量子マルコフ半群

量子力学において、量子マルコフ半群はマルコフ 開放量子系のダイナミクスを記述する。量子マルコフ半群の原型の公理的定義は、1972年にAMコサコフスキー^[1]によって初めて導入され、その後1976年にV.ゴリーニ、AMコサコフスキー、ECGスダルシャン^[2]、ゴーラン・リンドブラッド^{[3]によって発展した。 [4]}

理想的な量子システムは、完全に孤立している必要があるが、実際には、通常は多数の自由度を持つ環境（たとえば、周囲の放射場と相互作用する原子）との結合の影響を受けるため、現実的ではない。環境の自由度の完全な微視的記述は、通常、複雑すぎる。したがって、開放系のダイナミクスのより単純な記述が求められる。原則として、環境の自由度にわたって適切な観測量を平均化することにより、対象の縮小系に関する情報を取得するには、システム全体、つまりシステムと環境のユニタリーダイナミクスを調査する必要がある。環境との相互作用による散逸効果をモデル化するには、シュレーディンガー方程式を、環境の無限の自由度が少数の量子ノイズとして「合成」されるリンドブラッド方程式や確率的シュレーディンガー方程式などの適切なマスター方程式に置き換える。数学的には、マルコフ開放量子系における時間発展は、ユニタリー写像の1パラメータ群によって記述することはできなくなり、量子マルコフ半群を導入する必要がある。

一般に、量子力学的半群はフォン・ノイマン代数上で定義できるため、システムの次元は無限大になる可能性がある。 がヒルベルト空間上に作用するフォン・ノイマン代数であるとすると、 上の量子力学的半群は上の有界演算子の集合であり、 で表され、次の性質を持つ: ^[5]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}:=\left({\mathcal {T}}_{t}\right)_{t\geq 0}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{0}\left(a\right)=a}$、、​${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t+s}\left(a\right)={\mathcal {T}}_{t}\left({\mathcal {T}}_{s}\left(a\right)\right)}$、、、​​${\displaystyle \forall s,t\geq 0}$${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$すべてにとって完全にプラスです、${\displaystyle t\geq 0}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$はすべての に対して-弱連続演算子であり、${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle t\geq 0}$
5. すべての に対して、写像は上の -弱位相に関して連続です。${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle t\mapsto {\mathcal {T}}_{t}\left(a\right)}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

完全な正値性の条件下では、演算子が-弱連続であるためには、 が正規であることが必要である 。^{[5] を}の正値の凸錐とすると、の最小上限を持つの任意の増加ネット に対して、 が${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle T:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$

${\displaystyle \lim _{\alpha }\langle u,(Tx_{\alpha })u\rangle =\sup _{\alpha }\langle u,(Tx_{\alpha })u\rangle =\langle u ,(Tx)u\rangle }$

のノルム稠密な線型部分多様体内の各 に対して。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

量子力学的半群が恒等保存的（または保存的、あるいはマルコフ的）であるとは、 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

ここで は恒等元である。簡単に言うと、は量子マルコフ半群と呼ばれる。の恒等保存性と正値はすべての に対して成り立ち、 は縮約半群となることに注意する。^[6]${\displaystyle {\boldsymbol {1}}\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$${\displaystyle \left\|{\mathcal {T}}_{t}\right\|=1}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

条件（１ ）は、ハドソン・パルタサラシー量子確率微分方程式の解の一意性とユニタリー性の証明において重要な役割を果たすだけでなく、作用素理論の観点から古典マルコフ過程の経路の正則性条件を導出する際にも重要な 役割を果たす。^[7]

量子力学的半群の無限小生成子は、定義域を持つ演算子であり、ここで ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \operatorname {Dom} ({\mathcal {L}})}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left({\mathcal {L}}\right):=\left\{a\in {\mathcal {A}}~\left\vert ~\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {{\mathcal {T}}_{t}(a)-a}{t}}=b{\text{ in }}\sigma {\text{-weak topology}}\right.\right\}}$

そして。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}(a):=b}$

加えて量子マルコフ半群が一様連続である場合、つまり ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0^{+}}\left\|{\mathcal {T}}_{t}-{\mathcal {T}}_{0}\right\|=0}$

• 無限小生成子は、フォン・ノイマン代数上の有界作用素となり、その定義域はとなる^。[8]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathrm {Dom} ({\mathcal {L}})={\mathcal {A}}}$
• マップは自動的に連続的になる。^[8]${\displaystyle t\mapsto {\mathcal {T}}_{t}a}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$
• 無限小生成器も弱連続となる。^[9]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \sigma }$

このような仮定の下では、無限小生成器は次のような特徴を持つ^[3]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(a\right)=i\left[H,a\right]+\sum _{j}\left(V_{j}^{\dagger }aV_{j}-{\frac {1}{2}}\left\{V_{j}^{\dagger }V_{j},a\right\}\right)}$

ここで、、、およびは自己随伴です。さらに、上式は交換子、および反交換子を表します。 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle V_{j}\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \sum _{j}V_{j}^{\dagger }V_{j}\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$${\displaystyle H\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]}$${\displaystyle \left\{\cdot ,\cdot \right\}}$

• Chebotarev , AM; Fagnola, F (1998 年 3 月)。「極小量子動的半群の保存性に対する十分条件」。Journal of Functional Analysis。153 ( 2): 382– 404。arXiv : funct-an/9711006。doi : 10.1006/jfan.1997.3189。S2CID 18823390  。
• Fagnola, Franco; Rebolledo, Rolando (2003-06-01). 「量子マルコフ半群の遷移と再帰」.確率論と関連分野. 126 (2): 289– 306. doi : 10.1007/s00440-003-0268-0 . S2CID  123052568.
• レボレド、R (2005 年 5 月)。 「量子マルコフ半群のデコヒーレンス」。アンリ・ポアンカレ研究所の紀要 B。41 (3): 349–373。書誌コード:2005AIHPB..41..349R。土井：10.1016/j.anihpb.2004.12.003。
• ウマニタ、ヴェロニカ（2006年4月）。 「量子マルコフ半群の分類と分解」。確率 論と関連分野。134 （4）：603-623。doi：10.1007/s00440-005-0450-7。S2CID 119409078。
• Fagnola, Franco; Umanità, Veronica (2007-09-01). 「詳細なバランス量子マルコフ半群の生成器」.無限次元解析、量子確率および関連トピック. 10 (3): 335– 363. arXiv : 0707.2147 . doi :10.1142/S0219025707002762. S2CID  16690012.
• Carlen, Eric A .; Maas, Jan (2017 年 9 月)。「詳細なバランスを持つ量子マルコフ半群の勾配フローとエントロピー不等式」。Journal of Functional Analysis。273 ( 5): 1810– 1869。arXiv : 1609.01254。doi : 10.1016/j.jfa.2017.05.003。S2CID 119734534  。

• 演算子位相 – ヒルベルト空間上の演算子の集合上の位相
• フォン・ノイマン代数 – ヒルベルト空間上の有界作用素の *-代数
• C0 半群 – 指数関数の一般化Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 縮約半群 – 指数関数の一般化Pages displaying short descriptions of redirect targets
• リンドブラディアン - 密度行列（混合状態）のマルコフ量子マスター方程式
• マルコフ連鎖 – 過去の履歴に依存しないランダムプロセス
• 量子力学 – 原子および原子以下のスケールでの物理的特性の記述
• オープン量子システム – 量子力学的環境と相互作用する量子力学的システム