マデルング方程式

理論物理学において、マデルング方程式、あるいは量子流体力学の方程式は、エルヴィン・マデルング による、スピンのない非相対論的粒子に対するシュレーディンガー方程式の等価な代替定式化であり、流体力学のナビエ・ストークス方程式に似た流体力学的変数で記述される。^{[1]マデルング方程式の導出は、シュレーディンガー方程式を}量子ハミルトン・ヤコビ方程式として表すド・ブロイ・ボーム定式化に似ている。

1926年秋、エルヴィン・マデルングはシュレーディンガーの量子方程式を、流体力学に似たより古典的で視覚化しやすい形で再定式化した^{[2] [3] 。彼の論文は、}ルイ・ド・ブロイやアール・ヘッセ・ケナードの論文を含む、量子力学に対するさまざまなアプローチの初期の試みの1つであった^[4]。これらの理論の中で最も影響力があったのは、1952年のデイヴィッド・ボーム^[5]の研究を通じてのド・ブロイの理論であり、現在はボーム力学と呼ばれている。

マデルング方程式は量子オイラー方程式である: ^[要出典] ここで $${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}\rho _{m}+\nabla \cdot (\rho _{m}\mathbf {v} )=0,\\[4pt]&{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\partial _{t}\mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-{\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } (Q+V),\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$は流速であり、
• ${\displaystyle \rho _{m}=m\rho =m|\psi |^{2}}$は質量密度であり、
• ${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\sqrt {\rho _{m}}}}}$ボーム量子ポテンシャルは、
• V はシュレーディンガー方程式からのポテンシャルです。

マデルング方程式は、が流体力学の連続方程式に従うかどうか、そして応力テンソルの役割は何かという疑問に答えます。^[6]${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$

任意の閉経路に沿った流速場の循環は、すべての整数nに対して補助量子化条件に従う。[ 7 ] [ ^{8 ]}${\textstyle \Gamma \doteq \oint {m\mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} }=2\pi n\hbar }$ 

マデルング方程式は、まず波動関数を極形式^{[9] [10]} で書き、実数と 関連する確率密度の両方を記述することによって導出されます。この形式を確率電流に代入すると、次のようになります。 ここで、流速は次のように表されます。 ただし、 を「速度」として解釈することは、あまり文字通りに受け止めるべきではありません。なぜなら、位置と速度を同時に正確に測定すると、必然的に不確定性原理に違反するからです。^[11]$${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=R(\mathbf {x} ,t)e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar },}$$${\displaystyle R\geq 0}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\psi (\mathbf {x} ,t)^{*}\psi (\mathbf {x} ,t)=R^{2}(\mathbf {x} ,t),}$$$${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\hbar }{2mi}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {1}{m}}\rho (\mathbf {x} ,t)\nabla S(\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t),}$$$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{m}}\nabla S(\mathbf {x} ,t).}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$

次に、極形式をシュレーディンガー方程式 に代入し 、適切な微分を行い、方程式をで割り、実部と虚部を分離すると、2つの結合した偏微分方程式のシステムが得られます。 最初の方程式はシュレーディンガー方程式の虚部に対応し、連続方程式 として解釈できます。2番目の方程式は実部に対応し、量子ハミルトン-ヤコビ方程式とも呼ばれます。^[12] 最初の方程式にを掛けて2番目の方程式の勾配を計算すると、マデルング方程式が得られます。 量子 ポテンシャル$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {x} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} )\right]\psi (\mathbf {x} ,t),}$$${\displaystyle e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}R(\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{m}}\nabla R(\mathbf {x} ,t)\cdot \nabla S(\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{2m}}R(\mathbf {x} ,t)\Delta S(\mathbf {x} ,t)=0,\\&\partial _{t}S(\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{2m}}\left[\nabla S(\mathbf {x} ,t)\right]^{2}+V(\mathbf {x} )={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta R(\mathbf {x} ,t)}{R(\mathbf {x} ,t)}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle 2R}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}\rho (\mathbf {x} ,t)+\nabla \cdot \left[\rho (\mathbf {x} ,t)v(\mathbf {x} ,t)\right]=0,\\&{\frac {d}{dt}}\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\partial _{t}v(\mathbf {x} ,t)+\left[v(\mathbf {x} ,t)\cdot \nabla \right]v(\mathbf {x} ,t)=-{\frac {1}{m}}\nabla \left[V(\mathbf {x} )-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta {\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}{\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}\right]=-{\frac {1}{m}}\nabla \left[V(\mathbf {x} )+Q(\mathbf {x} ,t)\right].\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle Q(\mathbf {x} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta {\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}{\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}.}$$

あるいは、量子ハミルトン・ヤコビ方程式は、 コーシー運動量方程式に似た形で書くこともできる。 ここで、外力は次のように定義され 、量子圧力テンソルは次のように定義される^[13]。$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {v} =\mathbf {f} -{\frac {1}{\rho _{m}}}\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q},}$$$${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=-{\frac {1}{m}}\nabla V(\mathbf {x} ),}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} _{Q}=-(\hbar /2m)^{2}\rho _{m}\nabla \otimes \nabla \ln \rho _{m}.}$$

量子圧力テンソルに蓄えられた積分エネルギーはフィッシャー情報量に比例し、測定の質を左右する。したがって、クラメール・ラオ境界によれば、ハイゼンベルクの不確定性原理は測定効率の標準的な不等式と同等である。^{[14] [15]}

量子化学ポテンシャルの熱力学的定義は 、 上記の静水力の力のバランスから導かれる。 熱力学によれば、平衡状態では化学ポテンシャルはどこでも一定であり、これは定常シュレーディンガー方程式に直接対応する。したがって、シュレーディンガー方程式の固有値は自由エネルギーであり、システムの内部エネルギーとは異なる。粒子の内部エネルギーは次のように計算され 、局所的なカール・フリードリヒ・フォン・ヴァイツゼッカー補正と関連している。^[16]$${\displaystyle \mu =Q+V={\frac {1}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\widehat {H}}{\sqrt {\rho _{m}}}}$$$${\displaystyle \nabla \mu ={\frac {m}{\rho _{m}}}\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q}+\nabla V.}$$$${\displaystyle \varepsilon =\mu -\operatorname {tr} (\mathbf {p} _{Q}){\frac {m}{\rho _{m}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{8m}}(\nabla \ln \rho _{m})^{2}+U}$$

• 量子ポテンシャル
• 量子流体力学
• ボーミアン量子力学
• パイロット波理論

• ビャウィニッキ・ビルラ、硫黄島。マレク、シエプラク。カミンスキー、ジェルジ (1992)。量子の理論。ニューヨーク: オックスフォード大学出版局、米国。ISBN 0-19-507157-3。
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