S ( x )C ( x ) の グラフ。C ( x ) の最大値は約451 424 。Sと C の被積分関数がt 2 の π / 2 t 2 を フレネル積分 S ( x )C ( x )F ( x )G ( x )は、オーギュスタン＝ジャン・フレネル にちなんで名付けられた超越関数 であり、光学 で使用され、誤差関数 ( erf )と密接に関連しています。これらは近接場 フレネル回折 現象の記述に現れ、次の積分 表現によって定義されます。
S （ x ） = ∫ 0 x 罪 （ t 2 ） d t 、 C （ x ） = ∫ 0 x コス （ t 2 ） d t 、 F （ x ） = （ 1 2 π 2 − S （ x ） ） コス （ x 2 ） − （ 1 2 π 2 − C （ x ） ） 罪 （ x 2 ） 、 G （ x ） = （ 1 2 π 2 − S （ x ） ） 罪 （ x 2 ） + （ 1 2 π 2 − C （ x ） ） コス （ x 2 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt,\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\\F(x)&=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}-S\left(x\right)\right)\cos \left(x^{2}\right)-\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}-C\left(x\right)\right)\sin \left(x^{2}\right),\\G(x)&=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}-S\left(x\right)\right)\sin \left(x^{2}\right)+\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}-C\left(x\right)\right)\cos \left(x^{2}\right).\end{aligned}}}
パラメトリック曲線 （ S （ t ） 、 C （ t ） ） {\displaystyle {\bigl (}S(t),C(t){\bigr )}} はオイラー螺旋 またはクロソイド曲線であり、曲率が弧長に比例して変化する曲線です。
フレネル積分という用語は、複素定積分を指す場合もある。
∫ − ∞ ∞ e ± 私 1 x 2 d x = π 1 e ± 私 π / 4 \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{\pm iax^{2}}dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\pm i\pi /4}}
ここでa は実数かつ正の値であり、複素平面上で経路を閉じ、コーシーの積分定理 を適用することで評価できます。
意味 引数が t 2 の代わりに π / 2 2 で ある フレネル 積分 は、 1 2 · √ π ⁄ 2 の 代わり に 1 2 に 収束 ます フレネル積分は、すべてのx に対して収束する以下のマクローリン級数 を持つ。 S （ x ） = ∫ 0 x 罪 （ t 2 ） d t = ∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n x 4 n + 3 （ 2 n + 1 ） ! （ 4 n + 3 ） 、 C （ x ） = ∫ 0 x コス （ t 2 ） d t = ∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n x 4 n + 1 （ 2 n ） ! （ 4 n + 1 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.\end{aligned}}}
広く使われている表では、 S ( x ) とC ( x ) を定義する積分の引数にt 2 の代わりに π / 2 t 2 を し て い ます 。 無限 遠での積分の限界が 1 / 2 · √ π / 2 から / 2 [ 、 2 ( t = ) になります 。 これら 正規化フレネル積分 として知られています。
補助関数F ( x )G ( x )[ 4 ] 1 2 π 2 − F （ x ） − G （ x ） ≤ C （ x ） ≤ 1 2 π 2 + F （ x ） + G （ x ） 、 1 2 π 2 − F （ x ） − G （ x ） ≤ S （ x ） ≤ 1 2 π 2 + F （ x ） + G （ x ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}-F(x)-G(x)\leq C(x)\leq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}+F(x)+G(x),\\{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}-F(x)-G(x)\leq S(x)\leq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}+F(x)+G(x).\end{aligned}}}
オイラー螺旋 オイラー螺旋( x , y ) = ( C ( t ), S ( t )) 。螺旋は、 t が 正または負の無限大に近づくにつれて、画像の穴の中心に収束します。 コルヌ螺旋の進化を、先端と同じ曲率半径を持つ接円（接触円 とも呼ばれる）とともに描いたアニメーション。 オイラー螺旋（コルニュ螺旋またはクロソイドとも呼ばれる）は、S ( t ) をC ( t ) に対してプロットしたパラメトリックグラフ によって生成される曲線である。オイラー螺旋は、18世紀半ばにレオンハルト・オイラーによって オイラー・ベルヌーイ梁理論 の文脈で初めて研究された。1世紀後、マリー・アルフレッド・コルニュは、回折計算のための ノモグラム として同じ螺旋を構築した。
フレネル積分の定義から、微小量 dx とdy は 次のようになる。 d x = C ′ （ t ） d t = コス （ t 2 ） d t 、 d y = S ′ （ t ） d t = 罪 （ t 2 ） d t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}dx&=C'(t)\,dt=\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\\dy&=S'(t)\,dt=\sin \left(t^{2}\right)\,dt.\end{aligned}}}
したがって、原点 から測った螺旋の長さは次のように表すことができます。 L = ∫ 0 t 0 d x 2 + d y 2 = ∫ 0 t 0 d t = t 0 。 {\displaystyle L=\int _{0}^{t_{0}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t_{0}}dt=t_{0}.}
