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数学において、自明な半群（ 1つの元を持つ半群）は、基礎となる集合の濃度が1である半群である。1つの元を持つ異なる非同型半群の数は1である。S = { a }が1つの元を持つ半群である場合、Sのケーリー表は
Sの唯一の元はSの零元0であり、またSの単位元1でもある。[1]しかし、すべての半群論者が、1つの元を持つ半群の唯一の元を半群の零元とみなしているわけではない。彼らは、少なくとも2つの元を持つ半群でのみ零元を定義する。[2] [3]
極めて自明であるにもかかわらず、1 つの元を持つ半群は多くの状況で重要です。これは半群の構造を理解するための出発点です。多くの状況を明らかにする反例として役立ちます。たとえば、1 つの元を持つ半群は、 0 = 1、つまりゼロ元と単位元が等しい唯一の半群です。さらに、S が1 つの元を持つ半群である場合、 Sに単位元を付加して得られる半群は、Sにゼロ元を付加して得られる半群と同型です。
1 つの要素を持つ半群も群です。
圏論の言語では、1 つの要素を持つ任意の半群は、半群の圏における 終端オブジェクトです。
参照
参考文献
- ^ AH Clifford ; GB Preston (1964).半群の代数理論. 第 I 巻 (第 2 版).アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-0272-4。
- ^ PA グリエ (1995)。セミグループ。CRC を押します。 3～4ページ。ISBN 978-0-8247-9662-4。
- ^ Howie, JM (1976).半群論入門. LMSモノグラフ. 第7巻. アカデミックプレス. pp. 2–3.