セミグループ

数学において、半群は集合とその集合に対する結合的な内部二項演算から構成される代数構造です。

半群の二項演算は、ほとんどの場合、乗法的に表記されます（単なる表記であり、必ずしも基本的な算術乗算ではありません）。x ⋅ y、または単にxy は、順序付きペア ( x、y )に半群演算を適用した結果を表します。結合法則は、半群内のすべてのx、y、zについて、 ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z )として正式に表現されます。

半群は、演算が結合的であるマグマの特殊なケース、または単位元や逆の存在を必要とせずに群を一般化したものと見なすことができます。 ^[a]群やマグマの場合と同様に、半群の演算は可換である必要はなく、したがってx ⋅ yはy ⋅ xに必ずしも等しくありません。結合的だが非可換な演算のよく知られた例は、行列の乗算です。半群の演算が可換である場合、半群は可換半群と呼ばれるか、または（群の類似の場合よりもまれに）アーベル半群と呼ばれることがあります。

モノイドは、半群と群の中間の代数構造であり、単位元を持つ半群であるため、群の公理の1つを除いてすべてに従います。つまり、モノイドには逆の存在は必須ではありません。自然な例は、連結を二項演算とし、空の文字列を単位元とする文字列です。空でない文字列に制限すると、モノイドではない半群の例が得られます。加算された正の整数はモノイドではない可換半群を形成しますが、非負の整数はモノイドを形成します。単位元を持たない半群は、単位元を追加するだけで簡単にモノイドに変えることができます。したがって、モノイドは群論ではなく半群の理論で研究されます。半群を、異なる方向への群の一般化である準群と混同しないでください。準群における演算は結合的である必要はありませんが、準群は群から除算の概念を保持します。半群（またはモノイド）における除算は一般には不可能です。

半群の正式な研究は 20 世紀初頭に始まった。初期の成果には、任意の半群を変換半群として実現する半群のケイリー定理が含まれる。この定理では、任意の関数が群論における全単射の役割を置き換える。有限半群の分類における深い成果は、有限群のジョーダン-ヘルダー分解に類似したクローン-ローズ理論である。グリーン関係など、半群を研究するための他のいくつかの手法は、群論のどの手法とも似ていない。

有限半群の理論は、統語的モノイドを介して有限半群と有限オートマトンが自然に結びついているため、1950年代以降、理論計算機科学において特に重要となっている。確率論では、半群はマルコフ過程と関連付けられている。^[1]応用数学の他の分野では、半群は線形時間不変システムの基本モデルである。偏微分方程式では、半群は空間的発展が時間に依存しない任意の方程式と関連付けられている。

特別な用途で現れる、追加の特性を持つ半群である特別なクラスの半群が数多くあります。これらのクラスの中には、グループのすべての特性ではなく追加の特性を示すことで、グループにさらに近いものもあります。これらのクラスには、正則半群、正統半群、反転を持つ半群、逆半群、相殺半群などがあります。自明なグループ以外のグループを含まない興味深いクラスの半群もあります。後者の種類の例としては、バンドとその可換サブクラスである半格子があり、これらも順序付けられた代数構造です。

半群とは、集合 Sと二項演算⋅ (つまり、関数 ⋅ : S × S → S ) が結合法則を満たすものである。

すべてのa、b、c ∈ Sに対して、式( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )が成立します。

もっと簡潔に言えば、半群は結合マグマです。

• 空半群:空集合は、空関数を二項演算とする半群を形成します。
• 1 つの要素を持つ半群: 本質的には 1 つだけ (具体的には、同型性を除いて 1 つだけ)、つまり演算a · a = a を持つシングルトン { a }が存在します。
• 2 つの要素を持つ半群: 本質的に異なるものが 5 つあります。
• 選択されたゼロを持つ任意の空でないセット上のヌル半群、または任意のセット上の左/右ゼロ半群。
• 「フリップフロップ」モノイド:スイッチの 3 つの操作 (設定、リセット、何もしない) を表す3 つの要素を持つ半群。
• 加算可能な正の整数の集合。(0 を含めるとモノイドになります。)
• 最小値または最大値を持つ整数の集合。(正負の無限大を含めるとモノイドになります。)
• 行列乗算による、指定されたサイズの正方非負行列。
• 環の乗算を伴う環の任意のイデアル。
• 文字列の連結を半群演算とする、固定アルファベット Σ 上のすべての有限文字列の集合。いわゆる「 Σ 上の自由半群」。空の文字列を含めると、この半群は Σ 上の自由モノイドになります。
• 確率分布 FとFのすべての畳み込み累乗を畳み込み演算として組み合わせたもの。これを畳み込み半群と呼びます。
• 変換半群とモノイド。
• 位相空間 からそれ自身への関数の合成を伴う連続関数の集合は、恒等関数が恒等関数として作用するモノイドを形成します。より一般的には、カテゴリの任意のオブジェクトの自己準同型は、合成に関してモノイドを形成します。
• 超平面の配置の面の積。

