量子ポテンシャル

量子ポテンシャルまたは量子ポテンシャル性は、1952 年にデイヴィッド・ボームによって導入された量子力学のド・ブロイ-ボーム定式化の中心的な概念です。

当初は量子力学的ポテンシャル、その後量子ポテンシャルという名前で提示され、後にボームとバジル・ハイリーによって量子粒子に作用する情報ポテンシャルとして解釈されました。量子ポテンシャルエネルギー、ボームポテンシャル、量子ボームポテンシャル、ボーム量子ポテンシャルとも呼ばれます。

ド・ブロイ-ボーム理論の枠組みでは、量子ポテンシャルはシュレーディンガー方程式内の項であり、量子粒子の動きを導く働きをする。ボーム^{[1] [2]によって導入された量子ポテンシャルアプローチは、}ルイ・ド・ブロイによって提示されたアイデアの物理的にそれほど基本的ではない説明を提供する。ド・ブロイは1925年に、時空上で定義された相対論的波動関数が波動場の振動ピークとして表される量子粒子を導くパイロット波を表すと仮定したが、非線形波動方程式から粒子の誘導方程式を導出できなかったため、その後このアプローチを断念した。1952年のボームの独創的な論文は量子ポテンシャルを導入し、パイロット波理論に対して提起された異議に対する回答を含んでいた。

ボーム量子ポテンシャルは他のアプローチの結果と密接に関連しており、特に1927年のエルヴィン・マデルング^[3]と1935年のカール・フリードリヒ・フォン・ヴァイツゼッカー^{[4]の研究に関連しています。}

1952年にボームが導入した量子論の解釈を基に、デイヴィッド・ボームとバジル・ハイリーは1975年に量子ポテンシャルの概念が「宇宙全体の途切れない全体性」という概念につながることを示して、量子物理学によって導入された根本的な新しい性質は非局所性であると提唱した。^[5]

シュレーディンガー方程式

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad }$

は、波動関数の極形式を実数値関数とで書き直すと、波動関数の振幅（絶対値） 、位相になります。これにより、2つの方程式が得られます。シュレーディンガー方程式の虚数部と実数部からは、それぞれ連続方程式と量子ハミルトン・ヤコビ方程式が導かれます。 ^{[1] [6]}${\displaystyle \psi =R\exp(iS/\hbar )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle S/\hbar }$

シュレーディンガー方程式の虚数部を極形式で表すと、

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}\left[R\nabla ^{2}S+2\nabla R\cdot \nabla S\right],}$

これは、確率密度と速度場の連続方程式として解釈できる。${\displaystyle \rho =R^{2}}$ ${\displaystyle \partial \rho /\partial t+\nabla \cdot (\rho v)=0}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle v={\frac {1}{m}}\nabla S}$

シュレーディンガー方程式の実部を極形式で表すと、修正ハミルトン・ヤコビ方程式が得られる。

量子ハミルトン・ヤコビ方程式と も呼ばれる。^[7]これは、項

この項は量子ポテンシャルと呼ばれ、波動関数の振幅の曲率に依存します。 ^{[8] [9]}${\displaystyle Q}$

の極限では、関数は（古典的な）ハミルトン・ヤコビ方程式の解です。^[1]そのため、関数はハミルトン・ヤコビ関数、または量子物理学に拡張された作用とも呼ばれます。 ${\displaystyle \hbar \to 0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

ハイリーは量子粒子の量子ポテンシャルに関する いくつかの側面^{[10]を強調した。}

• それは数学的には波動関数の極分解によるシュレーディンガー方程式の実部から導かれ、 ^[11]ハミルトニアン^{[12]や他の外部ソースから導かれたものではなく、基本的な基礎場を伴う}自己組織化プロセスに関与していると言える。
• に定数を掛けても変化しません。この項も分母に存在するため、 は の大きさ、したがって場の強度とは無関係です。したがって、量子ポテンシャルは非局所性の前提条件を満たしています。つまり、距離が増加しても減少する必要はありません。${\displaystyle R}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \psi}$
• それは、粒子が存在する実験配置全体に関する情報を伝えます。

