リース因子半群

数学の半群論において、リース因子半群（リース商半群、または単にリース因子とも呼ばれる）は、デイビッド・リースにちなんで名付けられ、半群と半群のイデアルを使用して構築された特定の半群です。

S を半群、IをSのイデアルとします。S と I を使用すると、Iを単一の要素に縮小し、 I以外のSの要素が恒等性を保持することによって、新しい半群を構築できます。 この方法で得られた新しい半群は、 SのIを法とするリース因子半群と呼ばれ、 S / Iと表されます。

リース因子半群の概念は1940年にデイヴィッド・リースによって導入された。 ^{[1] [2]}

半群の部分集合 は、と がともにの部分集合であるとき、のイデアルと呼ばれる（ただし、 についても同様）。を半群のイデアルとします。 の関係は次のように定義されます。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle SI}$${\displaystyle IS}$${\displaystyle I}$${\displaystyle SI=\{sx\mid s\in S{\text{ および }}x\in I\}}$${\displaystyle IS}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle S}$

x ρ y  ≡ x = yか、xとyの両方がIに含まれるかのいずれか

は における同値関係である。 の下での同値類はを含まない単集合と集合 である。はのイデアルなので、関係は上で合同である。^[3]商半群は、定義により を法 とするのリースの因子半群である。表記の便宜上、半群はとも表記される。リースの因子半群^[4]は、基底集合 を持ち、ここで は新しい要素であり、積 (ここでは と表記 ) は によって定義される 。${\displaystyle S}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S/{\rho}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S/\rho }$${\displaystyle S/I}$${\displaystyle (S\setminus I)\cup \{0\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle *}$

${\displaystyle s*t={\begin{cases}st&{\text{if }}s,t,st\in S\setminus I\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

上記で定義された上の合同は、を法とする上のリース合同と呼ばれます。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle I}$

次のケイリー表で定義される二項演算を持つ 半群S = { a , b , c , d , e } を考えます。

I = { a , d } をSのサブセットとします。

SI = { aa、ba、ca、da、ea、ad、bd、cd、dd、ed } = { a、d } ⊆ I

IS = { aa、da、ab、db、ac、dc、ad、dd、ae、de } = { a、d } ⊆ I

集合IはSのイデアルである。 Iを法とするSのリース因子半群は集合S / I = { b , c , e , I } であり、二項演算は次のケイリー表で定義される。

半群Sは、 AがSのイデアルであり、リース因子半群S / AがBと同型であるとき、半群Bによる半群Aのイデアル拡大と呼ばれる。 ^[5]

広範囲に研究されてきたケースとしては、完全に単純な半群のイデアル拡張、完全に0単純な半群による群の拡張、ゼロが追加された群による相殺を伴う可換半群の拡張などがある。一般に、半群のすべてのイデアル拡張を記述する問題はまだ未解決である。^[6]

• Lawson, MV (1998)。逆半群：部分対称性の理論。World Scientific。ISBN 978-981-02-3316-7。

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