二環式半群

数学において、双環式半群は半群の構造理論にとって重要な代数的対象である。これは実際にはモノイドであるが、通常は単に半群と呼ばれる。これはおそらく、括弧の均衡の取れたペアのDyck 言語を記述する構文モノイドとして最も簡単に理解される。したがって、これは二分木や結合代数の記述など、組合せ論でよく使われる。

この物体に関する最初の公表された記述は、1953年にエフゲニー・リャピンによってなされた。アルフレッド・H・クリフォードとゴードン・プレストンは、彼らのうちの1人がデイビッド・リースと協力して、1943年より前のどこかの時点でこの物体を独立して（公表せずに）発見したと主張している。

双環式半群を構築する標準的な方法は少なくとも 3 つあり、それを参照するための表記法もさまざまです。Lyapin はそれをP と呼び、Clifford と Preston は を使用し、最近の論文のほとんどはB を使用する傾向があります。この記事では、全体的に現代的なスタイルを使用します。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

双環式半群は、2 つの生成元pおよびq上の自由モノイドを、関係p q = 1によって生成される合同で割った商です。したがって、各半群の要素は、部分列 " p q " が現れないという条件付きで、これら 2 つの文字の文字列です。半群の演算は文字列の連結であり、明らかに結合的です。すると、 Bのすべての要素は、いくつかの自然数aおよびbに対して、実際にはq ^a p ^bという形式であることが示されます。合成演算は次のように簡略化されます。

( q ^a p ^b ) ( q ^c p ^d ) = q ^{a + c −min{ b、c }} p ^{d + b −min{ b、c }}。

これらの指数が制約されている方法は、「pとqの構造」を捨てて、「 aとb 」の部分の演算のみを残すことができることを示唆している。したがって、Bは自然数のペア（ゼロを含む）の半群であり、演算は^{[1]である。}

( a , b )( c , d )=( a + c −min{ b , c }, d + b −min{ b , c })です。

これは、 B を元の構築と同じオブジェクトとして定義するのに十分です。 pとq が元々 B を生成し、空の文字列をモノイド単位元としたのと同じように、 Bのこの新しい構築には、単位元が(0, 0) である生成元 (1 , 0 )と(0, 1 ) があります。

要素e、a、およびbによって生成され、以下のステートメントを満たす任意の半群S は、双環半群と 同型であることが示されます。

• a e = e a = a
• b e = e b = b
• a b = e
• b a ≠ e

これが事実であるかどうかは、必ずしも明らかではありません。おそらく最も難しいのは、S が無限大でなければならないということを理解することです。これを理解するには、たとえばa が無限大の順序を持​​たないと仮定し、あるhとkに対してa ^{k + h} = a ^{h で}あるとします。すると、a ^k = eとなり、

b = e b = a ^k b = a ^{k −1} e = a ^{k −1}、

それで

b a = a ^k = e、

これは許されないので、 の異なるべき乗は無限に存在します。完全な証明は、クリフォードとプレストンの本に記載されています。

上で示した2つの定義はどちらもこれらの性質を満たしていることに注意する。Bを導く3つ目の方法は、2つの適切に選択された関数を使用して、自然数の変換のモノイドとして双環式半群を生成する。α 、β、ιを自然数上の変換半群の要素とし、

• ι ( n ) = n
• α ( n ) = n + 1
• n = 0の場合はβ ( n )=0 、それ以外の場合はn −1。

これら3つの関数は必要な特性を持っているので、それらが生成する半群はBである。^[2]

双巡回半群は、Bから別の半群Sへの任意の準同型 φの像が巡回であるか、 Bの同型コピーであるかのいずれかであるという特性を持つ。 Sの元φ ( a )、 φ ( b )、φ ( e ) は常に上記の条件を満たします ( φは準同型であるため)。ただし、 φ ( b ) φ ( a ) がφ( e )になるという例外があります。これが当てはまらない場合、φ ( B ) はBと同型です。そうでない場合は、 φ ( a )によって生成される巡回半群です。実際には、これは双巡回半群がさまざまなコンテキストで見つかる可能性があることを意味します。

Bのべき等元はすべて( x , x )のペアです。ここで、 xは任意の自然数です ( Bの順序付きペアの特性を使用)。これらは可換であり、B は正則(すべてのxに対して、 x y x = xとなるyが存在する)であるため、双巡回半群は逆半群です。 (これは、 Bの各要素xには、 x y x = xかつy x y = yとなる「弱い」半群の意味で、一意の逆yがあることを意味します。)

Bのすべてのイデアルは主イデアルである。すなわち、 ( m , n )の左主イデアルと右主イデアルは

• ( m , n ) B = {( s , t ) : s ≥ m } かつ
• B ( m , n )={( s , t ): t≥n }です。

これらのそれぞれには無限の数の他のイデアルが含まれるため、B には最小の左イデアルまたは右イデアルはありません。

グリーンの関係式によれば、B はDクラスを1 つだけ持ち（双単純）、したがってJクラスも 1 つだけ持ち（単純）である。LとR の関係は次のように表される。

• ( a , b ) R ( c , d )はa = cのときのみ成り立ち 、
• ( a , b ) L ( c , d ) が成り立つのは、 b = dの場合のみである。^[3]

これは、2 つの要素がHに関連しているのは、それらが同一である場合のみであることを意味します。したがって、 Bの唯一の部分群は、自明な群の無限個のコピーであり、それぞれが冪等群の 1 つに対応します。

Bの卵箱図は無限に大きく、左上隅は次のように始まります。

各エントリは単一のHクラスを表します。行はRクラス、列はLクラスです。B のべき等性は対角線上に現れます。これは、可換べき等性を持つ正規半群では、各Lクラスと各Rクラスに 1 つのべき等性が必ず含まれている という事実に従っています。

双環式半群は、単位元を持つ双単純逆半群の「最も単純な」例です。他にも多くの例があります。順序付きペアからのBの定義で自然数のクラス (加法半群であるだけでなく、最小および最大演算の下で可換格子でもある) が使用されている場合、適切なプロパティを持つ別のセットが代わりに出現し、「+」、「-」、および「最大」演算がそれに応じて変更される可能性があります。

• 4 螺旋半群
• 半群の特別なクラス

• 半群の代数理論、AHクリフォードとGBプレストン。アメリカ数学会、1961年（第1巻）、1967年（第2巻）。
• 半群: 構造理論入門、ピエール・アントワーヌ・グリエ。Marcel Dekker, Inc.、1995 年。
• 定義関係によって与えられる連想システムの要素の標準形、Evgenii Sergeevich Lyapin、Leningrad Gos. Ped. Inst. Uch. Zap. 89 (1953)、45～54ページ [ロシア語]。
• Hollings, CD (2007). 「半群論への最初の魅力的なステップ」.数学雑誌. 80.アメリカ数学協会: 331–344. JSTOR  27643058.