1979年、ハイリーと彼の同僚であるフィリピディスとデュードニーは、量子ポテンシャルの影響下で運動する各粒子に生じるボーム軌道の観点から、2スリット実験を説明する完全な計算を発表し、その結果、よく知られている干渉パターンが生まれました。^[13]

また、アハラノフ・ボーム効果において磁場の存在下で発生する干渉パターンのシフトは、量子ポテンシャルから生じるものとして説明できる。^[14]

量子論のコペンハーゲン解釈における波動関数の崩壊は、量子ポテンシャルアプローチでは、測定後、「測定の実際の結果に対応しない多次元波動関数のすべてのパケットは、それ以降、粒子に影響を与えない」という実証によって説明される 。 ^{[15]ボームとハイリーは、}

...量子ポテンシャルは不安定な分岐点を発達させることができ、粒子の軌道のクラスを、粒子が最終的に進入する「チャネル」と粒子が留まる「チャネル」に応じて分離します。これにより、波動関数の「崩壊」なしに測定が可能になり、状態間の遷移、2つの状態から1つの状態への融合、1つのシステムから2つのシステムへの分裂など、あらゆる種類の量子プロセスが人間の観察者を必要とせずに実行できることが説明されます。^[16]

測定は「観測対象のシステムと観測装置の両方が相互に参加し、軌道が相関して動作し、相関して重複しない異なるセット（これを「チャネル」と呼ぶ）に分離されるような参加型変換を伴う」^{[17] 。}

多粒子量子システムのシュレーディンガー波動関数は、通常の3 次元空間では表現できません。代わりに、粒子ごとに 3 次元を持つ配置空間で表現されます。したがって、配置空間の 1 つの点は、n 粒子システム全体の配置を全体として表します。

質量が同じ粒子の2粒子波動関数は量子ポテンシャルを持つ^[18]${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2})R(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}{R(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}}}$

ここで、 と はそれぞれ粒子 1 と粒子 2 を指します。この式は粒子に簡単に一般化できます。 ${\displaystyle \nabla _{1}^{2}}$${\displaystyle \nabla _{2}^{2}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2R(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\nabla _{i}^{2}}{m_{i}}}R(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)}$

2つ以上の粒子の波動関数が分離可能な場合、システムの全量子ポテンシャルは2つの粒子の量子ポテンシャルの合計になります。システムとその環境との相互作用により因数分解が破壊されるため、正確な分離可能性は極めて非物理的ですが、近似的に互いに素なサポートを持つ複数の波動関数の重ね合わせである波動関数は近似的に因数分解されます。^[19]

波動関数が分離可能であるということは、が の形式に因数分解できることを意味します。すると も因数分解でき、システムの全量子ポテンシャルは2つの粒子の量子ポテンシャルの合計になります。^[20]${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=\psi _{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)\psi _{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}({\frac {\nabla _{1}^{2}R_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)}{R_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)}}+{\frac {\nabla _{2}^{2}R_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}{R_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}})=Q_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)+Q_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$

波動関数が分離可能な場合、つまり が の形で因数分解される場合、2つの一粒子系は独立して動作します。より一般的には、分離可能な波動関数を持つ -粒子系の量子ポテンシャルは量子ポテンシャルの合計であり、系を独立した一粒子系に分離します。^[21]${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=\psi _{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)\psi _{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ボームとその後の物理学者たちは、ボルンの法則が確率密度関数に関係していることを証明しようとしてきた。${\displaystyle R}$

${\displaystyle \rho =R^{2}\quad }$

パイロット波の定式化では、基本法則ではなく、シュレーディンガー方程式の下での時間発展の過程で量子平衡に達したときに適用される定理（量子平衡仮説と呼ばれる）を表すものとして理解できます。ボルンの規則と連鎖法則と積法則の直接的な適用により、

${\displaystyle \nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}=\nabla \nabla \rho ^{1/2}=\nabla \left({\frac {1}{2}}\rho ^{-1/2}\nabla \rho \right)={\frac {1}{2}}\left[\left(\nabla \rho ^{-1/2}\right)\nabla \rho +\rho ^{-1/2}\nabla ^{2}\rho \right]}$

量子ポテンシャルは確率密度関数で表現すると次のようになる。^[22]

