逆半群

群論において、逆半群（反転半群とも呼ばれる^[1]）Sは、S内のすべての元xがS内の唯一の逆元yを持ち、 x = xyxかつy = yxyであるような半群、つまりすべての元が唯一の逆元を持つ正則半群である。逆半群はさまざまな文脈で現れ、例えば部分対称性の研究に用いられる。^[2]

(この記事では、関数を引数の右側に書き、たとえばf ( x )ではなくx  f と書き、関数を左から右に合成するという慣例に従います。これは半群論でよく見られる慣例です。)

逆半群は、1952年にソ連でヴィクトル・ウラジミロヴィチ・ワグナー^[3]によって、 1954年にイギリスでゴードン・プレストン^[4]によって独立に導入されました。 ^{[5]両著者は、}集合の部分全単射の研究を通じて逆半群に到達しました。集合Xの部分変換αは、 AからBへの関数であり、AとB はXのサブセットです。集合Xの部分変換をαとβとします。αとβ は、それらを合成することが「意味をなす」最大の領域で（左から右へ）合成できます。

${\displaystyle \operatorname {dom} \alpha \beta =[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta ]\alpha ^{-1}\,}$

ここで、α ^{−1 は}α​​ による 原像を表す。部分変換は擬群の文脈で既に研究されていた。^{[6]しかし、部分変換の合成が}二項関係の合成の特殊なケースであることを最初に指摘したのはワーグナーであった。^{[7]彼はまた、2つの部分変換の合成の領域が}空集合 である可能性があることを認識していたため、これを考慮して空変換 を導入した。この空変換の追加により、集合の部分変換の合成はどこでも定義される結合二項演算になる。この合成では、集合Xのすべての部分的な一対一変換のコレクションは、 X上の対称逆半群（またはモノイド）と呼ばれる逆半群を形成し、逆 は像から領域に定義された関数逆（逆関係と同等）である。^{[8]これは「原型的な」逆半群であり、}対称群が原型群であるのと同じです。たとえば、すべての群を対称群に埋め込むことができるのと同様に、すべての逆半群を対称逆半群に埋め込むことができます (以下の「準同型と逆半群の表現」を参照)。 ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$

逆半群Sの元xの逆は通常x ⁻¹と表記される。逆半群の逆は群の逆と同じ性質を多く持ち、例えば( ab ) ⁻¹ = b ⁻¹ a ⁻¹である。逆モノイドにおいて、xx ⁻¹とx ⁻¹ x は必ずしも単位元と等しいとは限らないが、どちらも冪等である。^[9] S内のすべてのxに対してxx ⁻¹ = 1 = x ⁻¹ xとなる逆モノイドS (単能逆モノイド) は、もちろん群である。

逆半群Sには、いくつかの同値な特徴付けが存在する: ^[10]

• Sのすべての要素には、上記の意味で一意の逆元が存在します。
• Sのすべての要素には少なくとも 1 つの逆元があり ( Sは正則半群です)、冪等元は可換です (つまり、Sの冪等元は半格子を形成します)。
• すべての-クラスとすべての-クラスには、正確に 1 つの冪等が含まれます。ここで、 と はグリーン関係の 2 つです。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

sの -クラスにおける冪等性はs ⁻¹ sであり、 sの -クラスにおける冪等性はss ⁻¹である。したがって、逆半群におけるグリーン関係の単純な特徴付けが存在する: ^[11]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\,{\mathcal {R}}\,b\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}}$

特に明記しない限り、E(S)は逆半群Sの冪等性の半格子を表します。

• 集合X上の部分全単射は合成によって逆半群を形成する。
• すべての群は逆半群です。
• 双環半群は逆であり、( a , b ) ⁻¹ = ( b , a )である。
• すべての半格子は逆格子です。
• ブラント半群は逆群です。
• マン半群は逆群です。

