ヘルブランド・リベットの定理

数学において、ヘルブラン・リベの定理は、ある種の数体の類群に関する定理である。これは、素数pがp乗根の円分体の類数を割り切るのは、あるn (0 < n < p − 1 ) に対してp がn番目のベルヌーイ数B _nの分子を割り切る場合に限る、というエルンスト・クンマーの定理を強化したものである。ヘルブラン・リベの定理は、特に、p がそのようなB _nを割り切るとはどういう意味かを規定するものである。

奇素数pのp乗根の円分体Q ( ζ ) ( ζ ^p = 1)のガロア群Δ は、p − 1 個の群要素σ _aから構成され、ここで${\displaystyle \sigma _{a}(\zeta )=\zeta ^{a}}$フェルマーの小定理の結果として、p進整数環では${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$p − 1 個の 1 根があり、それぞれが1 からp − 1 の範囲の何らかの数に法pで合同です。したがって、ディリクレ指標ω (タイヒミュラー指標)を定義できます。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$nとpが互いに素であるとき、ω ( n )がpを法としてnと合同であることを要求することによって。類群のp部分は${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-モジュール（ p-プライマリであるため）、したがって群環上のモジュール${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[\Delta ]}$ここで、 nが1からp -1までの各値に対して、群環の冪等元を次のように定義する。

${\displaystyle \epsilon _{n}={\frac {1}{p-1}}\sum _{a=1}^{p-1}\omega (a)^{n}\sigma _{a}^{-1}.}$

容易にわかるように${\displaystyle \sum \epsilon _{n}=1}$そして$\displaystyle \epsilon _{i}\epsilon _{j}=\delta _{ij}\epsilon _{i}}$どこ$\displaystyle \delta _{ij}}$はクロネッカーのデルタです。これにより、冪等元を用いてQ ( ζ )のイデアル類群Gのp部分を分解することができます。Gがイデアル類群のp主部分である場合、G _n = ε _n ( G ) とすると、次のようになります。${\displaystyle G=\oplus G_{n}}$。

ヘルブラン・リベの定理によれば、奇数nの場合、G _{n が}非自明であるのは、 p がベルヌーイ数B _{p − n}を割り切る場合のみである。^{[ 1 ]}

この定理はnの偶数値については何も主張していませんが、任意の偶数nに対してG _nが非自明となるようなp は知られていません。すべてのpに対して自明であることは、ヴァンディバーの予想の結果です。^{[ 2 ]}

P がB _{p − n}を割り切るならばG _nは自明でないという部分は、ジャック・エルブランによるものである。^{[ 3 ]}逆、すなわちP がB _{p − n}を割り切るならばG _{n は}自明でないという部分は、ケネス・リベットによるものであり、かなり難しい。類体論によれば、これは、 Σの作用の下で指定されたように振る舞う次数pの巡回拡大による、1 の p 乗根の体の非分岐拡大が存在する場合にのみ真となる。リベットは、モジュラー形式の理論の方法を用いて実際にそのような拡大を構成することでこれを証明している。エルブランの定理に対するリベットの逆のより初等的な証明は、オイラー系の理論の帰結として、ワシントンの円分体に関する本に見出すことができる。^{[ 4 ]}

リベットの手法は、岩澤理論の主要な予想を証明するためにバリー・マズールとアンドリュー・ワイルズによってさらに発展させられ、^{[ 5 ]}その系として、ヘルブラン・リベットの定理の強化が示されました。すなわち、 pがB _{p − n}を割り切る力は、pがG _nの位数を割り切る力と正確に一致するということです。

• 岩沢理論
• スティッケルベルガーの定理
• クンマー・ヴァンディバー予想
• アンケニー・アルティン・チョウラ合同式、実二次体の類数についても同様
• ベルヌーイ数 § クンマーの定理