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数学では、自然な方法で群の部分集合の積を定義することができます。SとTが群Gの部分集合である場合、それらの積は次のように定義される Gの部分集合です。
この積が適切に定義されるためには、部分集合SとT が部分群である必要はありません。この積の結合性は、群積の結合性から得られます。したがって、群の部分集合の積は、Gの冪集合上の自然なモノイド構造を定義します。
SとT が部分群である場合、さらに多くのことが言えます。群Gの 2 つの部分群SとTの積は、 ST = TS の場合にのみ、それ自体がGの部分群になります。
部分群の積
SとT がGのサブグループである場合、それらの積はサブグループである必要はありません (たとえば、3 つの記号上の対称群における 2 つの異なるサブグループ (位数 2))。この積はフロベニウス積と呼ばれることもあります。[1]一般に、2 つのサブグループSとTの積がサブグループとなるのは、 ST = TSの場合のみであり、[2] 2 つのサブグループはを置換するといわれます。( Walter Ledermann はこの事実を積定理と呼んでいますが、[3]この名前は「フロベニウス積」と同様、決して標準的ではありません。) この場合、ST はSとTによって生成されるグループです。つまり、ST = TS = ⟨ S ∪ T ⟩ です。
SまたはTのいずれかが正規分布であれば、条件ST = TSが満たされ、積は部分群となる。[4] [5] SとTの両方が正規分布であれば、積も正規分布となる。[4]
SとT が群Gの有限部分群である場合、ST は積の式で与えられるサイズ|ST|のGの部分集合です。
SもTも正規でない場合でもこれが適用されることに注意してください。
モジュラー法
次のモジュラー法則（群について）は、Sの任意の部分群Qに対して成り立ちます。ここで、Tは任意の他の部分群です（そして、SとT は両方とも何らかの群Gの部分群です）。
- Q ( S ∩ T ) = S ∩ ( QT ) です。
この等式に現れる 2 つの積は、必ずしも部分群ではありません。
QT が部分群である場合（同様に、上で述べたように、 QとT が入れ替わる場合）、QT = ⟨ Q ∪ T ⟩ = Q ∨ Tです。つまり、QT はGの部分群の格子におけるQとTの結合であり、そのようなペアのモジュラー法則はQ ∨ ( S ∩ T ) = S ∩ ( Q ∨ T ) と書くこともできます。これは、 Q ≤ Sの格子の任意の 3 つの要素に対して成り立つ場合、モジュラー格子を定義する方程式です。特に、通常の部分群は互いに入れ替わるため、モジュラー部分格子を形成します。
すべての部分群が入れ替わる群は岩沢群と呼ばれる。岩沢群の部分群格子はモジュラー格子なので、これらの群はモジュラー群と呼ばれることもある[6]（ただし、後者の用語は他の意味を持つこともある）。
群のモジュラー法則（上で定式化）におけるQはSの部分群であるという仮定は重要である。Q がSの部分群でない場合、 S ∩ ( QT ) = ( S ∩ Q )( S ∩ T )と考えられる暫定的でより一般的な分配法則は誤りである。[7] [8]
共通部分が自明な部分群の積
特に、SとT が恒等交点でのみ交差する場合、STのあらゆる元は、 SのsとTのtとの積 stとして一意に表現されます。SとTも可換である場合、ST は群であり、ザッパ–シェップ積と呼ばれます。 さらに、SまたはT がSTで正規である場合、ST はSとTの半直積と一致します。 最後に、 SとT の両方がSTで正規である場合、ST はSとTの直積と一致します。
SとTの共通部分が自明な部分群（単位元）であり、さらにST = Gであるとき、S はTの補集合と呼ばれ、その逆も同様です。
（局所的に明確な）用語の乱用により、（そうでなければ必須の）恒等式のみで交差する2つの部分群は、互いに素であると呼ばれることがある。[9]
非自明な交差を持つ部分群の積
