3つの要素を持つ半群

抽象代数では、3 つの要素を持つ半群は、3 つの要素とそれらに定義された結合演算で構成されるオブジェクトです。基本的な例としては、0、1、-1 の 3 つの整数と乗算演算が挙げられます。整数の乗算は結合的であり、これら 3 つの整数の任意の 2 つの積は、再びこれら 3 つの整数のいずれかになります。

3つの要素に対する結合演算を定義する方法は18通りあります。定義できる2項演算は全部で39 ^{= 19683通りありますが、そのうち結合演算は113通りだけで、その多くは}同型か反同型なので、基本的に可能性は18通りしかありません。^[1]^[2]

これらのうちの 1 つは C ₃で、 3 つの要素を持つ巡回群です。他のすべては、2 つの要素を部分半群として持つ半群を持ちます。上記の例では、乗算による集合 {−1,0,1} には、部分半群として {0,1} と {−1,1} の両方が含まれます (後者は部分群C 2_です)。

これらのうち 6 つはバンドであり、3 つの要素すべてがべき等であり、任意の要素とそれ自身の積は、その要素自体になります。これらのバンドのうち 2 つは可換であり、したがって半格子です(1 つは 3 要素の全順序集合であり、もう 1 つは格子ではない 3 要素の半格子です)。他の 4 つは、反同型のペアになっています。

これらの非可換バンドの 1 つは、単位元を 2 つの元を持つ左零半群 LO 2 （または、双対的に、右零半群 RO 2 ）に接続すること_によって生じます_。これは、電子機器で使用されるフリップフロップ回路を指して、フリップフロップモノイドと呼ばれることもあります。3 つの要素は、「セット」、「リセット」、「何もしない」と説明できます。この半群は、有限半群のクローン-ローズ分解で発生します。^[3]この分解の既約元は、有限単純群とこの 3 元半群、およびその部分半群です。

巡回半群は2 つあり、 1 つは方程式x ⁴ = x ³で記述され、 2 つの要素を持つヌル半群 O 2 を部分半群として持ちます。もう₁つはx ⁴ = x ²で記述され、 2 つの要素を持つ群 C 2 を部分群として持ちます_。 (方程式x ⁴ = x は、すでに述べた 3 つの要素を持つ群 C _{3を記述します。)}

他にも、最初の例である {−1, 0, 1} や 3 つの要素を持つヌル半群 O ₃など、非巡回非バンド可換半群が 7 つあります。また、非可換非バンド半群の反同型のペアが他に 2 つあります。

参照

参考文献

^ Andreas Distler、有限半群の分類と列挙、Wayback Machineに 2015-04-02 にアーカイブ、博士論文、セントアンドリュース大学
^ フリズリク・ディエゴ;クリスティン・ハラ・ヨンスドッティル（2008年7月）。「3 要素セットの結合演算」(PDF)。モンタナ州の数学愛好家。5 (2 & 3): 257–268。土井：10.54870/1551-3440.1106。S2CID 118704099 。2014 年2 月 6 日に取得。
^ 「この無害な 3 要素半群は、次に述べる内容で重要な役割を果たします...」 – John L. Rhodes著『オートマトン理論と代数の応用』。

[distler-1] Andreas Distler、有限半群の分類と列挙、Wayback Machineに 2015-04-02 にアーカイブ、博士論文、セントアンドリュース大学

[2] フリズリク・ディエゴ;クリスティン・ハラ・ヨンスドッティル（2008年7月）。「3 要素セットの結合演算」(PDF)。モンタナ州の数学愛好家。5 (2 & 3): 257–268。土井：10.54870/1551-3440.1106。S2CID 118704099 。2014 年2 月 6 日に取得。

[3] 「この無害な 3 要素半群は、次に述べる内容で重要な役割を果たします...」 – John L. Rhodes著『オートマトン理論と代数の応用』。