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{2}}{\frac {(\nabla \rho )^{2}}{\rho ^{2}}}\right]}$

量子力学の力は確率分布で表現すると次のようになる。^[23]${\displaystyle F_{Q}=-\nabla Q}$

${\displaystyle F_{Q}={\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {\nabla (\nabla ^{2}\rho )}{\rho }}-{\frac {\nabla (\nabla \rho \cdot \nabla \rho )}{2\rho ^{2}}}-\left({\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right){\frac {\nabla \rho }{\rho }}\right]}$

M. R. ブラウンとB. ハイリーは、量子ポテンシャルは配置空間（ -空間）という定式化項の代わりに、運動量空間（ -空間）という定式化項でも定式化できることを示した。^{[24] [25]}${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

デイヴィッド・ボームのアプローチに沿って、バジル・ハイリーと数学者モーリス・ド・ゴッソンは、量子ポテンシャルは、基礎となる構造、より具体的には非可換代数構造を通常の空間（-空間）などの部分空間に投影した結果として見ることができることを示した。代数的な用語で言えば、量子ポテンシャルは、含意順序と明示順序の関係から生じると見ることができる。つまり、非可換代数を使用して量子形式の非可換構造を記述すると、基礎となる空間を定義することは不可能であるが、むしろ「シャドウスペース」（準同型空間）を構築することができ、そうすることで量子ポテンシャルが現れることがわかる。^{[25] [26] [27] [28] [29]}量子ポテンシャルアプローチは、シャドウスペースを構築する方法と見なすことができます。^[27]量子ポテンシャルは、メルカトル図法が地図に必然的に歪みをもたらすのと同様に、基礎空間を-空間に投影することによって歪みとして生じる。 ^{[30] [31]} -表現と配置空間に現れる量子ポテンシャルの間には完全な対称性が存在し、運動量-表現の分散から生じると見ることができる。^[32]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

このアプローチは拡張位相空間に適用されており、^{[32] [33]}ダフィン・ケマー・ペティオ代数アプローチの観点からも適用されている。^{[34] [35]}

^[36]によれば、量子ポテンシャルの平均値は観測可能な確率密度のフィッシャー情報量に比例する。${\displaystyle Q=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}/(2m{\sqrt {\rho }})}$${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \rho \cdot (\nabla \ln \rho )^{2}\,d^{3}x=-\int \rho \nabla ^{2}(\ln \rho )\,d^{3}x.}$

この定義をフィッシャー情報に適用すると、次のように書ける。^[37]

${\displaystyle \langle Q\rangle =\int \psi ^{*}Q\psi \,d^{3}x=\int \rho Q\,d^{3}x={\frac {\hbar ^{2}}{8m}}{\mathcal {I}}.}$

ジョヴァンニ・サレシ、エラスモ・レカミらは1998年に、ケーニッヒの定理と一致して、量子ポテンシャルは、質量中心系で観測されるスピン1/2粒子のスピンに関連する内部運動（「ジッターベヴェーグング」）の運動エネルギーと同一視できることを示した。より具体的には、彼らは、歳差運動がなく外部場も存在しない、一定スピンの回転する非相対論的粒子の内部ジッターベヴェーグング速度が次の2乗値を持つことを示した。^[38]

${\displaystyle \mathbf {V} ^{2}={\frac {(\nabla \rho \land \mathbf {s} )^{2}}{(m\rho )^{2}}}={\frac {(\nabla \rho )^{2}\mathbf {s} ^{2}-(\nabla \rho \cdot \mathbf {s} )^{2}}{(m\rho )^{2}}}}$

ここから、2番目の項は無視できる大きさであることが分かる。 ${\displaystyle |\mathbf {s} |=\hbar /2}$

${\displaystyle |\mathbf {V} |={\frac {\hbar }{2}}{\frac {\nabla \rho }{m\rho }}}$

サレシは2009年にこの研究についてさらに詳しい情報を提供した。^[39]

1999年、サルバトーレ・エスポジトは、スピン1/2粒子から任意のスピンを持つ粒子まで彼らの結果を一般化し、量子ポテンシャルを内部運動の運動エネルギーとして解釈することを確認した。エスポジトは、量子ポテンシャルは（=1の表記法を使用して）次のように書けることを示した。^[40]${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{2}}m\mathbf {v} _{S}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \mathbf {v} _{S}}$

