys} }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle \kappa (\omega )={\sqrt {\frac {\gamma }{2\pi }}}\,.}$

調和振動子の槽に結合されたシステムは、ノイズ入力によって駆動され、ノイズ出力を放射すると考えられる。^{[3] : 43}時刻における入力ノイズ演算子は次のように定義される。^{[3] : 150  [4] : 3763}${\displaystyle t}$

${\displaystyle b_{\mathrm {in} }(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,e^{-i\omega (t-t_{0})}b_{0}(\omega )\,,}$

ここで、この演算子はハイゼンベルク描像で表されるためである。交換関係を満たすことで、モデルはマルコフのマスター方程式と厳密に対応することができる。^{[2] : 142}${\displaystyle b_{0}(\omega )=\left.b(\omega )\right\vert _{t=t_{0}}}$${\displaystyle [b_{\mathrm {in} }(t),b_{\mathrm {in} }^{\dagger }(t^{\prime })]=\delta (t-t^{\prime })}$

これまで説明した白色ノイズ設定では、任意のシステム演算子に対する量子ランジュバン方程式はより単純な形をとる：^{[4] ：3763}${\displaystyle a}$

古典的な白色雑音に最も近いケースでは、システムへの入力は密度演算子によって記述され、次の期待値を与える：^{[3] ：154}

量子確率積分を定義するためには、量子ウィーナー過程を定義することが重要である：^{[3] ：155  [4] ：3765}

${\displaystyle B(t,t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}b_{\mathrm {in} }(t^{\prime })\mathrm {d} t^{\prime }\,.}$

この定義により、量子ウィーナー過程に交換関係が与えられる。( WN2 )におけるバス消滅演算子の特性は、量子ウィーナー過程が次の期待値を持つことを意味する。 ${\displaystyle [B(t,t_{0}),B^{\dagger }(t,t_{0})]=t-t_{0}}$

${\displaystyle \langle B^{\dagger }(t,t_{0})B(t,t_{0})\rangle _{\rho (t,t_{0})}=N(t-t_{0})\,.}$

量子ウィーナー過程は、密度演算子を定義することによって、 その準確率分布がガウス分布になるように指定されます。

${\displaystyle \rho (t,t_{0})=(1-e^{-\kappa })\exp \left[-{\frac {\kappa B^{\dagger }(t,t_{0})B(t,t_{0})}{t-t_{0}}}\right]\,,}$

ここで. ^{[4] : 3765}${\displaystyle N=1/(e^{\kappa }-1)}$

システム演算子の確率的進化は、与えられた方程式の確率的積分の観点から定義することもできます。

システム演算子の量子伊藤積分は次のように与えられる: ^{[3] : 155}${\displaystyle g(t)}$

${\displaystyle (\mathbf {I} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(t_{i})\left(B(t_{i+1},t_{0})-B(t_{i},t_{0})\right)\,,}$

ここで、積分の前の太字 ( I ) は伊藤を表します。積分をこのように定義する特徴の 1 つは、増分とがシステム演算子と交換できることです。 ${\displaystyle \mathrm {d} B}$${\displaystyle \mathrm {d} B^{\dagger }}$

伊藤QSDEを定義するためには、バス統計について知っておく必要がある。^{[3] : 159}前述のホワイトノイズ形式の文脈では、伊藤QSDEは次のように定義できる。^{[3] : 156}

${\displaystyle (\mathbf {I} )\,\mathrm {d} a=-{\frac {i}{\hbar }}[a,H_{\mathrm {sys} }]\mathrm {d} t+\gamma \left((N+1){\mathcal {D}}[c^{\dagger }]a+N{\mathcal {D}}[c]a\right)\mathrm {d} t-{\sqrt {\gamma }}\left([a,c^{\dagger }]\mathrm {d} B(t)-\mathrm {d} B^{\dagger }(t)[a,c]\right)\,,}$

ここで、式はリンドブラッド超演算子を使用して簡略化されている：^{[2] ：105}

${\displaystyle {\mathcal {D}}[A]a\equiv AaA^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(A^{\dagger }Aa+aA^{\dagger }A\right)\,.}$

この微分方程式は、システム演算子を右辺の量子伊藤積分として定義するものとして解釈され、ランジュバン方程式（WN1）と同等である。^{[4] ：3765}${\displaystyle a}$

システム演算子の量子ストラトノビッチ積分は次のように与えられる: ^{[3] : 157}${\displaystyle g(t)}$

${\displaystyle (\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {g(t_{i})+g(t_{i+1})}{2}}\left(B(t_{i+1},t_{0})-B(t_{i},t_{0})\right)\,,}$

ここで、積分の前の太字の（S）はストラトノビッチを表す。伊藤の定式化とは異なり、ストラトノビッチ積分の増分はシステム演算子と交換せず、次が示される：^[3]

${\displaystyle (\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })-(\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} B(t^{\prime })g(t^{\prime })={\frac {\sqrt {\gamma }}{2}}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t^{\prime }\,[g(t^{\prime }),c(t^{\prime })]\,.}$

ストラトノビッチQSDEは次のように定義される: ^{[3] : 158}

${\displaystyle (\mathbf {S} )\,\mathrm {d} a=-{\frac {i}{\hbar }}[a,H_{\mathrm {sys} }]\mathrm {d} t-{\frac {\gamma }{2}}\left([a,c^{\dagger }]c-c^{\dagger }[a,c]\right)\mathrm {d} t-{\sqrt {\gamma }}\left([a,c^{\dagger }]\mathrm {d} B(t)-\mathrm {d} B^{\dagger }(t)[a,c]\right)\,.}$

