超平面の配置

幾何学と組み合わせ論において、超平面の配置とは、線形空間、アフィン空間、または射影空間Sにおける有限個の超平面の集合Aの配置のことである。超平面の配置Aに関する質問は、一般的に、空間全体から超平面を取り除いたときに残る集合である補集合M ( A )の幾何学的、位相的、またはその他の性質に関するものである。これらの性質が配置とその交差半束とどのように関連しているかを問うことができる。Aの交差半束L ( A )は、いくつかの超平面を交差させることによって得られるすべての部分空間の集合である。これらの部分空間には、 S自体、すべての個々の超平面、超平面のペアのすべての交差などが含まれる (アフィン空間の場合は空集合を除く)。Aのこれらの交差部分空間は、 Aのフラットとも呼ばれる。交差半束L ( A ) は、逆包含によって部分的に順序付けられている。

空間S全体が 2 次元の場合、超平面は直線になります。このような配置はしばしば直線の配置と呼ばれます。歴史的には、実際の直線の配置が最初に研究された配置でした。S が 3 次元の場合、平面の配置になります。

実アフィン空間では、補空間は不連続です。補空間は、セル、領域、またはチャンバーと呼ばれる別々の部分で構成され、それぞれの部分は凸多面体の内部である境界付き領域か、境界なし凸多面体領域のいずれかです。Aの各平面も、平面を含まない超平面によって分割されます。これらの部分はAの面と呼ばれます。空間全体が平面であるため、領域は面です。余次元 1 の面は、Aのファセットと呼ばれることがあります。配置の面半束は、包含関係によって順序付けられたすべての面の集合です。面半束に余分な上部要素を追加すると、面束が得られます。

2次元（すなわち、実アフィン平面）では、各領域は凸多角形（境界がある場合）または無限遠に伸びる凸多角形領域である。

• 例えば、配置が3本の平行線で構成されている場合、交差半格子は平面と3本の線で構成されますが、空集合は含まれません。領域は4つありますが、いずれも境界がありません。
• 3本の平行線を横切る直線を加えると、交差半格子は平面、4本の直線、および3つの交点から構成される。領域は8つ存在するが、いずれも境界を持たない。
• 最後の線に平行な線をもう1本追加すると、12個の領域ができ、そのうち2つは境界のある平行四辺形になります。

n次元実空間における配置に関する典型的な問題は、領域がいくつあるか、次元 4 の面がいくつあるか、境界領域がいくつあるか、といったことです。これらの質問は、交差半束からのみ答えることができます。例えば、Zaslavsky (1975) による 2 つの基本定理は、アフィン配置の領域の数は ( − 1) ⁿ p _A ( − 1) に等しく、境界領域の数は ( − 1) ⁿ p _A (1) に等しいということです。同様に、 k次元の面または境界面の数は、( − 1) ⁿ w _A ( − x , − 1) または ( − 1) ⁿ w _A ( − x , 1)におけるx ^{n − k}の係数として読み取ることができます。

Meiser（1993）は、入力点を含む超平面の配置の面を決定するための高速アルゴリズムを設計した。

実空間における配置に関するもう一つの問題は、いくつの領域が単体（三角形と四面体のn次元一般化）であるかを決定することです。これは、交差半格子のみに基づいて答えることはできません。マクマレン問題は、実射影空間の一般位置における、与えられた次元の最小の配置で、すべての超平面に接するセルが存在しないような配置を求めるものです。

実際の線形配置は、面半格子に加えて、領域ごとに異なる半順序集合を持ちます。この半順序集合は、任意の基底領域B ₀を選択し、各領域Rに、 R をBから分離する超平面からなる集合S ( R ) を関連付けることによって形成されます。領域は部分的に順序付けられており、S ( R ₁ , R ) がS ( R ₂ , R ) を含む場合、 R ₁ ≥ R _{2となります。超平面が}ルート系から生じる特殊なケースでは、結果として得られる半順序集合は、弱い順序を持つ対応するワイル群になります。一般に、領域の半順序集合は分離する超平面の数によってランク付けされ、そのメビウス関数が計算されています( Edelman 1984 )。

ヴァディム・シェヒトマンとアレクサンダー・ヴァルチェンコは、領域によってインデックス付けされた行列を導入した。領域に対応する行列要素は${\displaystyle R_{i}}$そして${\displaystyle R_{j}}$不定変数の積で与えられる${\displaystyle a_{H}}$これらの2つの領域を分離するすべての超平面Hについて。これらの変数がすべてqの値をとるように特殊化されている場合、これはq行列と呼ばれます（ユークリッド領域上）。${\displaystyle \mathbb {Q} [q]}$) 配置については、多くの情報がそのスミス標準形に含まれています。

複素アフィン空間では、補空間は（全体として）連結しており、超平面が除去された部分には穴が開いている。複素空間における配置に関する典型的な問題は、これらの穴を記述することである。

複雑な配置に関する基本的な定理は、補集合M ( A ) のコホモロジーが交差半束によって完全に決定されるというものである。正確には、M ( A )のコホモロジー環(整数係数を持つ) は、Z上の Orlik–Solomon 代数と同型である。

同型性は明示的に記述でき、生成元と関係式を用いてコホモロジーを表現する。ここで、生成元は（ド・ラームコホモロジーでは）対数微分形式として表される。

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d\alpha }{\alpha }}.}$

と${\displaystyle \alpha }$配置の一般的な超平面を定義する任意の線形形式。

空間S全体である退化超平面を、配置に含めることが便利な場合がある。Aが退化超平面を含む場合、補集合が空であるため、Aには領域が存在しない。しかし、平面、交差半格子、および面は依然として存在する。上記の議論は、退化超平面が配置に含まれていないことを前提としている。

場合によっては、配置の中に複数の超平面を許容したい場合もある。前述の議論ではこの可能性については考慮しなかったが、実質的な違いはない。

• 超可解配置
• 方向付きマトロイド

• 「超平面の配置」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• エデルマン、ポール H. (1984)、「領域上の部分順序${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$「超平面によって分割される」、アメリカ数学会紀要、283 (2): 617–631、CiteSeerX 10.1.1.308.820、doi : 10.2307/1999150、JSTOR 1999150、MR 0737888   。
• Meiser, Stefan (1993)、「超平面配置における点位置特定」、Information and Computation、106 (2): 286–303、doi : 10.1006/inco.1993.1057、MR 1241314 。
• ピーター・オルリック;寺尾宏明(1992)、超平面の配置、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学の基礎]、vol.  300、ベルリン: Springer-Verlag、土井: 10.1007/978-3-662-02772-1、ISBN 978-3-642-08137-8MR 1217488​ 。
• スタンレー、リチャード（2011）。「3.11 超平面配置」。列挙的組み合わせ論。第 1巻（第2 版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1107602625。
• ザスラフスキー、トーマス（1975）「配置に立ち向かう：超平面による空間分割の面数公式」、アメリカ数学会紀要、1（154）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、doi：10.1090/memo/0154、MR 0357135 。