外挿

数学において、外挿とは、ある変数と別の変数との関係に基づき、元の観測範囲を超えて変数の値を推定する一種の方法である。これは既知の観測値間の推定値を生成する内挿に似ているが、外挿の方が不確実性が高く、意味のない結果を生成するリスクが高い。外挿は、同様の方法が適用可能であると仮定して、方法の拡張を意味する場合もある。外挿は、人間の経験に適用され、既知の経験を未知または未経験の領域に投影、拡張、または拡大することもある。そうすることで、未知の仮定を立てる^{[1] （たとえば、運転手は、現在見える範囲を超えて道路状況を外挿する可能性があり、これらの外挿は正しい場合もあれば、間違っている場合もある）。外挿法は、}内部再構築問題に適用できる。

どの外挿法を適用するかを適切に選択するには、既存のデータポイントを作成したプロセスに関する事前知識が必要です。一部の専門家は、外挿法の評価に因果力を利用することを提案しています。 ^[2]重要な質問は、たとえば、データが連続的、滑らか、周期的などであると想定できるかどうかなどです。

線形外挿とは、既知のデータの端に接線を作成し、その限界を超えて延長することを意味します。線形外挿は、ほぼ線形関数のグラフを延長する場合、または既知のデータからあまり離れていない場合に限り、良好な結果をもたらします。

外挿する点に最も近い 2 つのデータ ポイントがと である場合、線形外挿により次の関数が得られます。 ${\displaystyle x_{*}}$${\displaystyle (x_{k-1},y_{k-1})}$${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$

${\displaystyle y(x_{*})=y_{k-1}+{\frac {x_{*}-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}(y_{k}-y_{k-1}).}$

（の場合、これは線形補間と同じである）。2 つ以上の点を含めることができ、含めるように選択されたデータ ポイントに対して回帰のような手法で線形補間の傾きを平均化することができます。これは線形予測に似ています。 ${\displaystyle x_{k-1}$

多項式曲線は、既知のデータ全体または終わり近く (線形外挿の場合は 2 点、二次外挿の場合は 3 点など) にわたって作成できます。作成された曲線は、既知のデータの終わりを超えて延長できます。多項式外挿は、通常、 ラグランジュ補間またはニュートンの差分法を使用して、データに適合するニュートン級数を作成することによって行われます。作成された多項式は、データを外挿するために使用できます。

高次の多項式外挿は、十分に注意して使用する必要があります。上の図のサンプル データ セットと問題の場合、次数 1 (線形外挿) を超えると、使用できない値が生成される可能性があります。外挿値の誤差推定値は、多項式外挿の次数とともに大きくなります。これは、ルンゲ現象に関連しています。

円錐曲線は、既知のデータの末尾付近の 5 つのポイントを使用して作成できます。作成された円錐曲線が楕円または円の場合、外挿するとループして再び結合します。外挿された放物線または双曲線は再び結合しませんが、X 軸に対して曲がる場合があります。このタイプの外挿は、円錐曲線テンプレート (紙) またはコンピューターを使用して実行できます。

フレンチカーブ外挿法は、指数関数的傾向を持ちながら加速要因や減速要因を持つ分布に適した方法です。^[3]この方法は、1987年以降の英国におけるHIV/AIDSの増加と、数年にわたる英国における変異型CJDの増加の予測に効果的に使用されてきました。別の研究では、外挿法はより複雑な予測戦略と同等の品質の予測結果を生み出すことができることが示されています。^[4]

シーケンスの3つのポイントと「モーメント」または「インデックス」を使用して作成できるこのタイプの外挿は、既知のシリーズデータベース（OEIS）の大部分で予測の精度が100％です。^[5]

誤差予測による外挿の例:

${\displaystyle {\text{sequence}}=[1,2,3,5]}$

${\displaystyle {f_{1}(x,y)={\frac {x}{y}}}}$

${\displaystyle d_{1}=f_{1}(3,2)}$

${\displaystyle {d_{2}=f_{1}(5,3)}}$

${\displaystyle m={\text{sequence}}(5)}$

${\displaystyle n={\text{sequence}}(3)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{f}}(m,n,d_{1},d_{2})&={\text{round}}\left((n\cdot d_{1}-m)+(m\cdot d_{2})\right)\\&={\text{round}}\left((3\times 1.5-5\right)+(5\times 1.66))=8\end{aligned}}}$