そして量子力学の因果的解釈は粒子の速度の観点から再定式化できる。

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{B}+\mathbf {v} _{S}\times \mathbf {s} }$

ここで「ドリフト速度」は

${\displaystyle \mathbf {v} _{B}={\frac {\nabla S}{m}}}$

そして「相対速度」は、 ${\displaystyle \mathbf {v} _{S}\times \mathbf {s} }$

${\displaystyle \mathbf {v} _{S}={\frac {\nabla R^{2}}{2mR^{2}}}}$

は粒子のスピン方向を表す。この定式化では、Espositoによれば、量子力学は必然的に確率論的に解釈されなければならない。その理由は、システムの初期運動条件を正確に決定できないからである。^[40] Espositoは、「シュレーディンガー方程式に存在する量子効果は、粒子に関連付けられた特異な空間方向の存在によるものであり、空間の等方性を仮定すると、粒子自体のスピンと同一視できる」と説明した。 ^[41] Espositoは、これを物質粒子からゲージ粒子、特に光子に一般化し、確率関数 でとしてモデル化すれば、それらを量子ポテンシャルアプローチで理解できることを示した。^[42]${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle \psi =(\mathbf {E} -i\mathbf {B} )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \psi ^{*}\cdot \psi =(\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2})/2}$

ジェームズ・R・ボーガンは2002年に、確率保存の単純な要件の下で、スピンを表すゲージ変換から生じる、古典力学のハミルトン・ヤコビ方程式から量子力学の時間依存シュレーディンガー方程式への逆変換の導出を発表しました。このスピン依存変換は量子ポテンシャルの関数です。^[43]

B. ハイリーと RE キャラハンは、デイビッド・ヘステネスの時空代数に関する研究などの最近の進歩を考慮に入れ、クリフォード代数の枠組みの中でボーム模型の役割と量子ポテンシャルの概念を再解釈した。彼らは、クリフォード代数の入れ子になった階層構造の中で、各クリフォード代数に対して、そのクリフォード共役を表す極小左イデアルの要素と右イデアルの要素がどのように構成され、そこからクリフォード密度要素(CDE)がどのように構成されるかを示している。CDE は、標準密度行列に同型だが特定の表現に依存しないクリフォード代数の要素である。^[44]これに基づいて、システムの特性を表す双線型不変量を形成することができる。 Hiley と Callaghan は、それぞれがとして形成できる代数の要素の期待値を表す第 1 種の双線型不変量と、導関数で構成され、運動量とエネルギーを表す第 2 種の双線型不変量を区別しています。これらの項を使用して、彼らは、波動関数による特定の表現に依存せず、外部ヒルベルト空間への参照も必要とせずに、量子力学の結果を再構築します。以前の結果と一致して、スピンを持つ非相対論的粒子 (パウリ粒子) の量子ポテンシャルには追加のスピン依存項があることが示され、スピンを持つ相対論的粒子 (ディラック粒子) の運動量は直線運動と回転部分で構成されることが示されています。^{[45]時間発展を支配する 2 つの力学方程式は、保存方程式として再解釈されます。そのうちの 1 つは}エネルギー の保存を表し、もう 1 つは確率とスピン の保存を表します。^[46]量子ポテンシャルは内部エネルギー^[47]の役割を果たしており、全エネルギーの保存を保証する。^[46]${\displaystyle C\ell _{i,j}}$ ${\displaystyle \Phi _{L}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \Phi _{R}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\Phi }}_{L}(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \rho _{c}(\mathbf {r} ,t)=\Phi _{L}(\mathbf {r} ,t){\tilde {\Phi }}_{L}(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\rm {Tr}}B\rho _{c}}$

ボームとハイリーは、能動情報の伝達が光速を超えることを条件として、量子論の非局所性は純粋に局所的な理論の極限ケースとして理解できること、そしてこの極限ケースは量子論と相対性理論の両方に近似をもたらすことを実証した。 ^[48]

