相殺的半群

数学において、相殺半群（そうさくじょうぐん、英: cancelative semigroup、またはcancellation semigroupとも呼ばれる）は、相殺特性を持つ半群である。^[1]直感的に言えば、相殺特性とは、形式a · b = a · cの等式（· は二項演算）から、要素a を相殺して等式b = cを導くことができるというものである。この場合、相殺される要素はa · bおよびa · cの左因数として現れるため、左相殺特性の場合である。右相殺特性も同様に定義できる。相殺半群の典型的な例は、加算または乗算における正の整数である。相殺半群は、半群が群に埋め込むことができるための必要条件の 1 つが相殺可能性であるため、群に非常に近いものと見なされる。さらに、有限の相殺半群はすべて群である。相殺半群の研究に関連する主な問題の 1 つは、相殺半群をグループに埋め込むための必要十分条件を決定することです。

相殺的半群の研究の起源は、半群に関する最初の実質的な論文（Suschkewitsch 1928）にまで遡ることができます。^[2]

S を半群とする。Sの元aが左相殺的である（または、左相殺可能である、または、左相殺特性を持つ）とは、S内のすべてのbとcに対してab = ac が成り立つことを意味する。S内のすべての元が左相殺的である場合、 Sは左相殺半群と呼ばれる。

S を半群とする。Sの元aが右相殺的である（または、右相殺可能である、または、右相殺特性を持つ）とは、S内のすべてのbとcに対してba = caがb = cを意味する場合である。S 内のすべての元が右相殺的である場合、S は右相殺半群と呼ばれる。

S を半群とします。Sのすべての要素が左相殺的かつ右相殺的である場合、S は相殺半群と呼ばれます。

相殺元の特徴的な性質は、対応する左乗算L _a  : S → Sおよび右乗算R _a  : S → Sマップが保持する性質の観点から言い換えることができます。これらのマップは、L _a ( b ) = abおよびR _a ( b ) = baによって定義されます。つまり、 Sの元aが左相殺元となるのは、L _aが単射である場合に限り、元aが右相殺元となるのは、R _aが単射である場合に限ります。

1. すべてのグループは相殺半群です。
2. 加法のもとでの正の整数の集合は相殺半群である。
3. 加法の下での非負整数の集合は相殺モノイドです。
4. 乗算のもとでの正の整数の集合は相殺モノイドです。
5. 左ゼロ半群は、自明でない限り、右相殺的ですが、左相殺的ではありません。
6. 右ゼロ半群は、自明でない限り、左相殺的ですが、右相殺的ではありません。
7. 複数の要素を持つヌル半群は、左相殺性も右相殺性もありません。このような半群には、左相殺性または右相殺性の要素は存在しません。
8. S を行列乗算によるn次実 正方 行列の半群とします。aをSの任意の要素とします。a が特異でない場合、aは左相殺と右相殺の両方です。aが特異の場合、aは左相殺も右相殺もしません。

有限相殺半群は群であるというのは群論における基本的な結果である。Sを有限相殺半群とする。

1. 相殺性と有限性を合わせると、Sのすべてのaに対してSa = aS = Sが成り立ちます。したがって、 Sの元aが与えられた場合、 aに依存するSの元e _{aが存在し、} ae _a = aとなります。相殺性はさらに、このe _{a が}aから独立しており、Sのすべてのxに対してxe _a = e _a x = x が成り立つことを意味します。したがって、e _{a は}Sの単位元であり、今後はeで表すことができます。
2. Sa = Sという性質を使うと、ba = eとなるようなbがSに 存在することがわかります。相殺性を利用してab = eであることも示せます。これにより、 Sのすべての要素aにはSの逆元が存在することが証明されます。したがって、S は必ず群でなければなりません。

さらに、すべての相殺的エピグループもグループである。^[3]

可換半群は、それが相殺的である場合に限り、群に埋め込むことができます (つまり、群の部分半群と同型です)。これを行う手順は、整数領域を体に埋め込む手順に似ています (Clifford & Preston 1961、p. 34)。これはGrothendieck 群の構成と呼ばれ、可換半群からアーベル群への普遍的な写像であり、半群が相殺的である場合に埋め込みとなります。

