空の半群

数学において、要素を持たない半群（空半群）は、基礎集合が空集合である半群である。多くの著者は、そのような半群の存在を認めていない。彼らにとって、半群とは、定義により、結合二項演算を伴う空でない集合である。 ^[1]^[2]しかし、すべての著者が半群の基礎集合が空でないことを主張しているわけではない。^[3] 基礎集合Sが空である半群を論理的に定義することはできる。半群における二項演算は、S × SからSへの空関数である。この演算は、半群の閉包公理と結合性公理を空に満たす。空半群を除外しないと、半群に関する特定の結果が単純化される。たとえば、半群Tの 2 つの部分半群の共通部分はTの部分半群であるという結果は、共通部分が空であっても有効になる。

半群が追加の構造を持つように定義されている場合、問題は発生しない可能性があります。たとえば、モノイドの定義には単位元が必要であり、これにより空の半群はモノイドとして除外されます。