掛け算表の例。これは結合法則に従っており、 aba = a、bab = bに従って各要素に独自の逆があります。恒等式はなく、可換ではありません。

逆半群Sは自然な半順序関係≤（ωと表記されることもある）を持ち、これは次のように定義される：^[12]

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=eb,}$

S内の何らかの冪等な eに対して。同様に、

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=bf,}$

S内の何らかの（一般には異なる）べき等 fに対して。実際、e はaa ⁻¹、fはa ⁻¹ aとすることができる 。^[13]

自然な半順序は乗算と反転の両方と互換性があり、つまり^[14]

${\displaystyle a\leq b,c\leq d\Longrightarrow ac\leq bd}$

そして

${\displaystyle a\leq b\Longrightarrow a^{-1}\leq b^{-1}.}$

群では、恒等性が唯一の冪等性であるため、この半順序は単純に等式に簡約されます。対称逆半群では、半順序はマッピングの制限、すなわち、α ≤ βである場合、かつその場合に限り、 αの領域がβの領域に含まれ、かつ、すべてのx がαの領域にある場合、xα = xβとなります。^[15]

逆半群上の自然半順序はグリーン関係式と次のように相互作用する：s ≤ tかつs tならばs = t 。同様にs tならばs = t 。^[16]${\displaystyle \,{\mathcal {L}}\,}$${\displaystyle \,{\mathcal {R}}\,}$

E ( S )では、自然な半順序は次のようになります。

${\displaystyle e\leq f\Longleftrightarrow e=ef,}$

したがって、冪等元は積演算の下で半格子を形成するので、E ( S )上の積は≤に関して最小の上限を与える。

E ( S ) が有限で鎖を形成する場合（つまり、E ( S ) が≤によって完全に順序付けられている場合）、 S は群の和集合です。^[17] E ( S ) が無限鎖である場合、SとE ( S )に関する追加の仮定の下で同様の結果を得ることができます。^[18]

逆半群の準同型（または射）は、他の半群とまったく同じ方法で定義されます。逆半群SとTについて、SからTへの関数 θ が射であるとは、 Sのすべてのs、tに対して、 ( sθ )( tθ ) = ( st ) θ が 成り立つことです。逆半群の射の定義は、条件( sθ ) ⁻¹ = s ⁻¹ θを含めることで拡張できますが、この特性は上記の定義から次の定理を経て導かれるため、その必要はありません。

定理。逆半群の準同型像は逆半群である。つまり、ある元の逆像は常にその元の像の逆像に写像される。^[19]

逆半群について証明された最も初期の結果の1つは、ワグナー・プレストンの定理であり、これは群に対するケーリーの定理の類似物である。

ワグナー・プレストン定理。Sが逆半群ならば、 S からへの関数 φは次のように与えられる。 ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{S}}$

dom ( aφ ) = Sa ⁻¹およびx ( aφ ) = xa

Sを忠実に 表現したものである。^[20]

したがって、任意の逆半群は対称逆半群に埋め込むことができ、部分一対一の逆演算で閉じた像を持ちます。逆に、逆演算で閉じた対称逆半群の任意の部分半群は逆半群です。したがって、半群S が逆演算で閉じた対称逆半群の部分半群と同型であるためには、S が逆半群である必要があります。

逆半群上の合同性は他の半群と全く同じように定義される。 合同性 ρは半群の乗法と互換性のある同値関係である。すなわち、

${\displaystyle a\,\rho \,b,\quad c\,\rho \,d\Longrightarrow ac\,\rho \,bd.}$^[21]

特に興味深いのは、逆半群S上 で定義される関係である。${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle a\,\sigma \,b\Longleftrightarrow }$^[22]が存在する${\displaystyle c\in S}$${\displaystyle c\leq a,b.}$

