C0-semigroup

バナッハ空間を考える${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ):=\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} {\text{ continuous}}:\forall \epsilon >0~\exists c>0{\text{ such that }}\vert f(x)\vert \leq \epsilon ~\forall x\in \mathbb {R} \setminus [-c,c]\}}$sup ノルムを授けられた${\displaystyle \Vert f\Vert$ :={\text{sup}}_{x\in \mathbb {R} }\vert f(x)\vert } 。${\displaystyle q:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$連続関数である${\displaystyle {\text{sup}}_{s\in \mathbb {R} }{\text{Re}}(q(s))<\infty }$オペレーター${\displaystyle M_{q}f:=q\cdot f}$ドメイン付き${\displaystyle D(M_{q}):=\{f\in C_{0}(\mathbb {R} ):q\cdot f\in C_{0}(\mathbb {R} )\}}$は閉じた密に定義された演算子であり、乗算半群を生成する。${\displaystyle (T_{q}(t))_{t\geq 0}}$どこ${\displaystyle T_{q}(t)f:=\mathrm {e} ^{qt}f.}$乗算演算子は対角行列の無限次元一般化と見なすことができ、${\displaystyle M_{q}}$特性から導き出すことができる ${\displaystyle q}$。 例えば${\displaystyle M_{q}}$境界は${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R)} }$かつその場合に限り${\displaystyle q}$は有界である。^{[ 4 ]}

させて${\displaystyle C_{ub}(\mathbb {R} )}$上の有界かつ一様連続な関数の空間とする${\displaystyle \mathbb {R} }$supノルムを備えた。（左）並進半群 ${\displaystyle (T_{l}(t))_{t\geq 0}}$は${\displaystyle T_{l}(t)f(s):=f(s+t),\quad s,t\in \mathbb {R} }$。

その生成子は導関数である${\displaystyle Af:=f'}$ドメイン付き${\displaystyle D(A):=\{f\in C_{ub}(\mathbb {R} ):f{\text{ differentiable with }}f'\in C_{ub}(\mathbb {R} )\}}$[ ^{5 ]​}

強連続半群${\textstyle T}$が一様連続である場合、そのマップは一様連続であると呼ばれます。${\textstyle t\to T(t)}$連続${\textstyle [0,\infty )}$に${\textstyle L(X)}$。

一様連続半群の生成作用素は有界作用素である。

C 0_半群${\textstyle (T(t))_{t\geq 0}}$定数が存在する場合、準縮小半群と呼ばれる。${\textstyle \omega }$そのため${\textstyle \|T(t)\|\leq \exp(\omega t)}$すべての人々のために${\textstyle t\geq 0}$収縮半群と呼ばれるのは、${\textstyle \|T(t)\|\leq 1}$すべての人々のために${\textstyle t\geq 0}$[ ^{8 ]​}

強連続半群${\textstyle T}$は、ある条件が満たされる場合に最終的に微分可能であると呼ばれる。${\textstyle t_{0}>0}$そのため${\textstyle T(t_{0})X\subset D(A)}$（同等に：${\textstyle T(t)X\subset D(A)}$すべての人々のために${\textstyle t\geq t_{0}}$） そして${\textstyle T}$すぐに微分可能${\textstyle T(t)X\subset D(A)}$すべての人々のために${\textstyle t>0}$。

すべての解析的半群は直ちに微分可能である。

コーシー問題の観点からの同等の特徴付けは次のとおりである。${\textstyle A}$最終的に微分可能であるのは、${\textstyle t_{1}\geq 0}$すべての${\textstyle x\in X}$解決策${\textstyle u}$抽象的なコーシー問題の微分は${\textstyle (t_{1},\infty )}$半群は、次の場合に直ちに微分可能である。${\textstyle t_{1}}$ゼロに設定することも可能です。

強連続半群${\textstyle T}$が存在する場合、最終的にコンパクトであると呼ばれます。${\textstyle t_{0}>0}$そのため${\textstyle T(t_{0})}$はコンパクト演算子である（同等に^{[ 9 ]}の場合）${\textstyle T(t)}$あらゆる用途に対応するコンパクトなオペレーターです${\textstyle t\geq t_{0}}$) 半群は、次の場合に即時コンパクトと呼ばれます。${\textstyle T(t)}$あらゆる用途に対応するコンパクトなオペレーターです${\textstyle t>0}$。

強連続半群は、ある条件を満たす場合に最終的にノルム連続と呼ばれる。${\textstyle t_{0}\geq 0}$つまり、地図は${\textstyle t\mapsto T(t)}$連続${\textstyle (t_{0},\infty )}$に${\textstyle L(X)}$半群は、次の場合に直ちにノルム連続であると呼ばれる。${\textstyle t_{0}}$ゼロに設定することも可能です。

