ベルヌーイ多項式

数学において、ベルヌーイ多項式は、ヤコブ・ベルヌーイにちなんで名付けられ、ベルヌーイ数と二項係数を組み合わせたもので、関数の級数展開やオイラー・マクローリンの公式に使用されます。

これらの多項式は、多くの特殊関数、特にリーマンゼータ関数とフルヴィッツゼータ関数の研究で登場します。これらはアペル数列（つまり、通常の微分演算子のシェッファー数列）です。ベルヌーイ多項式の場合、単位区間におけるx軸の交差数は次数とともに増加しません。次数が大きい極限では、適切にスケーリングすると、正弦関数と余弦関数に近づきます。

生成関数に基づく同様の多項式の集合は、オイラー多項式の族です。

ベルヌーイ多項式B _{n は}生成関数によって定義できます。また、さまざまな派生表現も使用できます。

ベルヌーイ多項式の生成関数は オイラー多項式の生成関数は $${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^ {n}}{n!}}.}$$$${\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^ {n}}{n!}}.}$$

$${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}x^{k},}$$ $${\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)^{mk}.}$$n ≥ 0 の場合、B _kはベルヌーイ数、E _{k は}オイラー数です。

ベルヌーイ多項式は次のようにも表される。 ここで はxに関する微分であり、分数は形式的なべき級数として展開される。したがって、以下の § 積分 を参照のこと 。同様に、オイラー多項式は次のように表される。 $${\displaystyle \ B_{n}(x)={\frac {D}{\ e^{D}-1\ }}\ x^{n}\ }$$${\displaystyle \ D\equiv {\frac {\mathrm {d} }{\ \mathrm {d} x\ }}\ }$$${\displaystyle \ \int _{a}^{x}\ B_{n}(u)\ \mathrm {d} \ u={\frac {\ B_{n+1}(x)-B_{n+ 1}(a)\ }{n+1}}~.}$$$${\displaystyle \ E_{n}(x)={\frac {2}{\ e^{D}+1\ }}\ x^{n}~.}$$

ベルヌーイ多項式は、 $${\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.}$$

多項式fの積分変換は 単純に次のようになります。 これを使用して、以下の反転式を作成できます。 $${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots .\end{aligned}}}$$

^{[1] [2]}では、ベルヌーイ多項式は次の積分回帰によって得られることが演繹され証明されている 。$${\displaystyle B_{m}(x)=m\int _{0}^{x}B_{m-1}(t)\,dt-m\int _{0}^{1}\int _{0}^{t}B_{m-1}(s)\,dsdt.}$$

ベルヌーイ多項式の明示的な式は次のように与えられる。 $${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\biggl [}{\frac {1}{k+1}}\sum _{\ell =0}^{k}(-1)^{\ell }{k \choose \ell }(x+\ell )^{n}{\biggr ]}.}$$

これは、複素平面における フルヴィッツゼータ関数の級数表現に似ています。確かに、 はフルヴィッツゼータ関数という関係があります。後者はベルヌーイ多項式を一般化し、 nの非整数値を許容します。$${\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,\,​​x)}$$${\displaystyle \zeta (s,\,q)}$

内部和は のn次前方差分、つまり と理解できる。 ここで は前方差分演算子である。したがって、次のように書くことができる。 ${\displaystyle x^{m},}$$${\displaystyle \Delta^{n}x^{m}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{nk}{n \choosek}(x+k)^{m}}$$${\displaystyle \Delta }$$${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\Delta ^{k}x^{n}.}$$

この式は、上記の恒等式から次のように導出できる。前進差分演算子Δ は、 Dがxに関する微分で あるので、メルカトル級数から、 $${\displaystyle \Delta =e^{D}-1}$$$${\displaystyle {\frac {D}{e^{D}-1}}={\frac {\log(\Delta +1)}{\Delta }}=\sum _{n=0}^{\ infty }{\frac {(-\Delta )^{n}}{n+1}}.}$$

これがm次多項式に対して作用する限り、 n は0からmまでしか変化しません。${\displaystyle x^{m},}$

ベルヌーイ多項式の積分表現は、ネルンド・ライス積分によって与えられ、これは有限差分としての式から導かれます。

オイラー多項式の明示的な式は次のように与えられる。 $${\displaystyle E_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left[{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell }{k \choose \ell }(x+\ell )^{n}\right].}$$

上記は、次の事実を用いて同様に成り立つ。 $${\displaystyle {\frac {2}{e^{D}+1}}={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\Delta }}=\sum _{n= 0}^{\infty }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}}\Delta {\bigr )}^{n}.}$$

上記の積分表現または恒等式のいずれかを使用すると、次の式が得られます (0 ⁰  = 1 と仮定)。 ${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}=\int _{0}^{x+1}B_{p}(t)\,dt={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}}}$$

最初のいくつかのベルヌーイ多項式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,&B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\[4mu]B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&B_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{6}}x,\\[4mu]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},&B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\tfrac {5}{2}}x^{4}-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{42}},\\[-2mu]B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x{\vphantom {\Big |}},\qquad &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}}$$

最初のいくつかのオイラー多項式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x)&=1,&E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x,\\[4mu]E_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&E_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}},\\[4mu]E_{2}(x)&=x^{2}-x,&E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x,\\[-1mu]E_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}},\qquad \ \ &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}}$$

nが高くなると、 との間の変化量は大きくなります。例えば、しかしLehmer (1940) ^{[3] は}、 0 と 1 の間 の最大値 ( M _n ) は、 nが2 を法として 4 を 除いた場合 (ここで はリーマン ゼータ関数) を除き、に 従う ことを示し、一方、最小値 ( m _n ) は、n = 0 を法として 4 を 除いた場合(ここで ${\displaystyle B_{n}(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle B_{16}(0)=B_{16}(1)={}}$${\displaystyle -{\tfrac {3617}{510}}\approx -7.09,}$${\displaystyle B_{16}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={}}$${\displaystyle {\tfrac {118518239}{3342336}}\approx 7.09.}$ ${\displaystyle B_{n}(x)}$$${\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}}$$$${\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}}$$${\displaystyle \zeta (x)}$$${\displaystyle m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}}$$ $${\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}.}$$

