通常のセミグループ

数学において、正則半群とは、半群 Sのすべての元が正則である、つまりSの各元aに対してSの元xが存在し、 axa = aとなるような半群のことである。^{[1]正則半群は半群の中で最も研究されているクラスの 1 つであり、その構造は}グリーン関係式^[2] を介して研究するのに特に適している。

正則半群は、1951年に発表された影響力のあった論文「半群の構造について」でJAグリーンによって導入された。この論文では、グリーンの関係式も導入された。半群における正則性の概念は、ジョン・フォン・ノイマンがすでに考えていた環の類似の条件から採用された。^{[3]グリーンは、正則半群の研究を通じて、有名な}関係式 を定義できた。グリーン1951の脚注によると、半群に正則性の概念を適用するという提案は、デビッド・リースが初めて行った。

反転半群（フランス語：demi-groupe inversif）という用語は、歴史的には1950年代にポール・デュブレイユの弟子であるガブリエル・ティエランの論文で同義語として使われており、 ^{[4] [5]}現在でも時々使われている。^[6]

正則半群S を定義するには、2つの同等な方法があります。

(1) S内の各aに対して、 S内に擬似逆行列と呼ばれるxが存在する。^[7]ここでaxa = aである。

（２）すべての元aには少なくとも１つの逆元 bが存在する。つまりaba = aかつbab = bである。

これらの定義の同値性を見るために、まずSが(2)で定義されていると仮定する。するとbは(1)で必要なxとして働く。逆にSが(1)で定義されている場合、xaxはaの逆関数である。なぜならa ( xax ) a = axa ( xa ) = axa = aかつ( xax ) a ( xax ) = x ( axa )( xax ) = xa ( xax ) = x ( axa ) x = xaxであるからである。^[8]

任意の半群Sの元aの（上記の意味での）逆集合はV ( a )と表記される。 ^{[9]したがって、上記の定義 (2) を別の方法で表現すると、正則半群では、} Sの任意のaに対してV ( a ) は空でない、 ということになる。 V ( a )の任意の元aと任意のbの積は常にべき等である。つまり、 aba = aであるため、abab = ab である。^[10]

• すべてのグループは正規の半グループです。
• すべてのバンド（冪等半群）はこの記事の意味で正則ですが、これは正則バンドが意味するものではありません。
• 二環式半群は正則である。
• 任意の完全変換半群は正則です。
• リース行列半群は正則です。
• 正則半群の準同型像は正則である。^[11]

冪等性が交換可能な正則半群は逆半群であり、つまりすべての元には一意の逆元がある。これを確かめるために、冪等性が交換可能な正則半群Sを考える。するとSのすべての元には少なくとも 1 つの逆元がある。Sのaには2 つの逆元bとc があるとする。つまり、

aba = a、bab = b、aca = a、cac = cです。また、ab、ba、ac、caは上記のようにべき等です。

それから

b = bab = b ( aca ) b = bac ( a ) b = bac ( aca ) b = bac ( ac )( ab ) = bac ( ab )( ac ) = ba ( ca ) bac = ca ( ba ) bac = c ( aba ) bac = cabac = cac = c。

したがって、冪等性ペアabとac、baとcaを交換すれば、 aの逆は一意であることが示される。逆に、任意の逆半群は冪等性が交換できる正則半群であることが示される。^[12]

一意の擬似逆が存在するということは、一意の逆が存在することを意味しますが、その逆は真ではありません。たとえば、対称逆半群では、空変換 Ø には一意の擬似逆がありません。これは、任意の変換fに対して Ø = Ø f Ø であるためです。ただし、 Ø の逆は一意です。これは、f = f Ø f、つまりf = Øという追加の制約を満たすf は1 つだけであるためです。この意見は、より一般的には、ゼロを含む任意の半群に当てはまります。さらに、すべての要素に一意の擬似逆がある場合、半群は群 であり、要素の一意の擬似逆は群の逆と一致する。

半群Sの主イデアルは、単位元が付加された半群S 1^によって定義されることを思い出してください。これは、元a が、それが生成する主右イデアル、主左イデアル、および主両側イデアルに属することを保証するためです。ただし、正則半群Sでは、元a = axa は、単位元を付加しなくても、自動的にこれらのイデアルに属します。 したがって、グリーンの関係は、正則半群に対して次のように再定義できます。

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b}$Sa = Sb の場合に限ります。

${\displaystyle a\,{\mathcal {R}}\,b}$aS = bSの場合に限ります。

${\displaystyle a\,{\mathcal {J}}\,b}$SaS = SbSのときのみ。^[13]

正則半群Sにおいて、すべての- クラスと- クラスには少なくとも 1 つの冪等性が含まれます。aがSの任意の元であり、a ′ がaの任意の逆元である場合、aはa ′ aと -関連し、aa ′と -関連します。^[14]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

定理。Sを正則半群とし、 aとb をSの元とし、V(x) をSにおけるxの逆集合とする。すると、

• ${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b}$V ( a )にa ′が存在し、 V ( b )にb ′が存在し、 a′a = b′bである場合に限ります。
• ${\displaystyle a\,{\mathcal {R}}\,b}$V ( a )にa ′ が存在し、 V ( b )にb ′ が存在し、 aa ′ = bb ′である場合に限り、
• ${\displaystyle a\,{\mathcal {H}}\,b}$V ( a )にa ′が存在し、 V ( b )にb ′が存在し、a′a = b′bかつaa ′ = bb ′が成立する場合に限ります。^[15]

Sが逆半群である場合、各- クラスと- クラスの冪等性は一意である。^[12]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

正則半群の特別なクラスとしては次のようなものがある: ^[16]

• 局所的に逆半群: 正則半群S は、各冪等なeに対してeSe が逆半群である場合に局所的に逆である。
• 正統半群: 正統半群S は、その冪等元の部分集合が部分半群を形成する場合、正統半群です。
• 一般化逆半群: 正則半群S は、その冪等性が正規バンドを形成する場合、つまりすべての冪等性x、y、zに対してxyzx = xzyx である場合に、一般化逆半群と呼ばれます。

一般化逆半群のクラスは、局所逆半群のクラスと正統半群のクラスの共通部分である。 ^[17]

すべての逆半群は正統かつ局所的に逆です。逆の命題は成り立ちません。

• 最終的には正規の半群
• E -dense (別名E -inversive) 半群

• 二重順序集合
• 半群の特別なクラス
• ナンブーリパッド注文
• 一般逆

• クリフォード、アルフレッド・ホブリツェル、プレストン、ゴードン・バンフォード(2010) [1967]。半群の代数理論。第2巻。アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-0272-4。
• ハウイー、ジョン・マッキントッシュ（1995年）。半群論の基礎（第1版）。クラレンドン・プレス。ISBN 978-0-19-851194-6。
• M. Kilp、U. Knauer、AV Mikhalev、モノイド、アクトとカテゴリー、リース積とグラフへの応用、De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29、Walter de Gruyter、2000、ISBN 3-11-015248-7。 
• JA Green (1951). 「半群の構造について」. Annals of Mathematics . 第2シリーズ. 54 (1): 163–172. doi :10.2307/1969317. hdl : 10338.dmlcz/100067 . JSTOR  1969317.
• JM Howie、「半群の過去、現在、未来」、国際代数とその応用会議の議事録、2002年、6-20ページ。
• J. フォン・ノイマン (1936). 「正則リングについて」.米国科学アカデミー紀要. 22 (12): 707–713. Bibcode :1936PNAS...22..707V. doi : 10.1073 /pnas.22.12.707 . PMC  1076849. PMID  16577757.