半群S (またはより一般的にはマグマ)の左単位元は、Sのすべてのxに対してe ⋅ x = xとなる元eです。同様に、右単位元は、 Sのすべてのxに対してx ⋅ f = xとなる元fです。左単位元と右単位元は、どちらも片側単位元と呼ばれます。半群には 1 つ以上の左単位元がありますが、右単位元はありません。その逆も同様です。

両側単位元(または単に単位元) は、左と右の両方の単位元である元です。両側単位元を持つ半群はモノイドと呼ばれます。半群は、最大で 1 つの両側単位元を持つことができます。半群が両側単位元を持つ場合、両側単位元はその半群の唯一の片側単位元です。半群が左単位元と右単位元の両方を持つ場合、その半群は両側単位元を持ちます (したがって、唯一の片側単位元です)。

単位元を持たない半群S は、 Sに元e ∉ S を付加して形成されるモノイドに埋め込まれ、すべてのs ∈ S ∪ { e }に対してe ⋅ s = s ⋅ e = sと定義される。^{[2] [3]}表記S ^1は、必要に応じて単位元を付加してSから得られるモノイドを表す（モノイドの場合はS ¹ = S ^{）。 [3]}

同様に、すべてのマグマには最大で 1 つの吸収元があり、これは半群論ではゼロと呼ばれます。上記の構成と同様に、すべての半群Sに対して、 S を埋め込む 0 を持つ半群S ⁰を定義できます。

半群演算は、その部分集合の集合に対する演算を誘導する。半群Sの部分集合AとB が与えられたとき、それらの積A · B （一般にABと表記）は集合{ ab | a in A and b in B } となる。 （この概念は群の場合と同様に定義される。）この演算に関して、部分集合A は次のように呼ばれる。

• AAがAの部分集合である場合に部分半群、
• ASがAのサブセットである場合は右イデアルであり、
• SAがAのサブセットである場合、左イデアル。

Aが左イデアルと右イデアルの両方である場合、それはイデアル(または両側イデアル) と呼ばれます。

Sが半群である場合、 Sの部分半群の任意の集合の共通部分もSの部分半群です。したがって、 Sの部分半群は完全な格子を形成します。

最小イデアルを持たない半群の例としては、加法のもとでの正の整数の集合が挙げられます。可換半群の最小イデアルが存在する場合、それは群です。

グリーン関係式は、要素が生成する主イデアルの観点から要素を特徴付ける5 つの同値関係のセットであり、半群のイデアルと関連する構造の概​​念を分析するための重要なツールです。

半群のどの要素も他の要素と可換であるという性質を持つ部分集合は、半群の中心^{と呼ばれます。 [4]}半群の中心は、実際には部分半群です。^[5]

半群準同型は半群の構造を保存する関数である。2つの半群間の関数f  : S → Tは、次の式が準同型であるとき、

関数 f ( ab ) = f ( a ) f ( b )です。

S内のすべての要素a、bに対して成立します。つまり、写像f を適用する前でも後でも半群演算を実行しても結果は同じです。

モノイド間の半群準同型は、それがモノイド準同型である場合、恒等性を保つ。しかし、半群準同型であってもモノイド準同型ではないものもある。例えば、恒等性を持たない半群SのS ¹への標準埋め込みなどである。モノイド準同型を特徴付ける条件については、さらに議論する。f  : S ₀ → S ₁を半群準同型とする。 fの像も半群である。S _{0が恒等元}e ₀を持つモノイドである場合、f ( e _{0 ) は}fの像の恒等元である。 S _{1も恒等元}e ₁を持つモノイドであり、e _{1 が}fの像に属する場合、f ( e ₀ ) = e ₁、つまりfはモノイド準同型である。特に、 fが全射である場合、それはモノイド準同型である。

