半群

数学において、半群体（半圏、裸圏、前圏とも呼ばれる）は、各対象に恒等項が存在するという要件を除いて、小さな^{[1] [2] [3]}圏の公理を満たす部分代数である。半群体は、小さな圏がモノイドを一般化し、群体が群を一般化するのと同じ方法で半群を一般化する。半群体は、半群の構造理論に応用されている。

正式には、半群は次の要素から構成されます。

• オブジェクトと呼ばれるものの集合。
• すべての 2 つのオブジェクトAとBに対して、 A から B への射と呼ばれるものの集合 Mor( A , B ) が存在します。f がMor( A , B )に含まれる場合、 f  : A → Bと書きます。
• 3つのオブジェクトA、B、Cごとに、二項演算Mor( A、B )×Mor( B、C )→Mor( A、C )を射の合成と呼びます。f  : A → Bとg  : B → Cの合成は、g∘fまたはgfと表記されます。(著者によってはfgと表記する人もいます。)

次の公理が成り立つ。

• (結合性) f  : A → B、g  : B → C、h  : C → Dならばh ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ fです。