すなわち、パラメータt は原点(0, 0) から測った曲線の長さであり、オイラー螺旋は無限の 長さを持つ。ベクトル(cos( t 2 ), sin( t 2 ))は、 θ = t 2 単位 接線ベクトル も表す。tは 曲線の長さであるため、曲率κ は 次のように表すことができる。 κ = 1 R = d θ d t = 2 t 。 {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dt}}=2t.}
したがって、曲線の長さに対する曲率の変化率は次のようになる。 d κ d t = d 2 θ d t 2 = 2. {\displaystyle {\frac {d\kappa }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=2.}
オイラー螺旋は、任意の点における曲率 が、原点から螺旋に沿って測った距離に比例するという性質を持っています。この性質により、高速道路や鉄道工学における遷移曲線 として有用です。車両が単位速度で螺旋に沿って走行する場合、上記の導関数のパラメータt は時間も表します。したがって、一定速度で螺旋に沿って走行する車両は、一定の角加速度 率を持つことになります。
オイラー螺旋の一部は、ジェット コースターのループの形状に組み込まれることが多く、クロソイドループ と呼ばれる形状を作り出します。
物件 C ( x )S ( x )はx の奇関数 である。
C （ − x ） = − C （ x ） 、 S （ − x ） = − S （ x ） 。 {\displaystyle C(-x)=-C(x),\quad S(-x)=-S(x).}
これは、それらのべき級数展開が奇数次の項しか持たないという事実から容易に理解できる。あるいは、それらが原点でゼロとなる偶関数の原始関数であることからも理解できる。
x → ∞
S （ x ） = 1 8 π サイン x − [ 1 + O （ x − 4 ） ] （ コス （ x 2 ） 2 x + 罪 （ x 2 ） 4 x 3 ） 、 C （ x ） = 1 8 π サイン x + [ 1 + O （ x − 4 ） ] （ 罪 （ x 2 ） 2 x − コス （ x 2 ） 4 x 3 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x-\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{2x}}+{\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right),\\[6px]C(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x+\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{2x}}-{\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right).\end{aligned}}}
複素フレネル積分S ( z ) 上記のべき級数展開を用いると、フレネル積分は複素数 領域に拡張でき、複素変数zの 完全関数 となる 。
フレネル積分は誤差関数 を用いて次のように表すことができます。[ 5 ]
複素フレネル積分C ( z ) S （ z ） = π 2 ⋅ 1 + 私 4 [ erf （ 1 + 私 2 z ） − 私 erf （ 1 − 私 2 z ） ] 、 C （ z ） = π 2 ⋅ 1 − 私 4 [ erf （ 1 + 私 2 z ） + 私 erf （ 1 − 私 2 z ） ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\[6px]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}}
または
C （ z ） + 私 S （ z ） = π 2 ⋅ 1 + 私 2 erf （ 1 − 私 2 z ） 、 S （ z ） + 私 C （ z ） = π 2 ⋅ 1 + 私 2 erf （ 1 + 私 2 z ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\[6px]S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).\end{aligned}}}
xが C ( x )S ( x )初等関数 を用いて閉じた形 で評価することはできません。これらの関数のxが無限大に近づくときの 極限 は既知です。 ∫ 0 ∞ コス （ t 2 ） d t = ∫ 0 ∞ 罪 （ t 2 ） d t = 2 π 4 = π 8 ≈ 0.6267。 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin \left(t^{2}\right)\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\approx 0.6267.}
一般化 積分 ∫ x m e 私 x n d x = ∫ ∑ k = 0 ∞ 私 k x m + n k k ! d x = ∑ k = 0 ∞ 私 k （ m + n k + 1 ） x m + n k + 1 k ! {\displaystyle \int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=\int \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}x^{m+nk}}{k!}}\,dx=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}}{(m+nk+1)}}{\frac {x^{m+nk+1}}{k!}}} は合流型超幾何関数 であり、不完全ガンマ関数 でもある∫ x m e 私 x n d x = x m + 1 m + 1 1 F 1 （ m + 1 n 1 + m + 1 n ∣ 私 x n ） = 1 n 私 m + 1 n γ （ m + 1 n 、 − 私 x n ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\\[6px]&={\frac {1}{n}}i^{\frac {m+1}{n}}\gamma \left({\frac {m+1}{n}},-ix^{n}\right),\end{aligned}}} ∫ x m 罪 （ x n ） d x = x m + n + 1 m + n + 1 1 F 2 （ 1 2 + m + 1 2 n 3 2 + m + 1 2 n 、 3 2 ∣ − x 2 n 4 ） 。 {\displaystyle \int x^{m}\sin(x^{n})\,dx={\frac {x^{m+n+1}}{m+n+1}}\,_{1}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}+{\frac {m+1}{2n}}\\{\frac {3}{2}}+{\frac {m+1}{2n}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\mid -{\frac {x^{2n}}{4}}\right).