2 つの半群SとT は、全単射半群準同型f  : S → Tが存在する場合、同型であるといわれます。同型半群は同じ構造を持ちます。

半群合同~ は、半群演算と互換性のある同値関係です。つまり、部分集合~ ⊆ S × Sは同値関係であり、x ~ yかつu ~ vであれば、 S内の任意のx、y、u、vに対してxu ~ yvが成り立ちます。他の同値関係と同様に、半群合同 ~ は合同類を誘導します。

[ a ] _~ = { x ∈ S | x ~ a }

そして半群演算は合同類に対して二項演算∘を誘導する。

[ u ] _~ ∘ [ v ] _~ = [ uv ] _~

~ は合同なので、 ~ のすべての合同類の集合は ∘ を持つ半群を形成し、これは商半群または因子半群と呼ばれ、S / ~と表記される。写像x ↦ [ x ] _~は半群準同型であり、商写像、標準全射、または射影と呼ばれる。S がモノイドの場合、商半群は恒等写像 [1] _~を持つモノイドである。逆に、任意の半群準同型の核は半群合同である。これらの結果は、普遍代数における最初の同型定理の特殊化にほかならない。合同類と因子モノイドは、文字列書き換えシステムにおける研究対象である。

S上の核合同とは、 Sの自己準同型の核となる合同のことである。^[6]

半群S が合同性の最大条件を満たすのは、包含順に並べられたS上の任意の合同性族が最大元を持つ場合である。ゾルンの補題によれば、これは昇順連鎖条件が成り立つと言っているのと同じである。つまり、 S上には合同性の無限厳密昇順連鎖は存在しない。^[7]

半群のすべてのイデアルI は、 x = y、またはxとy の両方がIに含まれる場合、x ρ yによって定義される合同 ρ を介して、因子半群、リース因子半群を誘導します。

以下の概念^[8]は半群が他の半群に含まれるという考えを導入する。

半群T は、半群SからTへの全射半群射が存在する場合、半群Sの商である。たとえば、( Z /2 Z , +)は、整数の 2 を法とする剰余をとる射を用いた、 ( Z /4 Z , +)の商である。

半群T は半群Sを割り切り、T が部分半群Sの商である場合、 T ≼ Sと表記されます。特に、Sの部分半群はT を割り切りますが、必ずしもSの商が存在するとは限りません。

これらの関係は両方とも推移的です。

Sの任意の部分集合Aに対して、 A を含むSの最小の部分半群Tが存在し、A はT を生成するといいます。 Sの単一の元x は、部分半群{ x ⁿ | n ∈ Z ⁺ }を生成します。これが有限の場合、x は有限位数であるとされ、そうでない場合は無限位数であるとされます。すべての元が有限位数である場合、半群は周期的であるといわれます。単一の元によって生成される半群は、単生成(または巡回) であるといわれます。単生成半群が無限である場合、加算演算により正の整数の半群と同型です。有限かつ空でない場合、少なくとも 1 つのべき等性を含んでいなければなりません。したがって、空でない周期半群には必ず少なくとも 1 つのべき等性があります。

部分半群であり、かつ群でもあるものは部分群と呼ばれます。半群の部分群とその冪等元との間には密接な関係があります。各部分群には、ちょうど 1 つの冪等元、つまり部分群の単位元が含まれます。半群の各冪等元eに対して、 e を含む一意の最大部分群が存在します。各最大部分群はこのようにして発生するため、冪等元と最大部分群の間には 1 対 1 の対応関係があります。ここで、最大部分群という用語は、群論における標準的な用法とは異なります。

順序が有限である場合、より多くのことが言える。たとえば、すべての空でない有限半群は周期的であり、最小イデアルと少なくとも 1 つの冪等性を持つ。与えられたサイズ (1 より大きい) の有限半群の数は、同じサイズのグループの数よりも (明らかに) 多い。たとえば、2 つの要素{a, b } のセットの可能な 16 個の「乗算表」のうち、8 個は半群^[b]を形成しますが、これらのうちモノイドは 4 個のみで、グループを形成するのは 2 個のみです。有限半群の構造の詳細については、クローン-ローズ理論を参照してください。

