半群の特別なクラス

数学において、半群は結合二項演算を伴う空でない集合である。半群の特別なクラスは、追加の特性または条件を満たす半群のクラスで ある。したがって、可換半群のクラスは、半群内のすべての要素aおよびbに対して二項演算がab = baという交換特性を満たすすべての半群から構成される。有限半群のクラスは、基礎となる集合が有限の濃度を持つ半群から構成される。ブラント半群のクラスのメンバーは、1 つの条件だけでなく、一連の追加の特性も満たす必要がある。半群の特別なクラスの大規模なコレクションが定義されているが、それらすべてが同じように集中的に研究されているわけではない。

半群の代数 理論では、特殊クラスを構築する際、半群の二項演算で表現できる特性、制約、条件、および場合によっては基になる集合の部分集合の濃度や類似の特性にのみ注目します。基になる集合は、順序や位相などの他の数学的構造を持つことは想定されていません。

あらゆる代数理論と同様に、半群の理論の主な問題の 1 つは、すべての半群の分類とその構造の完全な記述です。半群の場合、二項演算は結合性のみを満たす必要があるため、分類の問題は極めて困難であると考えられます。構造の記述は、特定の特殊なクラスの半群に対して得られています。たとえば、正則半群のべき等集合の構造は完全にわかっています。構造の記述は、よりよく知られているタイプの半群の観点から表されます。最もよく知られているタイプの半群は、グループです。

以下に、半群のさまざまな特殊クラスの (必然的に不完全な) リストを示します。定義プロパティは、可能な限り、半群の二項演算の観点から定式化されています。参照は、定義プロパティの出典元を示しています。

半群のさまざまな特殊クラスの定義特性を記述する際には、次の表記規則が採用されます。

たとえば、定義xab = xba は次のように読み取られます。

• 半群の元x が存在し、半群のそれぞれのaとbに対して、 xabとxbaが等しい。

3 番目の列は、この半群の集合が多様体を形成するかどうかを示します。また、この特別なクラスの有限半群の集合が有限半群の多様体を形成するかどうかを示します。この集合が多様体である場合、その有限元の集合は自動的に有限半群の多様体になることに注意してください。