単一遺伝子半群

数学において、単一生成半群は単一の要素によって生成される半群である。 ^{[1]単一生成半群は}巡回半群とも呼ばれる。^[2]

単集合{ a }によって生成される単一生成半群は で表されます。 の要素の集合は{ a , a ² , a ³ , ...} です。単一生成半群には 2 つの可能性があります。${\displaystyle \langle a\rangle }$${\displaystyle \langle a\rangle }$${\displaystyle \langle a\rangle }$

• a ^m = a ⁿ ⇒ m = n。
• a ^m = a ⁿとなるm ≠ n が存在する。

前者の場合、は加法の下で自然数の半群 ({1, 2, ...}, +) と同型です。このような場合、は無限一元半群であり、元a は無限位数を持つと言われます。これは、1 つの生成元を持つ自由半群でもあるため、自由一元半群と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \langle a\rangle }$${\displaystyle \langle a\rangle }$

後者の場合、ある正の整数x ≠ mに対してa ^m = a ^xとなる最小の正の整数をmとし、a ^m = a ^{m + r}となる最小の正の整数をrとします。正の整数mは指数と呼ばれ、正の整数r は単一半群の周期と呼ばれます。aの位数はm + r −1と定義されます。周期と指数は次の特性を満たします。 ${\displaystyle \langle a\rangle }$

• ａ^ｍ＝ ａ^ｍ＋ｒ
• a ^{m + x} = a ^{m + y} であるのは、 m + x ≡ m + y (mod r )の場合のみである。
• ${\displaystyle \langle a\rangle }$= { a , a ² , ... , a ^{m + r −1} }
• K _a = { a ^m , a ^{m +1} , ... , a ^{m + r −1} }は巡回 部分群であり、のイデアルでもある。これはaの核と呼ばれ、単元半群の極小イデアルである。^{[3] [4]}${\displaystyle \langle a\rangle }$${\displaystyle \langle a\rangle }$

正の整数のペア ( m , r ) は、単一生成半群の構造を決定します。すべての正の整数のペア ( m , r ) に対して、指数mと周期rを持つ単一生成半群が存在します。指数mと周期r を持つ単一生成半群は、 M ( m , r )と表されます。単一生成半群M (1, r ) は、位数rの巡回群です。

このセクションの結果は、任意の半群の任意の元aとそれが生成する単一部分半群に対して実際に当てはまります。 ${\displaystyle \langle a\rangle }$

関連する概念として周期半群（捩れ半群とも呼ばれる）があり、この半群ではすべての要素が有限の順序を持​​ちます（または、同等に、すべての単一部分半群が有限です）。より一般的なクラスは準周期半群（別名、群束縛半群またはエピグループ）であり、この半群のすべての要素は部分群に属するべき乗を持ちます。^{[5] [6]}

非周期半群とは、すべての単一部分半群の周期が 1 である半群です。

• サイクル検出、限られた量の記憶空間を使用して有限の単一半群のパラメータを見つける問題
• 半群の特別なクラス