キャラクター理論

数学、より具体的には群論において、群表現の指標は群上の関数であり、各群要素に対応する行列のトレースを関連付ける。指標は、表現に関する重要な情報をより凝縮した形で伝える。ゲオルク・フロベニウスは当初、指標のみに基づいて有限群の表現論を展開し、表現自体の明示的な行列実現は行わなかった。これが可能なのは、有限群の複素表現が（同型性を除いて）その指標によって決定されるためである。正の標数の体上の表現、いわゆる「モジュラー表現」の状況はより繊細であるが、リヒャルト・ブラウアーはこの場合にも強力な指標の理論を展開した。有限群の構造に関する多くの深い定理は、モジュラー表現の指標を使用している。

既約表現の指標は、群の多くの重要な特性をコード化しており、したがって群の構造を研究するために使用できる。指標理論は、有限単純群の分類において不可欠なツールである。フェイト・トムソン定理の証明のほぼ半分は、指標値を使用した複雑な計算を伴う。指標理論を使用する、より容易だが依然として不可欠な結果には、バーンサイドの定理（バーンサイドの定理の純粋に群論的な証明はその後見つかっているが、その証明はバーンサイドの最初の証明から半世紀以上経ってからなされた）、および有限単純群は一般化四元数群をそのシロー2部分群として持つことはできないというリチャード・ブラウアーと鈴木道雄の定理がある。

V を体F上の有限次元 ベクトル空間とし、ρ  : G → GL( V )をV上の群Gの表現とする。ρの指標は関数χ _ρ  : G → Fであり、

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))}$

ここでTrはトレースです。

ρが既約表現である場合、指標χ _ρは既約または単純と呼ばれます。指標χの次数はρの次元です。特性0では、これは値χ (1)に等しくなります。次数 1 の指標は線型と呼ばれます。Gが有限で、F が特性 0 を持つ場合、指標χ _ρの核は正規部分群です。

${\displaystyle \ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace ,}$

これはまさに表現ρの核です。しかし、この特徴は一般に群準同型で はありません。

• 指標はクラス関数です。つまり、それぞれが与えられた共役クラス上で定数値を取ります。より正確には、与えられた群Gから体Fへの既約指標の集合は、すべてのクラス関数G → FのFベクトル空間の基底を形成します。
• 同型表現は同じ特徴を持つ。特性 0の体上では、2つの表現が同じ特徴を持つ場合のみ同型である。 ^[1]
• 表現がサブ表現の直接の和である場合、対応する文字はそれらのサブ表現の文字の合計です。
• 有限群Gの文字が部分群 Hに制限される場合、結果もHの文字になります。
• すべての特性値χ ( g ) はn の m乗根の和であり、ここでn は特性χによる表現の次数 (つまり、関連するベクトル空間の次元) であり、m はgの位数である。特に、F = Cのとき、そのようなすべての特性値は代数的整数である。
• F = Cかつχが既約である場合、 は Gのすべてのxに対して代数的整数です。$${\displaystyle [G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}}$$
• Fが代数的に閉じていて、char ( F ) がGの位数を割り切れない場合、 Gの既約指標の数はGの共役類の数に等しくなります。さらに、この場合、既約指標の次数はGの位数の約数です ( F = Cの場合、[ G  : Z ( G )]も割り切れます)。

ρ と σ をGの表現とします。このとき、次の恒等式が成り立ちます。

• ${\displaystyle \chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }}$
• ${\displaystyle \chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }}$
• ${\displaystyle \chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}}$
• ${\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$
• ${\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$

ここで、ρ ⊕ σは直和、ρ ⊗ σはテンソル積、ρ ^{∗ は}ρの共役転置、Alt 2^は交代積Alt ² ρ = ρ ∧ ρ、Sym ^{2 は}対称平方で、次のように決定される。 $${\displaystyle \rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho .}$$

有限群の既約複素指標は、群Gに関する多くの有用な情報をコンパクトな形式でエンコードする指標表を形成します。各行は既約表現でラベル付けされ、行のエントリはGのそれぞれの共役類上の表現の指標です。列はGの共役類 (の代表) でラベル付けされます。最初の行は、すべてのに対して による 1 次元ベクトル空間へのGの自明な作用である自明表現の指標でラベル付けするのが通例です。したがって、最初の行の各エントリは 1 です。同様に、最初の列は恒等関数でラベル付けするのが通例です。したがって、最初の列には各既約指標の次数が含まれます。 ${\displaystyle \rho (g)=1}$${\displaystyle g\in G}$

キャラクター表はこちら

${\displaystyle C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle ,}$

3つの元と生成元u を持つ巡回群:

ここで、ω は原始的な3 乗根 です。

既約表現の数は共役類の数に等しいため、指標表は常に正方である。^[2]

