変換半群

代数学において、変換半群（または合成半群）とは、関数合成に関して閉じている変換（ある集合からそれ自身への関数）の集合のことである。恒等関数を含む場合、それはモノイドであり、変換（または合成）モノイドと呼ばれる。これは、置換群の半群版である。

集合の変換半群は、その集合に対して恒真式的な半群作用を持つ。このような作用は忠実であるという特徴を持ち、すなわち、半群の2つの要素が同じ作用を持つ場合、それらは等しい。

ケイリーの定理の類似例によれば、任意の半群は、ある集合の変換半群として実現できる。

オートマトン理論では、一部の著者は変換半群という用語を、半群の基本集合とは異なる「状態」の集合に忠実に作用する半群を指すために使用しています。 ^{[ 1 ]}この2つの概念の間には対応関係があります。

変換半群は、( X , S ) のペアであり、 Xは集合、SはXの変換の半群です。ここで、Xの変換は、 Xの部分集合からXへの関数であり、必ずしも可逆である必要はありません。したがって、Sは単に関数の合成に関して閉じているXの変換の集合です。与えられた基底集合X上のすべての部分関数の集合は、すべての部分変換の半群 (またはX上の部分変換半群) と呼ばれる正則半群を形成し、通常は次のように表されます。$\displaystyle {\mathcal {PT}}_{X}}$[ ^{2 ]​}

S がXの恒等変換を含む場合、S は変換モノイドと呼ばれます。任意の変換半群S は、 Sと恒等変換の和集合をとることによって変換モノイドMを決定します。要素が可逆である変換モノイドは置換群です。

Xのすべての変換の集合は変換モノイドであり、Xの完全変換モノイド（または半群）と呼ばれます。これはXの対称半群とも呼ばれ、 T _Xと表記されます。したがって、変換半群（またはモノイド）は、Xの完全変換モノイドの部分半群（または部分モノイド）に他なりません。

( X , S )が変換半群である場合、Xは評価によってSの半群作用に変換できる。

$\displaystyle s\cdot x=s(x){\text{ s\in S,x\in X の場合。}$

Sが変換モノイドである場合、これはモノイド作用である。

変換半群の作用としての特徴は、忠実である、つまり、

${\displaystyle s\cdot x=t\cdot x{\text{すべての}}x\in Xについて}$

するとs = tとなる。逆に、半群S が集合XにT ( s , x ) = s • xによって作用する場合、 s ∈ Sに対して、 Xの変換T _{s を}次のように定義できる。

${\displaystyle T_{s}(x)=T(s,x).\,}$

sをT _sに写像する写像は、( X , T ) が忠実である場合に限り単射であり、この場合、この写像の像はSと同型な変換半群である。 

群論において、ケイリーの定理は、任意の群G はGの対称群(集合とみなされる)の部分群と同型であり、したがってGは置換群であると主張している。この定理は、モノイドにそのまま一般化できる。任意のモノイドMは、左 (または右) 乗算によって与えられる作用を介して、その基礎となる集合の変換モノイドである。この作用は忠実である。なぜなら、 Mのすべてのxに対してax = bxであれば、x を単位元とすることでa = bとなるからである。

（左または右の）単位元を持たない半群Sに対して、 Sに対応するモノイドの基礎となる集合をXとすることで、 S をXの変換半群として実現します。特に、任意の有限半群は、| X | ≤ | S | + 1 を満たす集合Xの変換のサブ半群として表現でき、 Sがモノイドである場合は、有限群の場合と同様に、より厳密な境界 | X | ≤ | S | が成り立ちます。^{[ 3 ] : 21}

M を状態空間SとアルファベットAを持つ決定性オートマトンとする。自由モノイドA ^∗の単語はSの変換を誘導し、A ^∗から完全変換モノイドT _Sへのモノイド射を生み出す。この射の像はMの変換半群である。^{[ 3 ] : 78}

正規言語の場合、構文モノイドは、その言語の最小オートマトンにおける変換モノイドと同型である。^{[ 3 ]： 81}

• 内機能
• 半自動人形
• クローン＝ローズ理論
• 対称逆半群
• 二重枠セット
• 半群の特殊なクラス
• コンポジションリング

• クリフォード、AH; プレストン、GB (1961).半群の代数理論。第 I 巻。数学概論。第 7 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-0272-4. Zbl 0111.03403 . {{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
• ハウイー、ジョン・M. ( 1995).半群理論の基礎. ロンドン数学会モノグラフ。新シリーズ。第 12巻。オックスフォード：クラレンドン・プレス。ISBN 978-0-19-851194-6. Zbl 0835.20077 . 
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