• モノイドは単位元を持つ半群です。
• 群とは、すべての要素に逆元が存在するモノイドです。
• 部分半群は、半群演算の下で閉じている半群の部分集合です。
• 相殺半群は相殺特性を持つ半群である: ^[9] a · b = a · cならばb = cであり、同様にb · a = c · aについても成り立つ。すべての群は相殺半群であり、すべての有限相殺半群は群である。
• バンドは、その演算がべき等である半群です。
• 半格子は、その演算がべき等かつ可換である半群です。
• 0 単純半群。
• 変換半群: 任意の有限半群S は、最大で| S | + 1個の状態の(状態) 集合Qの変換によって表すことができます。 Sの各要素x は、 Q をそれ自体にx  : Q → Qにマップし、シーケンスxy は、 Qの各qに対してq ( xy ) = ( qx ) yによって定義されます。 シーケンスは明らかに結合操作であり、ここでは関数合成と同等です。 この表現は、任意のオートマトンまたは有限状態マシン(FSM)の基本です。
• 双環半群は実際にはモノイドであり、pq = 1の関係の下で、 2 つの生成元pとq上の自由半群として記述できます。
• C ₀半群。
• 正則半群。すべての元xには、 xyx = xおよびyxy = y を満たす逆元yが少なくとも 1 つあります。元xとy は「相互に逆」と呼ばれることもあります。
• 逆半群は、すべての要素にちょうど 1 つの逆が存在する正則半群です。あるいは、任意の 2 つの冪等性が可換である場合に限り、正則半群は逆半群となります。
• ^{アフィン半群: Z d}の有限生成部分半群と同型な半群。これらの半群は可換代数に応用できます。

半格子の観点から、可換半群の構造定理が存在する。^[10]半格子（より正確には、meet-semilattice）（L、≤）は、すべての要素a、b ∈ Lのペアがa ∧ bで示される最大下限を持つ半順序集合である。演算∧は、Lを追加の冪等性法則a ∧ a = aを満たす半群にする。

任意の半群から半格子への準同型写像f  : S → Lが与えられたとき、各逆像S _a = f ⁻¹ { a }は（空でもよい）半群である。さらに、S はLによって次数付けされ、S _a S _b ⊆ S _{a ∧ b}となる。

fが全射ならば、半格子L は同値関係 ~ によってSの商に同型であり、 x ~ yが成り立つのはf ( x ) = f ( y )の場合のみである。この同値関係は上で定義した半群合同である。

可換半群を合同で割ると、別の可換半群が得られます。構造定理によれば、任意の可換半群Sに対して、この同値関係によるSの商が半格子となるような最良合同 ~ が存在します。この半格子をLで表すと、 SからLへの準同型写像fが得られます。前述のように、S はこの半格子によって次数が付けられます。

さらに、成分S _{a は}すべてアルキメデスの半群です。アルキメデスの半群とは、任意の要素x、yのペアが与えられたときに、要素zとn > 0が存在し、 x ⁿ = yzとなる半群です。

アルキメデスの性質は、半格子Lの順序付けから直接導かれます。この順序付けでは、あるzおよびn > 0に対してx ⁿ = yzである場合に限り、 f ( x ) ≤ f ( y )が成立するからです。

半群Sの分数の群または群完備化は、 Sの元を生成元として、 Sで成り立つすべての方程式xy = z を関係として生成した群G = G ( S )です。^[11] Sの各元を対応する生成元に送信する 明らかな半群準同型j  : S → G ( S )があります。これは、 Sから群への射に対する普遍的な性質を持っています。 ^[12]任意 の群Hと任意の半群準同型k  : S → Hが与えられた場合、 k = fjとなる一意の群準同型f  : G → Hが存在します。 G は、 Sの準同型像を含む「最も一般的な」群と考えることができます。

重要な問題は、この写像が埋め込みとなる半群を特徴付けることである。これは常に当てはまるとは限らない。例えば、集合論的交差を二項演算とする集合Xの部分集合の半群をSとする（これは半束の例である）。A . A = A はSのすべての元に対して成り立つので、これはG ( S )のすべての生成元に対しても成り立つはずであり、したがってG ( S ) は自明な群である。埋め込み可能性のためには、 S が消去特性を持つことが明らかに必要である。S が可換である場合、この条件は十分であり^[13]、半群のグロタンディーク群は分数の群の構成を提供する。非可換半群の問題は、半群に関する最初の実質的な論文にまで遡ることができる。^{[14] [15]}アナトリー・マルツェフは1937 年に埋め込み可能性の必要十分条件を与えた。^[16]