非可換半群を群に埋め込むためには、相殺性が明らかに必要条件である。しかし、十分条件ではない。群に埋め込むことのできない（非可換かつ無限の）相殺半群が存在するからである。^{[4]十分条件（必要条件ではない）を得るために、有限相殺半群}Sが群である という結果の証明は、S内のすべてのaに対してSa = S であるという事実に決定的に依存していたことに注意されたい。論文（Dubreil 1941）はこの考えを一般化し、右可逆半群の概念を導入した。半群Sは、 Sの任意の 2 つの主イデアルが交差する場合、つまり、S内のすべてのaとbに対してSa ∩ Sb ≠ Øである場合に右可逆であるという。半群を群に埋め込むための十分条件は、次のように述べることができる: (オーレの定理) 任意の右可逆相殺半群は群に埋め込むことができる (Clifford & Preston 1961、p. 35)。

半群を群に埋め込むための必要十分条件の最初のセットは、(Malcev 1939) で与えられました。^[5]理論的には重要ですが、条件の数は可算無限であり、(Malcev 1940) に示されているように、有限の部分集合では十分ではありません。^[6]異なる (ただし、これも可算無限である) 必要十分条件のセットは、(Lambek 1951) で与えられ、半群が群に埋め込むことができるのは、それが相殺可能であり、いわゆる「多面体条件」を満たす場合のみであることが示されました。Malcev と Lambek による 2 つの埋め込み定理は、(Bush 1963) で比較され、後に (Johnstone 2008) によって再検討および一般化されました。Johnstone は、半群の埋め込み可能性問題と、より一般的なカテゴリを群に埋め込む問題との密接な関係も説明しました。

• キャンセルプロパティ
• 半群の特別なクラス

• ブッシュ、ジョージ C. (1963)、「マルセフとランベックの埋め込み定理」、カナダ数学ジャーナル、15 :49–58、doi : 10.4153/CJM-1963-006-x
• クリフォード、アルフレッド・ホブリツェル、プレストン、ゴードン・バンフォード（1961）、半群の代数理論。第1巻、数学概論、第7号、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-0272-4、MR  0132791
• クリフォード、アルフレッド・ホブリツェル、プレストン、ゴードン・バンフォード（1967）、半群の代数理論。第2巻、数学調査、第7号、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、MR  0218472
• ポール・デュブレイユ（1941年）、「亜人集団の理論への貢献」、Mém。アカド。科学。研究所フランス (2)、63 (3): 52、MR  0016424
• ジョンストン、ピーター(2008)、「群へのカテゴリの埋め込みについて」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、145 (2): 273–294、doi :10.1017/S0305004108001345
• ランベック、J. (1951)、「半群の群への浸漬可能性」、カナダ数学ジャーナル、3 : 34–43、doi : 10.4153/CJM-1951-005-8
• Malcev、AI (1939)、「Uber die Einbettung von assoziativen Systemen in Gruppen」、Rec.数学。 （マット・スボルニク）、ヌーベルシリーズ、6 : 331–336、MR  0002152
• Malcev、AI (1940)、「Uber die Einbettung von assoziativen Systemen in Gruppen. II」、Rec.数学。 （マット・スボルニク）、ヌーベルシリーズ、8 : 251–264、MR  0002895
• プレストン、ゴードン・バンフォード(1991)、「半群の初期の歴史に関する個人的な回想」、モナッシュ半群理論会議 (メルボルン、1990)、World Sci. Publ.、リバーエッジ、ニュージャージー、pp. 16–30、MR  1232669、2009-01-09 にオリジナルからアーカイブ、2009-05-12に取得
• Suschkewitsch、Anton (1928)、「Uber die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit」、Mathematische Annalen、99 (1): 30–50、doi :10.1007/BF01459084、hdl : 10338.dmlcz/100078、ISSN  0025-5831、MR  1512437