} 1 F 1 （ m + 1 n 1 + m + 1 n ∣ 私 x n ） ～ m + 1 n Γ （ m + 1 n ） e 私 π m + 1 2 n x − m − 1 、 {\displaystyle _{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\sim {\frac {m+1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}x^{-m-1},} ∫ 0 ∞ x m e 私 x n d x = 1 n Γ （ m + 1 n ） e 私 π m + 1 2 n 。 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{m}e^{ix^{n}}\,dx={\frac {1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}.}
m = 0∫ 0 ∞ 罪 （ x 1 ） d x = Γ （ 1 + 1 1 ） 罪 （ π 2 1 ） 、 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin \left(x^{a}\right)\,dx=\Gamma \left(1+{\frac {1}{a}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2a}}\right),} | a | > 1 で収束し、右辺はΓ ( a −1 )
合流型超幾何関数のクンマー変換は ∫ x m e 私 x n d x = V n 、 m （ x ） e 私 x n 、 {\displaystyle \int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=V_{n,m}(x)e^{ix^{n}},} V n 、 m := x m + 1 m + 1 1 F 1 （ 1 1 + m + 1 n ∣ − 私 x n ） 。 {\displaystyle V_{n,m}:={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}1\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid -ix^{n}\right).}
数値近似 任意精度での計算には、べき級数は引数が小さい場合に適しています。引数が大きい場合は、漸近展開の方が速く収束します。連分数法も使用できます。
特定の目標精度での計算のために、他の近似法が開発されている。Cody は、相対誤差を まで下げる有理関数に基づく効率的な近似法を開発した。× 10 −19 FORTRAN実装が van Snyder によって公開されました。 Boersma は、誤差が 2 × 10 −19 未満の近似を開発しました。× 10 −9
ギャラリー Mathematica 13.1の関数ComplexPlot3Dを使用して作成した色分けにより、複素平面上の-2-2iから2+2iまでのフレネル積分関数S(z)をプロットした。
Mathematica 13.1の関数ComplexPlot3Dで作成した色を用いて、複素平面上の-2-2iから2+2iまでのフレネル積分関数C(z)をプロットした図。
Mathematica 13.1の関数ComplexPlot3Dで作成した色を用いて、複素平面上の-2-2iから2+2iまでのフレネル補助関数G(z)のプロットを示します。
Mathematica 13.1の関数ComplexPlot3Dで作成した色を用いて、複素平面上の-2-2iから2+2iまでのフレネル補助関数F(z)のプロットを示します。
注記 ↑ Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome; Myland, Jan (2009). An Atlas of functions: with equator, the atlas function calculator . New York, NY: Springer US Springer e-books. ISBN 978-0-387-48807-3 。 ↑ functions.wolfram.com、フレネル積分S：等価関数による表現、およびフレネル積分C：等価関数による表現。注：WolframはAbramowitz & Stegunの規約を使用しており、これはこの記事の規約とは√π / 2倍異なり ます ↑ パラメトリック積分 に基づく別の方法は、例えばZajta & Goel 1989 で説明されています。
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![{\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x-\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{2x}}+{\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right),\\[6px]C(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x+\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{2x}}-{\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971e463cafda1adb8f69182c12bb2a812495215e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\[6px]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407600705c2052e6eb7040fa8557b62d68057988)
![{\displaystyle {\begin{aligned}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\[6px]S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8ce089075b919154f476c7ce03d0042de5d9d0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\\[6px]&={\frac {1}{n}}i^{\frac {m+1}{n}}\gamma \left({\frac {m+1}{n}},-ix^{n}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e48d28903c53cdfc707c5b0c92a08bdc4612b0c)