量子ポテンシャルアプローチは、ハイリーと同僚によってミンコフスキー時空^{[49] [50] [51] [52]の量子場理論と曲がった時空[53]}に拡張されました。

カルロ・カストロとホルヘ・マヘチャは、連続方程式と組み合わせたハミルトン・ヤコビ方程式からシュレーディンガー方程式を導き、集団密度に関する相対論的ボーム量子ポテンシャルの特性が空間のワイル特性によって記述できることを示した。リーマン平坦空間では、ボームポテンシャルはワイル曲率に等しいことが示される。カストロとマヘチャによれば、相対論的ケースでは、量子ポテンシャル（ダランベール演算子 と の表記法を使用）は次の形を取る。 ${\displaystyle \scriptstyle \Box }$${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{2m}}{\frac {\quad \Box {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}}$

そして、相対論的量子ポテンシャルによって及ぼされる量子力は、ワイルゲージポテンシャルとその導関数に依存することが示されている。さらに、平坦時空におけるボームのポテンシャルとワイル曲率の関係は、複素運動量を導入した後のフィッシャー情報とワイル幾何学の間の同様の関係に対応する。^[54]

一方、ディエゴ・L・ラポポートは、相対論的量子ポテンシャルを計量スカラー曲率（リーマン曲率）と関連付けている。^[55]

質量と電荷を持つ粒子のクライン・ゴードン方程式に関連して、ピーター・R・ホランドは1993年の著書で、に比例する「量子ポテンシャルのような項」について述べている。しかし彼は、非相対論的シュレーディンガー量子力学の場合のように、クライン・ゴードン理論に軌道に関する単一粒子の解釈を与えると、受け入れがたい矛盾が生じると強調した。たとえば、クライン・ゴードン方程式やディラック方程式の解である波動関数は、量子力学の通常の公理に従って、ある時点で特定の体積内に粒子が存在する確率振幅として解釈することはできず、同様に因果的解釈では、その時点でその体積内に粒子が存在する確率として解釈することはできない。ホランドは、特にニュートン-ウィグナー局在化アプローチを用いて配置空間量子場理論の解釈を可能にするエルミート位置演算子を決定する努力がなされてきたが、相対論的測定理論による位置の経験的決定や軌道解釈の可能性との関連はこれまで確立されていないと指摘した。しかしホランドによれば、これは軌道概念が相対論的量子力学の考察から排除されるべきであることを意味するものではない。^[56]${\displaystyle \Box R/R}$${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle d^{3}x}$${\displaystyle t}$

フルヴォイェ・ニコリッチは量子ポテンシャルの表現を導出し、多粒子波動関数のボーム解釈のローレンツ共変定式化を提案した。^[57]彼はまた、量子論の一般化された相対論的不変確率的解釈を開発した。^{[58] [59] [60]}そこではもはや空間の確率密度ではなく、時空の確率密度となっている。^{[61] [62]}${\displaystyle Q=-(1/2m)\,\Box R/R}$${\displaystyle |\psi |^{2}}$

場の座標の空間表現から出発して、相対論的量子論のシュレーディンガー描像の因果的解釈が構築された。中性、スピン0、質量ゼロの場と実数値関数に対するシュレーディンガー描像は、次のようになること が示される^[63]。${\displaystyle \Psi \left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]=R\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]e^{S\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]}}$${\displaystyle R\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right],S\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]}$

${\displaystyle Q\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]=-(1/2R)\int d^{3}x\,\delta ^{2}R/\delta \psi ^{2}}$

これはボームと彼の同僚によって超量子ポテンシャルと呼ばれている。 ^[64]

バジル・ハイリーは、ボーム模型のエネルギー・運動量関係は量子場理論のエネルギー・運動量テンソルから直接得られること、量子ポテンシャルは局所的なエネルギー・運動量保存に必要なエネルギー項であることを示した。^{[65]彼はまた、}対生成閾値以上のエネルギーを持つ粒子に対して、ボームの模型は対生成と消滅の過程も記述する多粒子理論を構成することを示唆した。^[66]

1952年の論文で量子力学の別の解釈を提示したボームは、すでに「量子力学的」ポテンシャルについて語っていた。^[67]

