二重順序集合

二重順序集合( bosetとも​​呼ばれる) は、半群内のべき等集合の構造を記述する際に現れる数学的オブジェクトです。

半群内のべき等集合は双順序集合であり、すべての双順序集合は何らかの半群のべき等集合である。^{[1] [2]正則双順序集合は、追加の性質を持つ双順序集合である。}正則半群 内のべき等集合は正則双順序集合であり、すべての正則双順序集合は何らかの正則半群のべき等集合である。^[1]

この概念と用語は、1970年代初頭にKSSナンブーリパッドによって開発されました。 ^{[3] [4] [1]} 2002年に、パトリック・ジョーダンは、biordered setの略語としてbosetという用語を導入しました。^{[5] biordered setの定義特性は、セット上で定義された2つの}準順序によって表現されるため、biordered setという名前が付けられています。

モハン・S・プッチャによれば、「双順序集合を定義する公理は非常に複雑である。しかし、半群の一般的な性質を考慮すると、そのような有限の公理化が可能であることはむしろ驚くべきことである。」^[6] ナンブーリパッドによる双順序集合の元の定義の発表以来、定義にはいくつかのバリエーションが提案されてきた。デイビッド・イースダウンは定義を簡略化し、彼が考案した特別な矢印表記法で公理を定式化した。^[7]

XとYが集合でありρ⊆X × Yである場合、ρ( y ) = { x∈X  : xρy }とします。

E を、並置によって示される部分二項演算が定義されている 集合とします。D E_がE上の部分二項演算の定義域である場合、D _{E は}E上の関係であり、積ef がE内に存在する 場合のみ、( e , f ) が D _E内にあります。次の関係はE内で定義できます。

${\displaystyle \omega ^{r}=\{(e,f)\,:\,fe=e\}}$

${\displaystyle \omega ^{l}=\{(e,f)\,:\,ef=e\}}$

${\displaystyle R=\omega ^{r}\,\cap \,(\omega ^{r})^{-1}}$

${\displaystyle L=\omega ^{l}\,\cap \,(\omega ^{l})^{-1}}$

${\displaystyle \omega =\omega ^{r}\,\cap \,\omega ^{l}}$

T がEに関する部分二項演算とEにおける上記の関係を含む任意のステートメントである場合、 T *で表されるTの左右の双対を定義できます。 D _{E が}対称である場合、T * はT が常に意味を持ちます。

集合E は、 E内の任意の要素e、f、gなどに対して次の公理とその双対が成り立つ 場合、双順序集合と呼ばれます。

(B1) ω ^r と ω ^{l は}、 EとD _E = ( ω ^r ∪ ω ^l ) ∪ ( ω ^r ∪ ω ^l ) ^{−1に関する}再帰的および推移的な関係 です。

(B21) fが^ωr ( e )に属する場合、fRfeωeとなる。

(B22) g ω ^l fかつfとgが ω ^r ( e )に属する場合、 ge ω ^l feです。

( B31 ) gωrfかつfωreならばgf = ( ge ⁾ fとなる。^​

(B32) g ω ^l fかつfとgがω ^r ( e ) に属する場合、 ( fg ) e = ( fe )( ge ) である。

M ( e , f ) = ω ^l ( e ) ∩ ω ^r ( f ) （eとfのM個の順序集合）において、次の 関係を定義する。${\displaystyle \prec}$

${\displaystyle g\prec h\quad \Longleftrightarrow \quad eg\,\,\omega ^{r}\,\,eh\,,\,\,\,gf\,\,\omega ^{l}\,\,hf}$。

そしてセット

${\displaystyle S(e,f)=\{h\in M(e,f):g\prec h{\text{ 全ての }}g\in M(e,f)\}} に対して$

は、 eとfの順序で サンドイッチ セットと呼ばれます。

(B4) fとgが^ωr ( e )に含まれる場合、 S ( f , g ) e = S ( fe , ge )となる。

双順序集合EがM双順序集合であるとは、E内のすべてのeとfに対してM ( e , f ) ≠ ∅ が成り立つことをいう。また、E内のすべてのeとfに対してS ( e , f ) ≠ ∅ が成り立つことをいう。 E は正則双順序集合であるともいわれる 。

2012年にRoman S. Gigońは、 M-双順序集合がE-反転半群から生じるという簡単な証明を与えた。^{[8] [説明が必要]}

二重順序集合Eの部分集合F は、 F がEから継承された部分二項演算の下で二重順序集合である場合、E の二重順序部分集合（サブボセット）です。

E内の任意のeに対して、集合 ω ^r ( e )、ω ^l ( e )、ω ( e ) はEの二重順序部分集合である。^[1]

2つの二重順序集合EとFの間の写像φ: E → Fは、 DEのすべての( e、f )に対して( eφ )( fφ )=( ef )φが成り立つとき、二重順序集合_準同型写像(双射とも呼ばれる)である。

Vをベクトル空間とし、

E = { ( A , B ) | V = A ⊕ B }

ここでV = A ⊕ B は、 AとBがVの部分空間であり、VがAとBの内部直和であること を意味します。 E 上の部分二項演算 ⋆ は次のように定義されます。

( A、B ) ⋆ ( C、D ) = ( A + ( B ∩ C )、 ( B + C ) ∩ D )

E は二重順序集合となる。Eの準順序は次のように特徴付けられる。

( A、B ) ω ^r ( C、D ) ≡ A ⊇ C

( A、B ) ω ^l ( C、D ) ≡ B ⊆ D

半群Sの冪等元の集合E は、 Eで部分二項演算が次のように定義されている場合、二重順序集合になります。 efがEで定義されるのは、 Sでef = eまたはef = fまたはfe = eまたはfe = fが成り立つ場合のみです。S が正則半群である場合、E は正則二重順序集合です。

具体的な例として、S をX = { 1, 2, 3 } からそれ自身へのすべての写像の半群とします。記号 ( abc ) は、 1 → a、 2 → b、 3 → cとなる写像を表します。Sのべき等集合Eには、次の要素が含まれます。

（111）、（222）、（333）（定数マップ）

(122)、(133)、(121)、(323)、(113)、(223)

（123）（同一性マップ）

次の表（マッピングの構成を図の順序で示す）は、Eの部分的な二項演算を示しています。セル内のX は、対応する乗算が定義されていないことを示します。