半群論は偏微分方程式の分野におけるいくつかの問題を研究するために使用できます。大まかに言えば、半群アプローチは、時間依存の偏微分方程式を関数空間上の常微分方程式と見なすことです。たとえば、空間区間(0, 1) ⊂ Rおよび時間t ≥ 0上の熱方程式の次の初期値/境界値問題を考えます。

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t>0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0,1),t=0.\end{cases}}}$

X = L ² ((0, 1) R )を区間(0, 1)を定義域とする二乗可積分実数値関数のL ^p空間とし、Aを定義域

${\displaystyle D(A)={\big \{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} ){\big |}u(0)=u(1)=0{\big \}},}$

ここで、H ^2はソボレフ空間です。すると、上記の初期値/境界値問題は、空間X上の常微分方程式の初期値問題として解釈できます。

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{cases}}}$

ヒューリスティックレベルでは、この問題の解はu ( t ) = exp( tA ) u ₀である「はず」です。ただし、厳密な処理のためには、 tAの指数に意味を与える必要があります。 tの関数として、 exp( tA ) は、 Xからそれ自体への演算子の半群であり、時刻t = 0での初期状態u ₀から、時刻tでの状態u ( t ) = exp( tA ) u ₀に移行します。演算子A は、半群の無限小生成子であると言われています。

半群の研究は、群や環などのより複雑な公理を持つ他の代数構造の研究に遅れをとっていました。いくつかの情報源^{[17] [18]}によると、この用語（フランス語）の最初の使用は、1904年のJ.-A. de SéguierのÉlements de la Théorie des Groupes Abstraits（抽象群理論の要素）にあります。この用語は、英語では1908年にHarold HintonのTheory of Groups of Finite Orderで使用されています。

アントン・スシュケヴィッチは半群についての最初の非自明な結果を得た。1928年の論文「Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit」（「一意可逆性の規則のない有限群について」）は有限単純半群の構造を決定し、有限半群の極小イデアル（またはグリーンの関係Jクラス）が単純であることを示した。^[18]その時点から、半群論の基礎はデビッド・リース、ジェームズ・アレクサンダー・グリーン、エフゲニー・セルゲーヴィチ・リャピン [fr]、アルフレッド・H・クリフォード、ゴードン・プレストンによってさらに築かれた。最後の2人は1961年と1967年にそれぞれ半群論に関する2巻のモノグラフを出版した。 1970 年、 Semigroup Forum (現在はSpringer Verlagが編集)と呼ばれる新しい定期刊行物が、半群論に特化した数少ない数学雑誌の 1 つになりました。

半群の表現論は、1963年にボリス・シャインによって、集合A上の二項関係と半群積の関係の合成を用いて発展した。 ^{[19] 1972年の代数学会議で、シャインは}A上の関係の半群であるB _A に関する文献を調査した。^[20] 1997年にシャインとラルフ・マッケンジーは、すべての半群が二項関係の推移的半群と同型であることを証明した。^[21]

近年、この分野の研究者はより専門的になり、逆半群のような半群の重要なクラスに関する専用のモノグラフや、特に有限オートマトンに対する代数オートマトン理論や関数解析への応用に焦点を当てたモノグラフが登場しています。

半群の結合公理が削除されると、結果はマグマになります。これは、閉じた二項演算M × M → Mを備えた集合Mに他なりません。

別の方向に一般化すると、n項半群（n 項半群、多項半群、多項半群とも呼ばれる）は、二項演算の代わりにn項演算を使用する集合Gへの半群の一般化である。 ^[22]結合法則は次のように一般化される。3 項結合法則は( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) 、つまり、任意の 3 つの隣接する要素を括弧で囲んだ文字列abcdeである。n項結合法則は、長さn + ( n − 1)の文字列で、任意のn個の隣接する要素を括弧で囲んだものである。2 項半群は単なる半群である。さらに公理により、n項群が導かれる。

3 番目の一般化は半群であり、二項関係が完全であるという要件が取り除かれます。カテゴリはモノイドを同様に一般化するため、半群はカテゴリとほとんど同じように動作しますが、恒等関係がありません。

可換半群の無限一般化は、様々な著者によって検討されてきた。^[c]

• 吸収要素
• 二重順序集合
• コンパクト半群
• 空の半群
• 一般逆
• アイデンティティ要素
• ライトの結合性テスト
• 主な要因
• 量子力学的半群
• 半群環
• 弱逆