ボームとバジル・ハイリーは、量子ポテンシャルがプロセスの形態に影響を及ぼし、環境によって形作られることから、量子ポテンシャルを情報ポテンシャルとも呼んだ。 ^[12]ボームは「船舶や飛行機（自動操縦装置付き）は自己活動システムであり、つまり独自のエネルギーを持っている。しかし、その活動形態は、レーダー波によって運ばれる環境に関する情報内容によって決まる。これは、波の強度とは無関係である。同様に、量子ポテンシャルは能動情報を含んでいるとみなすことができる。量子ポテンシャルは潜在的にどこでも活動しているが、実際に活動するのは粒子が存在する場所と時間だけである」と述べた（太字は原文）。^[68]

ハイリーは量子ポテンシャルを内部エネルギーと呼び^[27]、「量子過程においてのみ役割を果たす新しいエネルギーの性質」と呼んでいる^[69] 。彼は、量子ポテンシャルは、よく知られている運動エネルギーと（古典的な）ポテンシャルエネルギーとは別のエネルギー項であり、エネルギー保存の要件を考慮して必然的に生じる非局所的なエネルギー項であると説明している。また、物理学界が量子ポテンシャルの概念に抵抗する理由の多くは、科学者がエネルギーは局所的であるべきだと期待していたためかもしれないと付け加えた^{[70] 。}

ハイリーは、ボームにとって量子ポテンシャルは「量子形式主義の根底にあるものについての洞察を得るための重要な要素」であったと強調している。ボームは、このアプローチの側面をより深く分析することで、理論は機械的なものではないと確信した。むしろ、それはホワイトヘッドの意味で有機的である。つまり、個々の粒子の特性とその関係を決定するのは全体であり、その逆ではないということである。」^{[71] [72]}

ピーター・R・ホランドは、彼の包括的な教科書の中で、これを量子ポテンシャルエネルギーとも呼んでいます。^[73]量子ポテンシャルは、ボームの名前に関連して、ボームポテンシャル、量子ボームポテンシャル、ボーム量子ポテンシャルとも呼ばれます。

量子ポテンシャルアプローチは、シュレーディンガー方程式を明示的に解く必要なく量子効果をモデル化するために使用でき、流体力学方程式とドリフト拡散方程式を使用したモンテカルロシミュレーションなどのシミュレーションに統合できます。^[74]これは、軌道の「流体力学的」計算の形で行われます。各「流体要素」の密度から始めて、各「流体要素」の加速度がおよびの勾配から計算され、結果として生じる速度場の発散が密度の変化を決定します。^[75]${\displaystyle V}$${\displaystyle Q}$

ボーム軌道と量子ポテンシャルを用いたアプローチは、正確に解くことができない量子システムの特性を計算するために使用され、半古典的なアプローチを使用して近似されることが多い。平均場アプローチでは古典的な運動のポテンシャルは波動関数の平均から生じるが、このアプローチでは波動関数の積分の計算は不要である。^[76]

量子力の表現は、ベイズ統計解析や期待最大化法とともに、古典力と量子力の影響下で生じる軌道の集合を計算するために使われてきた。 ^[23]

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• Davide Fiscaletti:非相対論的量子力学におけるボームの量子ポテンシャルへのさまざまなアプローチについて、Quantum Matter、第3巻、第3号、2014年6月、pp. 177–199(23)、doi :10.1166/qm.2014.1113。
• Ignazio Licata 、Davide Fiscaletti（ BJ Hileyによる序文付き）：Quantum potential: Physics, Geometry and Algebra、AMC、Springer、2013、ISBN 978-3-319-00332-0（印刷）/ ISBN 978-3-319-00333-7（オンライン）  
• ピーター・R・ホランド：量子運動理論：量子力学のド・ブロイ＝ボーム因果的解釈の説明、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ（初版1993年6月25日）、ISBN 0-521-35404-8ハードカバー、ISBN 0-521-48543-6ペーパーバック、2004年にデジタル印刷に移行  
• デイヴィッド・ボーム、バジル・ハイリー：分割されない宇宙：量子論の存在論的解釈、ラウトレッジ、1993年、ISBN 0-415-06588-7 
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