アーノルドの舌

数学、特に力学系において、アーノルド舌（ウラジミール・アーノルドにちなんで命名）^{[ 1 ] [ 2 ]}は、力学系の回転数、またはその他の関連する不変特性が、その2つ以上のパラメータに応じてどのように変化するかを視覚化する際に現れる図解現象である。一定の回転数の領域は、一部の力学系において舌に似た幾何学的形状を形成することが観察されており、その場合、それらはアーノルド舌と呼ばれる。^{[ 3 ]}

^{アーノルド舌は、生物学的プロセスにおける酵素や基質の濃度[ 4 ]}や心臓の電気波など、振動量を伴うさまざまな自然現象で観察されます。振動の周波数は、ある量に依存したり、その量に基づいて制約されたり（つまり、ある文脈では位相ロックまたはモードロック）することがあり、この関係を研究することはしばしば興味深いものです。たとえば、腫瘍の発生は、その領域で一連の物質（主にタンパク質）の振動を引き起こし、それらが相互作用します。シミュレーションでは、これらの相互作用によってアーノルド舌が現れることが示されており、つまり、ある振動の周波数が他の振動を制約し、これを利用して腫瘍の成長を制御できます。^{[ 3 ]}

アーノルド舌が見られるその他の例としては、楽器の不調和性、軌道共鳴と周回衛星の潮汐ロック、光ファイバーと位相ロックループおよびその他の電子発振器のモードロック、心臓のリズム、心臓の不整脈、細胞周期などがある。^{[ 5 ]}

モード同期現象を示す最も単純な物理モデルの一つは、弱いバネで接続された2つの回転ディスクで構成される。一方のディスクは自由に回転し、もう一方はモーターで駆動される。モード同期は、自由に回転するディスクの回転周波数が、駆動される回転体の周波数の有理数倍である場合に発生する。

モード同期を示す最も単純な数学モデルは円マップであり、これは回転する円盤の動きを離散的な時間間隔で捉えようとするものである。

アーノルド舌は、発振器間の相互作用を研究する際に最も頻繁に現れます。特に、一方の発振器がもう一方の発振器を駆動する場合に顕著です。つまり、一方の発振器は他方に依存しますが、その逆はありません。したがって、たとえば倉本モデルのように、互いに影響し合うことはありません。これは、駆動力が周期的な挙動を示す駆動発振器の特殊なケースです。実例として、心筋細胞（外部発振器）は、心臓の収縮（駆動発振器）を刺激するために周期的な電気信号を生成しています。ここでは、発振器の周波数間の関係を決定することが、より優れた人工ペースメーカーの設計に役立つ可能性があります。円マップのファミリーは、この生物学的現象だけでなく、他の多くの現象にも有用な数学モデルとして機能します。^{[ 6 ]}

円写像の族は、円から円自身への関数（または自己準同型写像）です。円上の点を点として考える方が数学的に簡単です。${\displaystyle x}$実際の行では、モジュロを解釈する必要があります${\displaystyle 2\pi }$は、円内の点の位置する角度を表します。剰余演算が以外の値で行われる場合、${\displaystyle 2\pi }$結果は依然として角度を表しますが、全範囲が${\displaystyle [0,2\pi ]}$表現することができる。このことを念頭に置いて、円マップの族は次のように与えられる。^{[ 7 ]}

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

どこ${\displaystyle \Omega }$は発振器の「固有」周波数であり、${\displaystyle g}$は、外部発振器によって引き起こされる影響を示す周期関数です。${\displaystyle g(\theta )=\theta }$すべての人々のために${\displaystyle \theta }$粒子は円周上を単純に歩き回ります${\displaystyle \Omega }$一度に複数のユニットを処理できない場合、特に、${\displaystyle \Omega }$が無理数である場合、マップは無理数回転に縮小されます。

^{アーノルド[ 8 ]}が最初に研究し、今日でも有用であることが証明されている特定の円形地図は次のとおりです。

${\displaystyle \theta _{i+1}=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i})}$

どこ${\displaystyle K}$これは結合強度と呼ばれ、${\displaystyle \theta _{i}}$はモジュロで解釈されるべきである${\displaystyle 1}$このマップは、パラメータに応じて非常に多様な挙動を示します。${\displaystyle K}$そして${\displaystyle \Omega }$; 修正すれば${\displaystyle \Omega =1/3}$さまざまな${\displaystyle K}$この段落の周辺で分岐図が得られ、そこでは周期軌道、周期倍分岐、および可能性のあるカオス的挙動を観察できます。

円マップを別の視点から見る方法は次のとおりです。関数を考えてみましょう。${\displaystyle y(t)}$傾きとともに直線的に減少する${\displaystyle a}$ゼロに達すると、その値は関数で表された特定の振動値にリセットされます。${\displaystyle z(t)=c+b\sin(2\pi t)}$我々は今、時間のシーケンスに興味を持っている。${\displaystyle \{t_{n}\}}$y(t)がゼロになる時点。