この微分方程式は、システム演算子を右辺の量子ストラトノビッチ積分として定義するものとして解釈され、ランジュバン方程式（WN1）と同じ形式になります。^{[4] ：3766–3767}${\displaystyle a}$

量子確率積分の2つの定義は、前述のように定義された浴を仮定すると、次のように相互に関連している。^[3]${\displaystyle N}$

${\displaystyle (\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=(\mathbf {I} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\gamma }}N\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t^{\prime }\,[g(t^{\prime }),c(t^{\prime })]\,.}$

古典的な確率計算と同様に、伊藤積分とストラトノビッチ積分に対してそれぞれ適切な積分則を導くことができる：^{[3] ：156、159}

${\displaystyle (\mathbf {I} )\,\mathrm {d} (ab)=a\,\mathrm {d} b+b\,\mathrm {d} a+\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b\,,}$

${\displaystyle (\mathbf {S} )\,\mathrm {d} (ab)=a\,\mathrm {d} b+\mathrm {d} a\,b\,.}$

古典的な確率計算の場合と同様に、ストラトノビッチ形式は通常の計算（この場合は非可換）を保存する形式です。量子一般化の特殊性は、ストラトノビッチ形式が非可換計算の規則を保存することを証明するために、伊藤積分とストラトノビッチ積分の両方を定義する必要があることです。^{[3] : 155}

量子軌道は一般に、量子システムの状態が時間の経過とともに通過するヒルベルト空間の経路と考えることができる。確率論的な設定では、これらの軌道は測定結果によって条件付けられることが多い。量子システムの無条件マルコフ進化（すべての可能な測定結果にわたって平均化）は、リンドブラッド方程式によって与えられる。これらの場合の条件付き進化を記述するためには、一貫したQSDE を選択してリンドブラッド方程式を解く必要がある。条件付きシステム状態が常に純粋である場合、その解は確率的シュレーディンガー方程式（SSE）の形で行われる可能性がある。状態が混合される可能性がある場合は、確率的マスター方程式（SME）を使用する必要がある。^{[2] : 148}

真空槽と相互作用するシステムに対する次のリンドブラッドマスター方程式を考えてみましょう: ^{[2] : 145}

${\displaystyle {\dot {\rho }}={\mathcal {D}}[c]\rho -i[H_{\mathrm {sys} },\rho ]\,.}$

これは、浴槽で行われる可能性のある特定の測定の結果にわたって平均化されたシステム状態の進化を記述します。次のSME は、浴槽で実行される連続光子計数測定の結果に基づいて条件付けられたシステムの進化を記述します。

${\displaystyle \mathrm {d} \rho _{I}(t)=\left(\mathrm {d} N(t){\mathcal {G}}[c]-\mathrm {d} t{\mathcal {H}}[iH_{\mathrm {sys} }+{\frac {1}{2}}c^{\dagger }c]\right)\rho _{I}(t)\,,}$

どこ

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {G}}[r]\rho &\equiv &{\frac {r\rho r^{\dagger }}{\operatorname {Tr} [r\rho r^{\dagger }]}}-\rho \\{\mathcal {H}}[r]\rho &\equiv &r\rho +\rho r^{\dagger }-\operatorname {Tr} [r\rho +\rho r^{\dagger }]\rho \end{array}}}$

は非線形超演算子であり、は光子カウントであり、時間で検出された光子の数を示し、次のジャンプ確率を与える：^{[2] ：152、155}${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathrm {d} N(t)]=\mathrm {d} t\operatorname {Tr} [c^{\dagger }c\rho _{I}(t)]\,,}$

ここで、 は期待値を表します。 浴上で実行できる別のタイプの測定はホモダイン検出であり、その結果、次のSMEによって与えられる量子軌道が得られます。 ${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot ]}$

${\displaystyle \mathrm {d} \rho _{J}(t)=-i[H_{\mathrm {sys} },\rho _{J}(t)]\mathrm {d} t+\mathrm {d} t{\mathcal {D}}[c]\rho _{J}(t)+\mathrm {d} W(t){\mathcal {H}}[c]\rho _{J}(t)\,,}$

ここでウィーナー増分は次式を満たす: ^{[2] : 161}${\displaystyle \mathrm {d} W(t)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {d} W(t)^{2}&=&\mathrm {d} t\\\operatorname {E} [\mathrm {d} W(t)]&=&0\,.\end{array}}}$

これら 2 つのSMEは見た目は大きく異なりますが、予想される進化を計算すると、どちらも同じ Lindlad マスター方程式を解明したものであることがわかります。

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathrm {d} \rho _{I}(t)]=\operatorname {E} [\mathrm {d} \rho _{J}(t)]={\dot {\rho }}\mathrm {d} t\,.}$

量子軌道の重要な応用例の 1 つは、マスター方程式をシミュレートするために必要な計算リソースを削減することです。次元dのヒルベルト空間では、密度行列を格納するために必要な実数の量はd ²のオーダーで、マスター方程式の発展を計算するために必要な時間はd ^{4のオーダーです。一方、} SSEの状態ベクトルを格納するには、 dのオーダーの実数しか必要ではなく、軌道の発展を計算する時間はd ^{2のオーダーだけです。マスター方程式の発展は、} SSE を使用してシミュレートされた多数の個別の軌道を平均化することで近似できます。この手法は、モンテカルロ波動関数アプローチと呼ばれることもあります。^[5]マスター方程式を正確に近似するには、計算される軌道の数n を非常に大きくする必要がありますが、軌道数がd ²よりはるかに少ない場合でも良好な結果が得られます。この技術は計算時間を短縮するだけでなく、密度行列全体を保存するのに十分なメモリを持たないマシン上でもマスター方程式のシミュレーションを可能にする。^{[2] : 153}