2つの要素を持つ半群

数学において、2 つの要素を持つ半群とは、基礎となる集合の濃度が 2 である半群のことである。2 つの要素を持つ非同型半群は5 つ存在する。

• O ₂、位数 2 のヌル半群。
• LO ₂、位数 2 の左ゼロ半群。
• RO ₂、位数 2 の右零半群。
• ({0,1}, ∧) (ここで「∧」は論理接続詞「および」)、またはそれと同等の乗法による集合 {0,1}: 2 つの要素を持つ唯一の半格子であり、位数 2 のゼロを持つ唯一の非ヌル半群であり、モノイドでもあり、最終的には2 要素のブール代数です。これは、{0,1} の 2 を法とする乗法群(Z ₂ , · ₂ )とも同型です。
• (Z ₂ , + ₂ ) (ここで Z ₂ = {0,1} であり、「+ ₂」は「2 を法とする加算」)、または同等の ({0,1}, ⊕) (ここで「⊕」は論理接続詞「xor」)、または同等の乗算による集合 {−1,1}: 順序が 2 の唯一のグループ。

半群 LO ₂と RO _{2 は}反同型です。O ₂、({0,1}, ∧)および(Z ₂、 + ₂ )は可換であり、 LO ₂および RO ₂は非可換です。LO ₂、 RO ₂および({0,1}, ∧)はバンドです。

2つの要素を持つ基底集合として集合A = { 1, 2 }を選択すると、 Aでは16の二項演算を定義できます。これらの演算を下の表に示します。表では、次の形式の 行列が定義されています。

次のケイリー表を持つA上の二項演算を示します。

この表では、

• 半群({0,1}, )は、${\displaystyle \wedge}$零元0 と単位元1を含む 2 元半群を表します。緑色の背景の行列によって定義される 2 つの二項演算は結合的であり、どちらかをAと組み合わせると、半群({0,1}, )${\displaystyle \wedge}$と同型の半群が作成されます。この半群のすべての要素は冪等であるため、バンドです。さらに、可換 (アーベル) であるため、半格子です。誘導される順序は線型順序であるため、実際には格子であり、分配的かつ補集合でもあります。つまり、実際には2 元ブール代数です。
• 青い背景の行列によって定義された 2 つの二項演算は結合的であり、どちらかをAと組み合わせると、2 つの要素を持つヌル半群O ₂と同型の半群が作成されます。
• オレンジ色の背景の行列で定義された二項演算は結合的であり、これをAと組み合わせると半群が作成されます。これは左ゼロ半群LO ₂です。これは可換ではありません。
• 紫色の背景の行列で定義された二項演算は結合的であり、これをAと組み合わせると半群が作成されます。これは右ゼロ半群RO ₂です。また、可換ではありません。
• 赤い背景の行列によって定義された 2 つの二項演算は結合的であり、どちらかをAと組み合わせると、グループ (Z ₂、 + ₂ )と同型の半グループが作成されます。
• 白い背景の行列によって定義される残りの 8 つの二項演算は結合性がないため、 Aと組み合わせた場合に半群を作成するものはありません。

半群 ({0,1}, ) のケーリー表は以下のとおりです。 ${\displaystyle \wedge}$

これは、群ではない半群の最も単純で非自明な例です。この半群には単位元 1 があり、モノイドになります。また、可換です。元 0 には逆元がないため、群ではありません。また、方程式 1·0 = 0·0 で 0 を消去できないため、消去半群でもありません。

この半群はさまざまな文脈で出現する。例えば、1を真理値「真」、0を真理値「偽」として、演算を論理接続子「and」とすると、論理においてこの半群が得られる。これは、乗算においてモノイド{0,1}と同型である。また、半群

${\displaystyle S=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right\}}$

行列の乗算の下で。

半群(Z ₂ , + ₂ )のケーリー表は以下のとおりです。

この群は巡回群Z ₂および対称群S ₂と同型である。

A を3 要素集合{1, 2, 3}とする。合計で、 Aに対して3 ⁹ = 19683 通りの異なる二項演算を定義できる。19683 通りの二項演算のうち 113 通りは、24 個の非同型半群、または 18 個の非同値半群（同値とは同型または反同型）を決定する。 ^[1] 3 要素の群を除いて、これらの各群は、上記の 2 要素半群の 1 つ（または複数）を部分半群として持つ。^[2]たとえば、乗算による集合{−1, 0, 1}は位数 3 の半群であり、部分半群として{0, 1}と{−1, 1} の両方を含む。

与えられた位数の非同型有限半群を決定するためのアルゴリズムとコンピュータプログラムが開発されている。これらは、小さい位数の非同型半群を決定するために適用されている。[ ^{2] [3] [4]} n個の要素を持つ非同型半群の数は、 On-Line Encyclopedia of Integer SequencesのOEIS : A027851に記載されている。OEIS : A001423には非同値半群の数が記載されており、OEIS : A023814には半群を決定するn ^{n 2}の合計のうちの結合二項演算の数が記載されている。

• 空の半群
• 自明な半群（要素が 1 つの半群）
• 3つの要素を持つ半群
• 半群の特別なクラス