有限群Gの複素数値クラス関数の空間には自然な内積があります。

${\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}$

ここで、β ( g )はβ ( g )の複素共役です。この内積に関して、既約指標はクラス関数の空間の 正規直交基底を形成し、指標表の行の直交関係が得られます。

${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}}$

Gのg、hに対して、同じ内積を文字テーブルの列に適用すると、次のようになります。

${\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate }}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

ここで、和はGの既約指標χ _iすべてについてであり、記号| C _G ( g )| はgの中心化子の位数を表します。 gとhは指標表の同じ列にある場合にのみ共役であるため、指標表の列は直交していることになります。

直交関係は、次のような多くの計算に役立ちます。

• 未知の文字を、既約文字の線形結合として分解します。
• 既約文字の一部のみがわかっている場合に完全な文字テーブルを構築する。
• グループの共役類の代表の中心化者の順序を見つける。
• グループの順序を見つけます。

群Gの特定の特性はその特性表から推測できます。

• Gの位数は、最初の列の要素の二乗の合計 (既約な指標の次数) によって与えられます。より一般的には、任意の列の要素の絶対値の二乗の合計は、対応する共役類の元の中心化子の位数を与えます。
• Gのすべての正規部分群（したがってGが単純かどうか）は、その特徴表から認識できます。特徴χの核は、 χ ( g ) = χ (1)となるGの元gの集合です。これはGの正規部分群です。 Gの各正規部分群は、Gの既約特徴のいくつかの核の共通部分です。
• Gの交換子部分群は、Gの線型指標の核の共通部分です。
• Gが有限である場合、指標テーブルは正方で、共役類と同じ数の行を持つため、Gがアーベルである場合と、各共役類がシングルトンである場合と、 Gの指標テーブルがアーベルである場合と、各既約指標が線形である場合のどちらも同じになります。${\displaystyle |G|\!\times \!|G|}$
• モジュラー表現理論からのリチャード・ブラウアーのいくつかの結果を使用すると、有限群の各共役類の元の順序の素因数は、その特性表から演繹できることがわかります（グラハム・ヒグマンの観察）。

一般に、指標表は同型性を除いて 群を決定しません。たとえば、四元数群Qと8個の元の二面体群D ₄は同じ指標表を持ちます。Brauer は、指標表とその共役類の元の冪がどのように分配されるかという知識を組み合わせると、同型性を除いて有限群が決定されるかどうかを尋ねました。1964 年に、EC Dadeはこれに否定的な回答をしました。

Gの線型表現は、それ自体がテンソル積の下での群です。これは、1 次元ベクトル空間のテンソル積がやはり 1 次元であるためです。つまり、と が線型表現である場合、 は新しい線型表現を定義します。これにより、演算の下での指標群と呼ばれる線型指標の群が生じます。この群は、ディリクレ指標およびフーリエ解析に関連しています。 ${\displaystyle \rho _{1}:G\to V_{1}}$${\displaystyle \rho _{2}:G\to V_{2}}$${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))}$${\displaystyle [\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)}$

この節で説明する指標は複素数値であると仮定する。H を有限群Gの部分群とする。 Gの指標χが与えられたとき、χ _{H は}Hへのその制限を表すものとする。θをHの指標とする。フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスは、現在フロベニウスの相互性として知られるものを用いて、θからGの指標を構成する方法を示した。 Gの既約指標はGの複素数値類関数の空間の正規直交基底を形成するので、 Gの唯一の類関数θ ^Gが存在し、その性質は 次のようになる。

${\displaystyle \langle \theta ^{G},\chi \rangle _{G}=\langle \theta ,\chi _{H}\rangle _{H}}$

Gの各既約指標χに対して(左端の内積はGの類関数に対するもので、右端の内積はHの類関数に対するものである) となる。 Gの指標を部分群Hに制限すると、これもHの指標となるので、この定義によりθ ^{G は}Gの既約指標の非負整数の組み合わせであり、したがってGの指標であることが明らかになる。これはθから誘導されるGの指標として知られている。フロベニウスの相互性の定義式は、一般的な複素数値類関数に拡張できる。

フロベニウスは後に、 Hの行列表現ρ が与えられたときに、 Gの行列表現を明示的に構築する方法を示しました。これはρから誘導される表現として知られ、類似してρ ^Gと書きます。これにより、誘導特性θ ^Gの別の記述が生まれました。この誘導特性は、 Hのどの要素とも共役でないGのすべての要素上で消えます。誘導特性はGのクラス関数であるため、 Hの要素上でのその値を記述するだけで済みます。 G をHの右剰余類の互いに素な和集合として記述すると、

${\displaystyle G=Ht_{1}\cup \ldots \cup Ht_{n},}$

Hの要素hが与えられると、次の式が得られます。

${\displaystyle \theta ^{G}(h)=\sum _{i\ :\ t_{i}ht_{i}^{-1}\in H}\theta \left(t_{i}ht_{i}^{-1}\right).}$