これらの制限は実際の最大値と最小値に非常に近いですが、Lehmer はさらに正確な制限も示しています。

ベルヌーイ多項式とオイラー多項式は、陰関数計算からの多くの関係に従います: ( Δ は前進差分演算子です)。また、 これらの多項式列はアペル列です: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta B_{n}(x)&=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},\\[3mu]\Delta E_{n}(x)&=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}'(x)&=nB_{n-1}(x),\\[3mu]E_{n}'(x)&=nE_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}\\[3mu]E_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}\end{aligned}}}$$これらの恒等式は、これらの多項式列がアペル列で あると言うことと同等です。(エルミート多項式は別の例です。)

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(1-x)&=\left(-1\right)^{n}B_{n}(x),&&n\geq 0,\\[3mu]E_{n}(1-x)&=\left(-1\right)^{n}E_{n}(x)\\[1ex]\left(-1\right)^{n}B_{n}(-x)&=B_{n}(x)+nx^{n-1}\\[3mu]\left(-1\right)^{n}E_{n}(-x)&=-E_{n}(x)+2x^{n}\\[1ex]B_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}&=\left({\frac {1}{2^{n-1}}}-1\right)B_{n},&&n\geq 0{\text{ from the multiplication theorems below.}}\end{aligned}}}$$ 孫志偉と潘昊^[4]は、次のような驚くべき対称関係を確立した。r + s + t = nかつx + y + z = 1 の 場合、 $${\displaystyle r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,}$$$${\displaystyle [s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).}$$

ベルヌーイ多項式のフーリエ級数もディリクレ級数であり、展開によって与えられます。 適切にスケールされた三角関数の 単純な大n極限に注意してください。$${\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.}$$

これは、フルヴィッツゼータ関数の類似形式の特別なケースである。 $${\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.}$$

この展開は、 n ≥ 2 の場合には0 ≤ x ≤ 1にのみ有効であり、 n = 1の場合には0 < x < 1に有効です。

オイラー多項式のフーリエ級数も計算できます。の関数を定義すると 、オイラー多項式のフーリエ級数は 次のようになります。 とはそれぞれ奇数と偶数である ことに注意してください。$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\\[3mu]S_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \nu >1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{2n}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)\\[1ex]S_{2n+1}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).\end{aligned}}}$$${\displaystyle C_{\nu }}$${\displaystyle S_{\nu }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=-C_{\nu }(1-x)\\S_{\nu }(x)&=S_{\nu }(1-x).\end{aligned}}}$$

これらはルジャンドルカイ関数 と関連しており、 ${\displaystyle \chi _{\nu }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})\\S_{\nu }(x)&=\operatorname {Im} \chi _{\nu }(e^{ix}).\end{aligned}}}$$

ベルヌーイ多項式とオイラー多項式を逆にすると、単項式を多項式で表現することができます。

具体的には、積分演算子に関する上記のセクションから明らかなように 、 $${\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)}$$$${\displaystyle x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x).}$$

ベルヌーイ多項式は、 下降階乗 を用いて と展開することができます。 ここで、 は第二種スターリング数を 表します。上記を逆にすると、下降階乗をベルヌーイ多項式で表すことができます。 ここで、 は 第一種スターリング数 を 表します。 ${\displaystyle (x)_{k}}$$${\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}}$$${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$$${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)}$$$${\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)}$$$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)}$$

乗法定理は1851年にジョセフ・ルートヴィヒ・ラーベによって与えられました。

自然数m≥1に対して、 $${\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}(mx)&=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}E_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for odd }}m\\[1ex]E_{n}(mx)&={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}B_{n+1}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for even }}m\end{aligned}}}$$

ベルヌーイ多項式とオイラー多項式をベルヌーイ数とオイラー数に関連付ける2つの定積分は次の通りである。^[5]

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\,n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!\,n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}}$

別の積分式は^[6]

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}}$

特別なケースでは${\displaystyle y=0}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=0}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\cot \left(\pi x\right)dx}={\frac {2\left(2n-1\right)!}{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)}$

周期ベルヌーイ多項式 P _n ( x )は、引数xの小数部で評価されるベルヌーイ多項式です。これらの関数は、和と積分を関連付けるオイラー・マクローリンの公式の剰余項を提供するために使用されます。最初の多項式は鋸歯状関数です。

厳密に言えば、これらの関数は多項式ではなく、より正確には周期ベルヌーイ関数と呼ばれるべきであり、P ₀ ( x ) は鋸歯状の導関数であり、したがってディラックの櫛であるため、関数でさえありません。

次のプロパティは興味深いもので、すべてに有効です。 ${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle P_{k}(x)}$すべてにおいて連続的である${\displaystyle k>1}$
• ${\displaystyle P_{k}'(x)}$存在し、継続している${\displaystyle k>2}$
• ${\displaystyle P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x)}$のために${\displaystyle k>2}$

• ベルヌーイ数
• 第二種ベルヌーイ多項式
• スターリング多項式
• 等差数列の累乗の和を計算する多項式

• NISTのベルヌーイ多項式を含む積分恒等式のリスト