バンド（代数）

数学において、バンド（冪等半群とも呼ばれる）は、すべての要素が冪等である（つまり、自身の平方に等しい）半群である。バンドは、 AH Clifford  （1954）によって初めて研究され、命名された。

バンドの多様体の格子は、1970年代初頭にビリュコフ、フェネモア、ゲルハルトによって独立に記述されました。^[1]半格子、左ゼロバンド、右ゼロバンド、長方形バンド、正規バンド、左正則バンド、右正則バンド、正規バンドは、この格子の底部近くに位置し、特に興味深いバンドの特定のサブクラスです。以下で簡単に説明します。

バンドのクラスは、部分半群、準同型像、直積の形成に関して閉じている場合、多様体を形成します。バンドの各多様体は、単一の定義単位元によって定義できます 。^[2]

半格子はまさに可換バンドである。つまり、次の式を満たすバンドである。

• すべてのxとyについてxy = yxです。

バンドは、のように定義できる事前順序を誘導します。 可換性を要求するということは、この事前順序が (半格子)部分順序になることを意味します。 ${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle xy=x}$

左ゼロバンドとは、次の式を満たすバンドである。

• xy  =  x、

そのため、そのケーリー表には定数行があります。

対称的に、右ゼロバンドは

• xy  =  y、

ケイリー表に定数列が含まれるようにします。

長方形の帯とは、次の式を満たす 帯Sである。

1. すべてのx、  y  ∈  Sに対してxyx = x、または同等である、
2. すべてのx、  y、  z  ∈  Sに対してxyz  =  xz、

任意の半群において、最初の恒等式はどこにも可換でない半群を特徴付けるのに十分であり、これの証明は次の通りである。

半群がどこにも可換でないとする。任意の柔軟な マグマ では、すべての要素はその平方と可換である。したがって、任意のどこにも可換でない半群では、すべての要素は冪等であり、つまりバンドである。したがって、任意のどこにも可換でない半群では、 ${\displaystyle (aa)a=a(aa)}$

${\displaystyle x(xyx)=(xx)yx=xyx=xy(xx)=(xyx)x}$。

したがって、は と可換であり、したがって、これは最初の特性恒等式です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle xyx}$${\displaystyle xyx=x}$

ここで、最初の恒等式が半群で成り立つと仮定します。この恒等式は冪等性を意味します。したがって、また次の含意は任意の半群で成り立ちます。したがって、バンドであるこの半群は、実際にはどこにも可換な半群です。 ${\displaystyle a=aaa}$${\displaystyle aa=aaaa=a(aa)a=a}$${\displaystyle xy=yx\implies (xy)(yx)=(yx)(xy)}$

${\displaystyle xy=yx\implies x=xyx=x(yy)x=(xy)(yx)=(yx)(xy)=y(xx)y=yxy=y}$。

任意の半群において、最初の恒等式は 2 番目の恒等式も意味します。なぜなら、xyz = xy ( zxz ) = ( x ( yz ) x ) z = xzだからです。

長方形半群のべき等元は長方形バンドであるサブバンドを形成しますが、長方形半群にはべき等ではない要素が含まれる場合があります。バンドでは、2 番目の恒等元は明らかに最初の恒等元を意味しますが、それにはべき等性が必要です。2 番目の恒等元を満たすがバンドではなく、最初の恒等元を満たさない半群が存在します。

長方形バンドの完全な分類が存在する。任意の集合IとJが与えられたとき、 I  ×  Jに対するマグマ演算を次のように 定義することができる。

${\displaystyle (i,j)\cdot (k,\ell )=(i,\ell )\,}$

この演算は結合的である 。なぜなら、任意の3つのペア( i _x ,  j _x )、( i _y ,  j _y )、( i _z ,  j _z )に対して、

${\displaystyle ((i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{y}))\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})}$同様に

${\displaystyle (i_{x},j_{x})\cdot ((i_{y},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z}))=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})}$

これら 2 つのマグマ恒等式(xy)z  =  xzとx(yz)  =  xzは、上記の 2 番目の特性恒等式と同等です。

これら 2 つを組み合わせると、結合性(xy)z  = x(yz)も意味します。したがって、これら 2 つの長方形恒等性と冪等性を満たすマグマは長方形バンドです。したがって、特性恒等性 (4 つの個別のマグマ恒等性)の両方を満たすマグマはバンドであり、したがって長方形バンドです。