θはHのクラス関数であるため、この値は剰余類代表の特定の選択に依存しません。

この誘導特性の代替記述により、HのGへの埋め込みに関する比較的少ない情報から明示的に計算できる場合があり、特定の特性表の計算に役立つことがよくあります。θがHの自明な特性である場合、得られる誘導特性はGの置換特性( Hの剰余類上) として知られています。

特性帰納法の一般的な手法とその後の改良は、エミール・アルティン、リチャード・ブラウアー、ウォルター・フェイト、鈴木道雄などの数学者、そしてフロベニウス自身によって、 有限群論や数学の他の分野で数多くの応用が見られた。

マッキー分解は、ジョージ・マッキーによってリー群の文脈で定義され研究されましたが、有限群の指標理論と表現論における強力なツールです。その基本形は、有限群G のサブグループHから誘導された指標 (またはモジュール) が、 Gの(おそらく異なる) サブグループKへの制限でどのように動作するかに関するもので、 Gの( H , K )二重剰余類への分解を利用しています。

が互いに素な和集合で、θ がHの複素クラス関数である場合、Mackeyの公式は次のように述べる。 ${\textstyle G=\bigcup _{t\in T}HtK}$

${\displaystyle \left(\theta ^{G}\right)_{K}=\sum _{t\in T}\left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},}$

ここでθ ^{t は}t ⁻¹ Htの類関数であり、H内のすべてのhに対してθ ^t ( t ⁻¹ ht ) = θ ( h )で定義されます。誘導加群をサブグループに制限するための同様の式があり、これは任意の環上の表現に対して成り立ち、さまざまな代数的および位相的なコンテキストで応用されています。

マッキー分解は、フロベニウスの相互性と組み合わせることで、それぞれのサブグループHとKから誘導される 2 つのクラス関数θとψの内積を表すよく知られた有用な式を生み出します。この式が有用なのは、 HとKの共役が互いにどのように交差するかにのみ依存するという事実にあります。式 (およびその導出) は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \theta ^{G},\psi ^{G}\right\rangle &=\left\langle \left(\theta ^{G}\right)_{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\theta ^{t}\right)_{t^{-1}Ht\cap K},\psi _{t^{-1}Ht\cap K}\right\rangle ,\end{aligned}}}$

（ここで、T は、前述のように、（H、K）二重剰余類代表の完全な集合である）。この式は、 θとψ が線形指標であるときによく使用され、その場合、右側の和に現れるすべての内積は、線形指標θ ^tとψ がt ⁻¹ Ht ∩ Kに対して同じ制約を持つかどうかによって、1または0 のいずれかになります。 θとψ が両方とも自明な指標である場合、内積は| T |に簡略化されます。

表現の指標をベクトル空間の「ねじれた」次元として解釈することができる。^{[3]指標を群}χ ( g )の要素の関数として扱うと、その恒等関数の値は空間の次元となる。なぜならχ (1) = Tr( ρ (1)) = Tr( I _V ) = dim( V )であるからである。したがって、指標の他の値を「ねじれた」次元として見ることができる。^{[説明が必要]}

次元に関する記述の類似点や一般化は、指標や表現に関する記述に見出すことができる。この洗練された例は、怪物密造酒の理論に見られる。j不変量は、モンスター群の無限次元次数表現の次数次元であり、次元を指標に置き換えると、モンスター群の各要素のマッケイ・トムソン級数が得られる。 [ 3 ^]

がリー群での有限次元表現である場合、の指標は任意の群に対して と正確に定義されます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))}$。

一方、 がリー代数での有限次元表現である場合、 の文字を次のように 定義できる。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})}$。

指標は、関連するリー群のすべてのおよびすべてのに対して を満たす。リー群表現と関連するリー代数表現がある場合、リー代数表現の指標は、式 ${\displaystyle \chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$${\displaystyle \mathrm {X} _{\rho }}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})}$。

ここで、 がカルタン部分代数 を持つ複素半単純リー代数であると仮定します。 の既約表現の指標の値は、上のその値によって決まります。 指標の への制限は、次のように重み空間に関して簡単に計算できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}}$、

ここで、和はのすべての重み に対してであり、 はの重複度である。^[4]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle m_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

（の）キャラクタへの制限は、ワイルキャラクタ公式によってより明示的に計算できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• 既約表現 § 理論物理学と化学への応用
• アソシエーションスキーム、群特性理論の組み合わせ論的一般化。
• 1937 年にAH Cliffordによって導入されたクリフォード理論は、有限群Gの複素既約特性の正規部分群Nへの制限に関する情報をもたらします。
• フロベニウスの公式
• 実元、群元g のうち、χ ( g ) がすべての文字χに対して実数となるもの

• PlanetMathのキャラクター。