σ は合同であることが示され、実際それは群合同であり、因子半群S / σ が群であることを意味する。半群S上のすべての群合同の集合において、最小の要素（集合の包含によって定義される半順序に対して）は、最小の要素である必要はない。 Sが逆半群である特定のケースでは、σはS / σ が群であるようなS上の最小の合同である、すなわち、τ がS / τ が群であるようなS上の他の任意の合同である場合、 σ はτに含まれます。合同σはS上の最小群合同と呼ばれます。^{[23]最小群合同は、} Eユニタリ逆半群の特徴付けに使用できます（以下を参照）。

逆半群S上の合同性ρは、次の場合、冪等純粋と呼ばれる。

${\displaystyle a\in S,e\in E(S),a\,\rho \,e\Longrightarrow a\in E(S).}$^[24]

逆半群のクラスの一つとして、長年研究されてきたEユニタリ逆半群のクラスがある。逆半群S (半格子 Eが冪等元である) がEユニタリであるとは、すべてのe がEに含まれ、すべてのs がSに含まれる場合、

${\displaystyle es\in E\Longrightarrow s\in E.}$

同様に、

${\displaystyle se\in E\Rightarrow s\in E.}$^[25]

Eユニタリ逆半群Sの更なる特徴付けは次の通りである: e がEに含まれ、かつ e ≤ sである場合、 Sに含まれるいくつかのsに対して、s はEに含まれる。^[26]

定理。Sを冪等元半格子 Eと最小群合同σを持つ逆半群とする。このとき、以下は同値である: ^[27]

• S はEユニタリです。
• σ は純粋に冪等である。
• ${\displaystyle \sim }$= σ、

ここで、はS上の適合関係であり、次のように定義される。 ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},a^{-1}b}$冪等性がある。

マカリスターの被覆定理。すべての逆半群SはEユニタリー被覆を持つ。つまり、あるEユニタリー半群TからSへの冪等分離射影準同型が存在する。^[28]

E -ユニタリ逆半群の研究の中心となるのは、次の構成である。^[29]を半順序集合とし、順序が≤であるとする。また、を以下の性質を持つ 部分集合とする。${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$は下半格子であり、つまり、内の要素A、Bのすべてのペアは内の最大下限A B を持ちます(≤ に関して)。${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$は の順序イデアルです。つまり、A、B がにある場合、Aが にあり、B ≤ Aであれば、B はにあります。${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

ここで、Gを（左側に） 作用する群とし、${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

• Gに属するすべてのgと に属するすべてのA、Bに対して、A = B のときのみ、gA = gBである。${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• Gの各gと の各Bに対して、 gA = BとなるA が存在する。${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• 内のすべてのA、Bについて、gA ≤ gBのときのみ、A ≤ Bである。${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• 全てのg、h がGに含まれ、全てのAが に含まれる場合、g ( hA ) = ( gh ) Aです。${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

このトリプルには、次のプロパティも含まれると想定されます。 ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

• 内の任意のXに対して、G内にg が存在し、かつ内にAが存在してgA = X となる。${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• G内のすべてのgに対して、gと は空でない交差を持ちます。${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

このようなトリプルは、マカリスター トリプルと呼ばれます。マカリスター トリプルは、次のものを定義するために使用されます。 ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})=\{(A,g)\in {\mathcal {Y}}\times G:g^{-1}A\in {\mathcal {Y}}\}}$

掛け算とともに

${\displaystyle (A,g)(B,h)=(A\wedge gB,gh)}$。

すると、 はこの乗法による逆半群となり、( A , g ) ⁻¹ = ( g ⁻¹ A , g ⁻¹ )となる。 Eユニタリ逆半群の研究における主要な結果の 1 つは、マカリスターの P 定理である。 ${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

マカリスターのP定理。 をマカリスター三重項とする。すると はEユニタリ逆半群となる。逆に、すべてのEユニタリ逆半群はこの型のいずれかと同型である。 ^[30]${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

