トリガンマ関数

数学において、トリガンマ関数（ψ ₁ ( z )またはψ ⁽¹⁾ ( z )と表記）は、ポリガンマ関数の 2 番目の関数であり、次のように定義される。

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)}$。

この定義から次のことが導かれる。

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)}$

ここで、ψ ( z )はディガンマ関数である。また、この関数は級数の和として定義することもできる。

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}$

これはフルヴィッツゼータ関数の特殊なケースである。

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\ゼータ (2,z)。}$

最後の 2 つの式は、1 − zが自然数でない場合に有効であることに注意してください。

上記の表示方法に代わるものとして、級数表示から二重積分表示を導出することもできます。

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,dy\,dx}$

等比級数の和の公式を用いる。yに関する積分は次のようになる。

${\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx}$

ディガンマ関数の漸近展開の導関数を用いることで、ローラン級数としての漸近展開を得ることができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(z)&\sim {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!z}\left(\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}}\right)\\&={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}\\&={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+{\frac {1}{6z^{3}}}-{\frac {1}{30z^{5}}}+{\frac {1}{42z^{7}}}-{\frac {1}{30z^{9}}}+{\frac {5}{66z^{11}}}-{\frac {691}{2730z^{13}}}+{\frac {7}{6z^{15}}}\cdots \end{aligned}}}$

ここで、B n_はn番目のベルヌーイ数であり、 B ₁ = 1 / 2を選択します。

トリガンマ関数はこの和の公式に現れます: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left(\psi _{1}{\bigg (}n-{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}+\psi _{1}{\bigg (}n+{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\right)=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).}$

• ガンマ関数
• ディガンマ関数
• ポリガンマ関数
• カタルーニャ人の絶え間ない

• ミルトン・アブラモウィッツ、アイリーン・A・ステガン著『数学関数ハンドブック』（1964年）、ドーバー出版、ニューヨーク。ISBN 0-486-61272-4§6.4を参照。
• エリック・W・ワイススタイン。「トリガンマ関数」――MathWorld（Wolfram Webリソース）より