直近ノルム連続半群の場合、写像は${\textstyle t\mapsto T(t)}$連続していない可能性があります${\textstyle t=0}$（そうすることで、半群は一様連続になる。）

解析的半群、（最終的に）微分可能な半群、および（最終的に）コンパクト半群はすべて最終的にノルム連続である。^{[ 10 ]}

半群の成長限界${\textstyle T}$定数

${\displaystyle \omega _{0}=\inf _{t>0}{\frac {1}{t}}\log \|T(t)\|.}$

この数はすべての実数の下限でもあるため、このように呼ばれています。${\textstyle \omega }$定数が存在する${\textstyle M>0}$と

${\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{\omega t}}$

すべての人々のために${\textstyle t\geq 0}$。

以下は同等です: ^{[ 11 ]}

1. 存在する${\textstyle M,\omega >0}$すべての${\textstyle t\geq 0}$: ${\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},}$
2. 成長限界は負の値である。${\textstyle \omega _{0}<0}$、
3. 半群は一様作用素位相においてゼロに収束する。${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0}$、
4. 存在する${\textstyle t_{0}>0}$そのため${\displaystyle \|T(t_{0})\|<1}$、
5. 存在する${\textstyle t_{1}>0}$スペクトル半径が${\textstyle T(t_{1})}$1より厳密に小さい、
6. 存在する${\textstyle p\in [1,\infty )}$すべての${\textstyle x\in X}$:${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty }$、
7. すべての人にとって${\textstyle p\in [1,\infty )}$そしてすべて${\textstyle x\in X}$:${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .}$

これらの同値条件を満たす半群は指数安定または一様安定と呼ばれます（上記の最初の 3 つの記述のいずれかが、文献の特定の部分で定義として採用されています）。${\textstyle L^{p}}$条件が指数安定性と同等であることは、ダトコ・パジーの定理と呼ばれます。

万一に備えて${\textstyle X}$はヒルベルト空間であり、生成作用素のレゾルベント作用素に関して指数安定性と同等の別の条件がある: ^{[ 12 ]}すべて${\textstyle \lambda }$正の実部を持つものは、${\textstyle A}$また、レゾルベント演算子は右半平面上で一様に有界である。${\textstyle (\lambda I-A)^{-1}}$ハーディスペースに属する${\displaystyle H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))}$これはギアハート＝プルースの定理と呼ばれています。

演算子Aのスペクトル境界は定数です

${\displaystyle s(A):=\sup\{{\rm {Re}}\,\lambda$ :\lambda \in \sigma (A)\}} 、

慣習により${\textstyle s(A)=-\infty }$Aのスペクトルが空である場合。

半群の成長限界と生成元のスペクトル限界は^{[ 13 ]によって関連付けられている。}${\textstyle s(A)\leq \omega _{0}(T)}$.例^{[ 14 ]}では${\textstyle s(A)<\omega _{0}(T)}$s(A) = \omega_0(T) の場合、${\textstyle T}$はスペクトル決定成長条件を満たすと言われている。最終的にノルム連続半群はスペクトル決定成長条件を満たす。^{[ 15 ]}これにより、これらの半群の指数安定性の別の同等な特徴付けが得られる。

• 最終的にノルム連続な半群は、以下の条件を満たす場合に限り指数的に安定である。${\textstyle s(A)<0}$。

最終的にコンパクトで、最終的に微分可能で、解析的で、一様連続な半群は最終的にノルム連続であるため、スペクトルによって決定される成長条件は特にこれらの半群に対して成り立つことに注意してください。

強連続半群${\textstyle T}$すべての に対して であれば、は強安定または漸近安定であると呼ばれる。${\textstyle x\in X}$:${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0}$。

指数安定性は強い安定性を意味するが、逆は一般的には真ではない。${\textstyle X}$無限次元である（${\textstyle X}$有限次元）。

強い安定性のための以下の十分条件は、アーレント・バティ・リュビッチ・フォン定理と呼ばれています。^{[ 16 ] [ 17 ]}次のように仮定します。

1. ${\textstyle T}$は有界である: が存在する${\textstyle M\geq 1}$そのため${\displaystyle \|T(t)\|\leq M}$、
2. ${\textstyle A^{*}}$虚軸上に点スペクトルはなく、
3. スペクトル${\textstyle A}$仮想軸上に位置するものは可算である。

それから${\textstyle T}$非常に安定している。

もし${\textstyle X}$反射的であれば条件は単純化される:${\textstyle T}$有界である、${\textstyle A}$虚軸上に固有値はなく、スペクトルは${\textstyle A}$仮想軸上に位置するものは可算集合である。${\textstyle T}$非常に安定している。