上記で定義したマグマ演算は矩形帯です。なぜなら、任意のペア( i ,  j )に対して( i ,  j ) · ( i ,  j ) = ( i ,  j )であるため、すべての要素はべき等であり、最初の特性単位元はべき等性とともに 2 番目の特性単位元から従うからです。

しかし、最初の特性と冪等性の恒等性のみを満たすマグマは結合的である必要はないので、2 番目の特性は半群の最初の特性からのみ従います。

任意の長方形バンドは、上記の形式のいずれかと同型です（ が空であるか、任意の要素 を選択すると、（）は同型 を定義します）。左ゼロバンドと右ゼロバンドは長方形バンドであり、実際、すべての長方形バンドは左ゼロバンドと右ゼロバンドの直積に同型です。素数位数の長方形バンドはすべて、左または右のゼロバンドです。長方形バンドは、左ゼロバンドでも右ゼロバンドでもない場合は、純粋に長方形であると言われています。^[3]${\displaystyle S}$${\displaystyle e\in S}$${\displaystyle s\mapsto (se,es)}$${\displaystyle S\cong Se\times eS}$

圏論的な言語では、空でない長方形バンドのカテゴリはと同値であると言うことができます。ここで、 は空でない集合をオブジェクトとして、関数を射として持つカテゴリです。これは、すべての空でない長方形バンドが集合のペアから得られるものと同型であるだけでなく、これらの集合は標準同型を除いて一意に決定され、バンド間のすべての準同型は集合間の関数のペアから得られることを意味します。^[4]上記の結果で 集合Iが空の場合、長方形バンドI  ×  JはJから独立しており、その逆も同様です。これが、上記の結果が空でない長方形バンドと空でない集合のペアの間の同値性のみを与える理由です。 ${\displaystyle \mathrm {Set} _{\neq \emptyset }\times \mathrm {Set} _{\neq \emptyset }}$${\displaystyle \mathrm {Set} _{\neq \emptyset }}$

長方形バンドはT代数でもあります。ここで、TはSet上のモナドであり、 T ( X )= X × X、T ( f )= f × f、対角写像、です。 ${\displaystyle \eta _{X}}$${\displaystyle X\to X\times X}$${\displaystyle \mu _{X}((x_{11},x_{12}),(x_{21},x_{22}))=(x_{11},x_{22})}$

通常のバンドは、バンドSが

• すべてのx、 y、 z  ∈  Sに対してzxyz  =  zyxz です。

通常のバンドは、バンドSが

• すべてのa、 b、 x、 y  ∈  Sについてaxyb  =  ayxb です。

これは中間マグマを定義するのに使われる式と同じなので、通常の帯状岩は中間帯とも呼ばれ、通常の帯状岩は中間マグマの例である。^[3]

左正則バンドとは、バンドSが

• すべてのx、 y  ∈  Sに対してxyx = xy 

半群をとり、ab = b ならばa ≤ bと定義すると、この半群が左正則バンドである場合にのみ半順序が得られます。左正則バンドは、このように半集合の研究で自然に現れます。^[5]

右正則バンドとは、バンドSが

• すべてのx、  y  ∈  Sに対してxyx = yx

任意の右正則バンドは、逆の積を使用することで左正則バンドになります。実際、バンドのあらゆる種類には「反対」のバージョンがあり、これが下の図の反射対称性を生み出します。

レギュラーバンドとは、 Sを満たす バンドである。

• すべてのx、  y、  z  ∈  Sに対してzxzyz = zxyz

バンドの多様体は、包含関係によって部分的に順序付けられると、自然に格子 を形成し、その中で 2 つの多様体の交わるところはそれらの共通部分であり、 2 つの多様体の結合部は、それら両方を含む最小の多様体である。この格子の完全な構造は既知であり、特に、可算、完全、分配的 である。^[1] 13 種類の正則バンドからなる部分格子を図に示す。左ゼロバンド、半格子、右ゼロバンドの多様体は、この格子の 3 つの原子（非自明な最小要素）である。

図に示されているバンドの各種類は、ただ 1 つのアイデンティティによって定義されています。これは偶然ではありません。実際、バンドのすべての種類は、単一のアイデンティティによって定義できます。^[1]

• ブール環、すべての要素が（乗法的に）べき等である環
• どこにも可換な半群がない
• 半群の特別なクラス
• 正統派準グループ
• 可逆セルオートマトン § 1次元オートマトン

• ビリュコフ、AP (1970)、「冪等半群の多様性」、代数と論理、9 (3): 153–164、doi :10.1007/BF02218673。
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