このモデルは、時刻において${\displaystyle t_{n-1}}$それは妥当である${\displaystyle y(t_{n-1})=c+b\sin(2\pi t_{n-1})}$ここから先は、${\displaystyle y}$その後、直線的に減少し、${\displaystyle t_{n}}$関数${\displaystyle y}$はゼロなので、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=y(t_{n-1})-a\cdot (t_{n}-t_{n-1})\\[0.5em]0&=\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]-at_{n}+at_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&={\frac {1}{a}}\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]+t_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&=t_{n-1}+{\frac {c}{a}}+{\frac {b}{a}}\sin(2\pi t_{n-1})\end{aligned}}}$

そして選択することによって${\displaystyle \Omega =c/a}$そして${\displaystyle K=2\pi b/a}$前述の円形マップが得られます。

${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi t_{n-1}).}$

Glass, L. (2001)は、この単純なモデルは、細胞や血液中の物質濃度の調節など、いくつかの生物学的システムに適用可能であり、${\displaystyle y(t)}$上記は、ある物質の濃度を表しています。

このモデルでは、位相ロック${\displaystyle N:M}$それはつまり${\displaystyle y(t)}$正確にリセットされます${\displaystyle N}$毎回${\displaystyle M}$正弦波の周期${\displaystyle z(t)}$回転数は、その商になります。${\displaystyle N/M}$[ ^{7 ]​}

円の自己準同型写像の一般的な族を考えてみましょう。

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

標準的な円形地図の場合、${\displaystyle g(\theta )=\theta +(K/2\pi )\sin(2\pi \theta )}$場合によっては、円地図をマッピングの観点から表現すると便利な場合もあります。${\displaystyle f(\theta )}$:

${\displaystyle \theta _{i+1}=f(\theta _{i})=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

それでは、これらの円自己準同型写像の興味深い性質をいくつか列挙していきましょう。

P1。${\displaystyle f}$単調増加${\displaystyle K<1}$したがって、これらの値については${\displaystyle K}$反復${\displaystyle \theta _{i}}$円の中を前進するだけで、後退はしない。これを確認するには、の導関数に注目してください。${\displaystyle f}$は：

${\displaystyle f'(\theta )=1+K\cos(2\pi \theta )}$

これは、${\displaystyle K<1}$。

P2.漸化式を展開すると、次の式が得られます。${\displaystyle \theta _{n}}$:

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n-1}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

P3.仮に${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}{\bmod {1}}}$なので、それらは周期の周期固定点である${\displaystyle n}$正弦波は周波数 1  Hz で振動するため、1 サイクルあたりの正弦波の振動数は${\displaystyle \theta _{i}}$になるだろう${\displaystyle M=(\theta _{n}-\theta _{0})\cdot 1}$位相ロックを特徴づける${\displaystyle n:M}$[ ^{7 ]​}

P4.いずれの場合も${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$確かに${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta )+p}$つまり、${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta ){\bmod {1}}}$このため、多くの目的においては、反復処理が${\displaystyle \theta _{i}}$モジュラスを取る${\displaystyle 1}$か否か。

P5（並進対称性）。^{[ 9 ] [ 7 ]}与えられた${\displaystyle \Omega }$があります${\displaystyle n:M}$システム内の位相ロック。次に、${\displaystyle \Omega '=\Omega +p}$整数${\displaystyle p}$そうすれば${\displaystyle n:(M+np)}$位相同期。これはまた、${\displaystyle \theta _{0},\dots ,\theta _{n}}$パラメータの周期軌道${\displaystyle \Omega }$そうすれば、それは任意の周期軌道でもある。${\displaystyle \Omega '=\Omega +p,p\in \mathbb {N} }$。

これを確認するには、性質2における漸化式が次のようになることに注目してください。

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n}'&=\theta _{0}+n\Omega '+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{0}+n(\Omega +p)+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{n}+np,\end{aligned}}}$

だから${\displaystyle \theta _{n}-\theta _{0}=M}$元の位相ロックにより、${\displaystyle \theta _{n}'-\theta _{0}=\theta _{n}+np-\theta _{0}=M+np}$。

P6 。${\displaystyle K=0}$位相ロックが発生するのは${\displaystyle \Omega }$は有理数である。さらに、${\displaystyle \Omega =p/q\in \mathbb {Q} }$すると位相同期は${\displaystyle q:p}$。

性質2の漸化式を考慮すると、${\displaystyle \Omega =p/q}$暗示する：

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n{\frac {p}{q}}}$

等号の法則${\displaystyle 1}$保持されるのは、${\displaystyle n(p/q)}$は整数であり、最初の${\displaystyle n}$これを満たすのは${\displaystyle n=q}$。 その結果：