逆半群は、自然半順序においてすべての元がその上に唯一の最大元を持つ場合、つまりすべてのσクラスが最大元を持つ場合、F逆半群と呼ばれます。すべてのF逆半群はEユニタリモノイドです。マカリスターの被覆定理は、MV ローソンによって次のように改良されました。

定理。すべての逆半群にはF逆被覆が存在する。^[31]

マカリスターのP定理は、 F逆半群を特徴付けるためにも使用されています。マカリスターの 3 個は、が の主イデアルであり、 が半格子で ある場合に限り、F逆半群です。${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

自由群に似た構成は逆半群に対しても可能である。集合X上の自由逆半群の表現は、反転を持つ自由半群を考えることによって得られる。ここで反転とは逆をとることであり、次にヴァグネル合同によって商をとることである。

${\displaystyle \{(xx^{-1}x,x),\;(xx^{-1}yy^{-1},yy^{-1}xx^{-1})\;|\;x,y\in (X\cup X^{-1})^{+}\}.}$

自由逆半群の単語問題は、自由群の単語問題よりもはるかに複雑です。この分野での有名な成果は、自由逆半群の要素が自然に木として見なされ、マン木として知られることを示した WD マンによるものです。自由逆半群の乗算は、基本的に木の共通部分の重なりから構成されるマン木に対応しています。(詳細については、Lawson 1998 を参照してください)

任意の自由逆半群はF逆群である。^[31]

集合の部分変換の上記の合成により、対称逆半群が生じる。部分変換を合成する方法は他にもあり、これは上で使用した方法よりも制限的である。2つの部分変換αとβ は、 α の像がβの定義域に等しい場合にのみ合成され、そうでない場合、合成 αβ は未定義である。この代替合成では、集合のすべての部分的な一対一変換の集合は、逆半群ではなく、圏論の意味での帰納的群を形成する。逆半群と帰納的群のこの密接な関係は、エーレスマン・シャイン・ナンブーリパッド定理に具体化されており、帰納的群は常に逆半群から構成でき、その逆も成り立つことを述べている。^{[32]より正確には、逆半群とは、その（双対）}アレクサンドロフ位相に関してエタール群であり、そのオブジェクトの半集合がミート半格子であるような半 集合のカテゴリにおける群体である。

上で述べたように、逆半群S は、(1) S が正則半群であること、および (2) S内の冪等性が可換であることという条件によって定義できます。これにより、逆半群の一般化の 2 つの異なるクラス、つまり (1) は成り立つが (2) は成り立たない半群、およびその逆の半群が生まれました。

逆半群の正規一般化の例は以下の通りである: ^[33]

• 正則半群:半群 Sは、すべての要素に少なくとも 1 つの逆要素がある場合に正則となります。つまり、 S内の各aに対して、 axa = aとなるS内のxが存在します。
• 局所的に逆半群:正則半群 S は、各冪等なeに対してeSe が逆半群である場合に局所的に逆である。
• 正統半群:正統半群 S は、その冪等元の部分集合が部分半群を形成する場合、正統半群です。
• 一般化逆半群:正則半群 S は、その冪等性が正規帯を形成する場合、つまり、すべての冪等性x、y、zに対してxyzx = xzyx である場合に、一般化逆半群と呼ばれます。

一般化逆半群のクラスは、局所逆半群のクラスと正統半群のクラスの共通部分である。 ^[34]

逆半群の非正規な一般化には以下のものがある: ^[35]

• (左、右、両側)適切な半群。
• （左、右、両面）十分な半群。
• (左、右、両側) 半適切な半群。
• 弱（左、右、両側）十分な半群。

この逆の概念は、カテゴリにも容易に一般化できます。逆カテゴリとは、すべての射 f  : X → Yに一般逆g  : Y → Xがあり、 fgf = fかつgfg = gとなるようなカテゴリです。逆カテゴリは自己双対です。集合と部分一対一のカテゴリがその代表例です。^[36]

逆カテゴリは理論計算機科学において様々な応用が見出されている。^[37]

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