第二種ベルヌーイ多項式

第二種ベルヌーイ多項式[ ^{1] [2]} ψ _n ( x )はフォンタナ・ベッセル多項式^[3]とも呼ばれ、次の生成関数によって定義される多項式です。 $${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{x}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _ {n}(x),\qquad |z|<1.}$$

最初の 5 つの多項式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=1\\[2mm]\psi _{1}(x)&=x+{\frac {1}{2}}\\[2mm]\psi _{2}(x)&={\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{12}}\\[2mm]\psi _{3}(x)&={\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {1}{24}}\\[2mm]\psi _{4}(x)&={\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{6}}x^{2}-{\frac {19}{720}}\end{aligned}}}$$

_{一部の著者は}これらの多項式を若干異なる方法で定義しており^{[4] [5]} 、 また異なる表記法を使用することもあります（最もよく使用される代替表記法はbn ( x )です）。この規則では、多項式はシェファー列を形成します。 $${\displaystyle {\frac {z\left(1+z\right)^{x}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac { z^{n}}{n!}}\psi _{n}^{*}(x),\qquad |z|<1,}$$${\displaystyle \psi _{n}^{*}(x)=\psi _{n}(x)\,n!}$

第二種ベルヌーイ多項式はハンガリーの数学者チャールズ・ジョーダンによって主に研究されましたが^{[1] [2]}、その歴史ははるか以前の研究にまで遡ることもできます^{[3] 。}

第二種ベルヌーイ多項式は、これらの積分^{[1] [2]} および^{[3]を介して表すことができる。}$${\displaystyle \psi _{n}(x)=\int _{x}^{x+1}\!{\binom {u}{n}}\,du=\int _{0}^{1 }{\binom {x+u}{n}}\,du}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{n}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{\pi }}\int _{0} ^{\infty }{\frac {\pi \cos \pi x-\sin \pi x\ln z}{(1+z)^{n}}}\cdot {\frac {z^{x}dz}{\ln ^{2}z+\pi ^{2}}},\qquad -1\leq x\leq n-1\,\\[3mm]\psi _{n} (x)&={\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\pi \cos \pi xv\sin \pi x}{\left(1+e^{v}\right)^{n}}}\cdot {\frac {e^{v(x+1)}}{v^{2}+\pi ^{ 2}}}\,dv,\qquad -1\leq x\leq n-1\,\end{aligned}}}$$

したがって、これらの多項式は定数、つまり二項係数の原始関数と下降階乗の原始関数までである。^{[1] [2] [3]}

任意のn^{に対して、これらの多項式は次の和公式[1] [2] [3]} によって明示的に計算できます。 ここで、s ( n , l )は第一種符号付きスターリング数、Gn_はグレゴリー係数です。 $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{l=0}^{n-1}{\frac {s(n-1,l)}{l+1}}x^{l+1}+G_{n},\qquad n=1,2,3,\ldots }$$

第二種ベルヌーイ多項式をニュートン級数に展開すると^{[1] [2]} となり、 これは第2積分表現とヴァンデルモンドの恒等式を用いて表すことができる。 $${\displaystyle \psi _{n}(x)=G_{0}{\binom {x}{n}}+G_{1}{\binom {x}{n-1}}+G_{2}{\binom {x}{n-2}}+\ldots +G_{n}}$$

第二種ベルヌーイ多項式は再帰関係^{[1] [2]} を満たす 。または、 $${\displaystyle \psi _{n}(x+1)-\psi _{n}(x)=\psi _{n-1}(x)}$$$${\displaystyle \Delta \psi _{n}(x)=\psi _{n-1}(x)}$$

繰り返される差異は^{[1] [2]を生み出す} $${\displaystyle \Delta ^{m}\psi _{n}(x)=\psi _{nm}(x)}$$

対称性の主な性質は^{[2] [4]である。} $${\displaystyle \psi _{n}{\left({\tfrac {1}{2}}n-1+x\right)}=\left(-1\right)^{n}\psi _{n}{\left({\tfrac {1}{2}}n-1-x\right)}}$$

これらの多項式のいくつかの性質と特定の値には、 C _nが第二種コーシー数、M _{n が}中心差分係数で あるものが含まれる。^{[1] [2] [3]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{n}(0)=G_{n}\\[2mm]&\psi _{n}(1)=G_{n-1}+G_{n}\\[2mm]&\psi _{n}(-1)=\left(-1\right)^{n+1}\sum _{m=0}^{n}\left|G_{m}\right|=\left(-1\right)^{n}C_{n}\\[2mm]&\psi _{n}(n-2)=-\left|G_{n}\right|\\[2mm]&\psi _{n}(n-1)=\left(-1\right)^{n}\psi _{n}(-1)=1-\sum _{m=1}^{n}\left|G_{m}\right|\\[2mm]&\psi _{2n}(n-1)=M_{2n}\\[2mm]&\psi _{2n}(n-1+y)=\psi _{2n}(n-1-y)\\[2mm]&\psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}}+y)=-\psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}}-y)\\[2mm]&\psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}})=0\end{aligned}}}$$

二ガンマ関数 Ψ( x )は、次のようにして第二種ベルヌーイ多項式で展開することができる^[3]。 したがって^[3] であり、 γはオイラー定数である。さらに、^[3] であり、 Γ ( x )はガンマ関数である。フルヴィッツおよびリーマンゼータ関数は、次のようにこれらの多項式に展開することができる^[3]。 また 、 $${\displaystyle \Psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a )\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,}$$ $${\displaystyle \gamma =-\ln(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}$$$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}\left\{\psi _{n}(a)+\psi _{n}\left(-{\frac {a}{1+a}}\right)\right\},\quad a>-1}$$ $${\displaystyle \Psi (v)={\frac {1}{v+a-{\frac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )-{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}\left(n-1\right)!\right\},\quad \Re (v)>-a,}$$ $${\displaystyle \zeta (s,v)={\frac {(v+a)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}}$$$${\displaystyle \zeta (s)={\frac {(a+1)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-s}}$$$${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {(a+2)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}(k+2)^{-s}}$$

第二種ベルヌーイ多項式は、ゼータ関数間の次の関係式^[3] や、スティルチェス定数のさまざまな公式（例えば^[3]および）にも関係しており 、 これらはおよび に対して両方とも有効です。 $${\displaystyle {\big (}v+a-{\tfrac {1}{2}}{\big )}\zeta (s,v)=-{\frac {\zeta (s-1,v+a)}{s-1}}+\zeta (s-1,v)+\sum _{n=0}^{\infty }\left(-1\right)^{n}\psi _{n+2}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}}$$ $${\displaystyle \gamma _{m}(v)=-{\frac {\ln ^{m+1}(v+a)}{m+1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {\ln ^{m}(k+v)}{k+v}}}$$$${\displaystyle \gamma _{m}(v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}-v-a}}\left\{{\frac {(-1)^{m}}{m+1}}\,\zeta ^{(m+1)}(0,v+a)-(-1)^{m}\zeta ^{(m)}(0,v)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+2}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {\ln ^{m}(k+v)}{k+v}}\right\}}$$${\displaystyle \Re (a)>-1}$${\displaystyle v\in \mathbb {C} \setminus \!\{0,-1,-2,\ldots \}}$