正規部分群Nと部分群Kの間の非自明な交差の場合に生じる疑問は、商NK / Nの構造がどのようなものかということです。単にN を「キャンセル」して答えはKであると言いたくなるかもしれませんが、それは正しくありません。なぜなら、核Nとの準同型写像は、Nにたまたま含まれるKのすべての要素も「縮小」 (1 に写像) するからです。したがって、正しい答えは、NK / NがK /( N ∩ K )と同型であるということです。この事実は、第 2 同型定理と呼ばれることもあります[10] (ただし、これらの定理の番号付けは著者によって多少異なります)。これは、関係する部分群格子の形状から、I.マーティン・アイザックスによってダイヤモンド定理とも呼ばれている。 [11]また、ポール・モーリッツ・コーンによって平行四辺形定理とも呼ばれている。コーンは、結果として得られる部分群格子において、商群 ( SN )/ NとS /( S∩N ) を表すと想定される2辺が同型の意味で「等しい」ため、ベクトルの平行四辺形定理 と の類似性を強調した。[12]
フラッティーニの議論は、交差が必ずしも自明ではない場合（そしてこの後者の理由により、2 つの部分群は補群ではない場合）に、部分群の積（全体群を生じる）の存在を保証します。より具体的には、G が正規部分群Nを持つ有限群であり、P がNのシローp部分群である場合、G = N G ( P ) Nであり、ここでN G ( P )はGにおけるPの正規化子を表します。（ Pの正規化子にはP が含まれるため、 NとN G ( P )の交差は少なくともP であることに注意してください。）
半群への一般化
半群Sにおいて、2つの部分集合の積は、半群Sの冪集合であるP(S)上の半群の構造を定義する。さらに、P(S)は、加算が部分集合の和、乗算が部分集合の積である半環である。 [13]
参照
参考文献
- ^ アドルフォ・バレスター＝ボリンチス;ラモン・エステバン＝ロメロ。モハメド・アサド (2010)。有限群の積。ウォルター・デ・グルイテル。 p. 1.ISBN 978-3-11-022061-2。
- ^ W. Keith Nicholson (2012).抽象代数入門（第4版）. John Wiley & Sons. Lemma 2、p. 125. ISBN 978-1-118-13535-8。
- ^ ウォルター・レーダーマン『群論入門』1976年、ロングマン、ISBN 0-582-44180-3、52ページ
- ^ ab ニコルソン、2012、定理5、p. 125
- ^ David AR Wallace (1998).群、環、体. Springer Science & Business Media. 定理 14、p. 123. ISBN 978-3-540-76177-8。
- ^ Ballester-Bolinches、エステバン-ロメロ、アサド、p. 24
- ^ デレク・ロビンソン (1996).群論講座. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 15. ISBN 978-0-387-94461-6。
- ^ ポール・モーリッツ・コーン (2000).古典代数. ワイリー. pp. 248. ISBN 978-0-471-87731-8。
- ^ L. フックス (1970).無限アーベル群. 第 1 巻. アカデミック プレス. p. 37. ISBN 978-0-08-087348-0。
- ^ ダン・サラチーノ (1980)。抽象代数: 初級コース。アディソン・ウェズリー。p. 123。ISBN 0-201-07391-9。
- ^ I. Martin Isaacs (1994).代数学: 大学院課程. アメリカ数学会. p. 33. ISBN 978-0-8218-4799-2。
- ^ ポール・モーリッツ・コーン(2000)。古典代数。ワイリー。p. 245。ISBN 978-0-471-87731-8。
- ^ Jean E. Pin (1989).有限オートマトンとその応用の形式的性質: LITP 理論計算機科学春期講習会、ラマチュエル、フランス、1988 年 5 月 23 ～ 27 日。議事録。Springer Science & Business Media。p. 35。ISBN 978-3-540-51631-6。
- ロトマン、ジョセフ (1995)。群論入門(第 4 版)。Springer- Verlag。ISBN 0-387-94285-8。