${\displaystyle \theta _{q}=\theta _{0}+p}$

${\displaystyle (\theta _{q}-\theta _{0})=p}$

意味${\displaystyle q:p}$位相同期。

非合理的な${\displaystyle \Omega }$（これは無理な回転につながる）${\displaystyle n\Omega =k}$整数の場合${\displaystyle n}$そして${\displaystyle k}$しかしその後${\displaystyle \Omega =k/n}$そして${\displaystyle \Omega }$これは合理的であり、当初の仮説と矛盾する。

Kの値が小さいから中程度の範囲（つまり、 K  =  0から約K  = 1の範囲 ）で、Ωの値が特定の場合、マップはモード同期または位相同期と呼ばれる現象を示します。位相同期領域では、θ _nの値は基本的にnの有理数倍として進みますが、小さなスケールではカオス的に進む場合があります。

モードロック領域における限界挙動は回転数によって与えられる。

${\displaystyle \omega =\lim _{n\to \infty }{\frac {\theta _{n}}{n}}.}$^{[ 10 ]}

これは、地図の巻き数とも呼ばれることがあります。

位相ロック領域、すなわちアーノルド舌は、右の図に黄色で示されています。このようなV字型の領域はそれぞれ、K → 0の極限で有理数 Ω  = p / qに接します。これらの領域のいずれかにおける ( K ,Ω)の値はすべて、回転数ω = p / qとなるような動きをもたらします。たとえば、図の中央下部にある大きなV字型の領域における( K , Ω ) の値はすべて、回転数ω = 1 / 2に対応します。「ロック」という用語が使用される理由の1つは、個々の値θ _{n が、}極限回転数を乱すことなく、かなり大きなランダムな摂動 ( Kの特定の値に対して舌の幅まで) によって摂動される可能性があることです。つまり、系列θ _nに大きなノイズが加わっても、シーケンスは信号に「ロック」されたままになります。ノイズが存在する状況下でも「同期」を維持できるこの能力は、位相同期ループ電子回路の有用性において極めて重要である。       

すべての有理数⁠ p / q ⁠に対してモード同期領域が存在する。円写像は、K = 0で測度がゼロとなる有理数を、 K ≠ 0 で測度がゼロでない集合に写像すると言われることがある。最大の舌は、サイズ順に、Farey 分数で発生する。K を固定し、この画像の断面を取って ω を Ω の関数としてプロットすると、「悪魔の階段」が得られる。これは一般的にCantor 関数に似た形状である。K <1の場合、円写像は微分同相写像であり、安定な解は 1 つしか存在しないことを示すことができる。しかし、 K>1の場合、これはもはや成り立たず、2 つの重なり合う同期領域の領域を見つけることができる。円写像の場合、この領域では、2 つを超える安定なモード同期領域が重なり合うことはないことを示すことができるが、一般的な同期システムの場合、重なり合う Arnold 舌の数に制限があるかどうかは不明である。    

円マップには、カオスへのサブハーモニック経路、つまり、3、6、12、24、...の形の周期倍増も示されています。

チリコフ標準写像は円写像と関連しており、同様の漸化式を持ち、次のように記述できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n+1}&=\theta _{n}+p_{n}+{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n})\\p_{n+1}&=\theta _{n+1}-\theta _{n}\end{aligned}}}$

両方の反復は 1 を法として取られます。本質的に、標準写像は、円写像のように強制的に固定されるのではなく、動的に変化することが許される運動量p _nを導入します。標準写像は、キックド ローターハミルトニアンによって物理学で研究されます。

アーノルド舌は、

• 心臓のリズムについては、Glass, L. et al. (1983)およびMcGuinness, M. et al. (2004)を参照のこと。
• 共振トンネルダイオード発振器の同期^{[ 11 ]}

• 位相同期ループ
• 倉本モデル
• シュトゥルミアンの言葉

• ワイススタイン、エリック・W. 「円地図」 . MathWorld .
• Boyland, PL (1986). "円写像の分岐: Arnol'd 舌、双安定性、回転区間" . Communications in Mathematical Physics . 106 (3): 353– 381. Bibcode : 1986CMaPh.106..353B . doi : 10.1007/BF01207252 . S2CID 121088353 . 
• ギルモア、R.、ルフラン、M. (2002).カオスのトポロジー：アリス・イン・ストレッチ・アンド・スクイーズランド. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-40816--6。-セクション 2.12 の基本的事実を簡単に復習します。
• Glass, L. ; Guevara, MR; Shrier, A.; Perez, R. (1983). "周期的に刺激された心臓振動子における分岐とカオス". Physica D: Nonlinear Phenomena . 7 ( 1– 3): 89– 101. Bibcode : 1983PhyD....7...89G . doi : 10.1016/0167-2789(83)90119-7 .・円グラフの枠組みの中で、心臓の心拍リズムを詳細に分析する。
• McGuinness, M.; Hong, Y.; Galletly, D.; Larsen, P. (2004). "ヒトの心肺系におけるアーノルド舌". Chaos . 14 (1): 1–6 . Bibcode : 2004Chaos..14....1M . doi : 10.1063/1.1620990 . PMID 15003038 . 

• インタラクティブなJavaアプレットを備えた円形マップ