通常、特定の外挿法の品質は、その方法によって行われる関数に関する仮定によって制限されます。その方法がデータが滑らかであると仮定している場合、滑らかでない関数の外挿は不完全になります。

複雑な時系列に関しては、因果関係を分解して外挿を行うとより正確になることを発見した専門家もいる。^[6]

関数についての適切な仮定があっても、外挿は関数から大きく逸脱することがあります。典型的な例は、 sin( x ) と関連する三角関数の切断されたべき級数表現です。たとえば、x = 0 付近のデータのみを取得すると、関数は sin( x ) ~  x として動作すると推定できます。 x = 0の近傍では 、これは優れた推定値です。ただし、 x = 0 から離れると、外挿はx軸 から任意に移動しますが、 sin( x ) は区間[ -1, 1] 内にとどまります。つまり、誤差は無制限に増加します。  

x = 0 の周りの sin( x ) のべき級数の項をさらに多く取ると、 x = 0 の近くのより広い区間にわたってより良い一致が得られますが、最終的には線形近似よりもさらに速くx軸 から逸脱する外挿が生成されます。

この発散は外挿法特有の特性であり、外挿法によって想定される関数形式 (追加情報により意図的または不注意に) が外挿される関数の性質を正確に表す場合にのみ回避されます。特定の問題では、この追加情報が利用できる場合もありますが、一般的なケースでは、実行可能な小さな潜在的な動作セットですべての可能な関数の動作を満たすことは不可能です。

複素解析では、変数の変更によって外挿の問題を内挿の問題に変換できます。この変換は、単位円の内側の複素平面の部分と単位円の外側の複素平面の部分を交換します。特に、無限遠のコンパクト化点は原点にマッピングされ、その逆も同様です。ただし、元の関数には、サンプル データからは明らかではない、たとえば極やその他の特異点などの「特徴」が無限遠に 存在していた可能性があるため、この変換には注意が必要です。${\displaystyle {\hat {z}}=1/z}$

外挿のもう一つの問題は、解析接続の問題とゆるやかに関連しています。解析接続では、（典型的には）関数のべき級数表現が、その収束点の 1 つで展開され、より大きな収束半径を持つべき級数が生成されます。実際には、小さな領域のデータ セットを使用して、関数をより大きな領域に外挿します。

再び、解析接続は、初期データからは明らかでは なかった関数の特徴によって妨げられる可能性があります。

また、 パデ近似やレビン型シーケンス変換などのシーケンス変換を、元の収束半径の 外側で発散するべき級数の和につながる外挿法として使用することもできます。この場合、 有理近似が得られることがよくあります。

外挿されたデータは、多くの場合、カーネル関数に畳み込まれます。データが外挿された後、データのサイズは N 倍に増加します。ここで、N は約 2～3 です。このデータを既知のカーネル関数に畳み込む必要がある場合、 高速フーリエ変換 (FFT) を使用しても数値計算は N log(N) 倍に増加します。外挿されたデータの一部からの寄与を解析的に計算するアルゴリズムが存在します。計算時間は、元の畳み込み計算と比較して省略できます。したがって、このアルゴリズムでは、外挿されたデータを使用した畳み込みの計算はほとんど増加しません。これは高速外挿と呼ばれます。高速外挿は、CT 画像の再構成に適用されています。^[7]

外挿論は、何かが真実であると知られている値の範囲を超えておそらく真実であると主張する、非公式で定量化されていない論証です。たとえば、虫眼鏡を通して見るものは肉眼で見るものと一致しますが、それを超えているため、私たちはそれを現実だと信じています。光学顕微鏡を通して見るものは虫眼鏡を通して見るものと一致しますが、それを超えているため、私たちはそれを現実だと信じています。電子顕微鏡についても同様です。このような論証は、動物研究から人間への外挿や、パイロット研究からより広い集団への外挿に生物学で広く使用されています。^[8]

滑りやすい坂道の議論と同様に、外挿の議論は、外挿が既知の範囲をどれだけ超えるかなどの要因に応じて、強くなったり弱くなったりする可能性があります。^[9]

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ウィキメディア・コモンズには、外挿に関連するメディアがあります。

• 予測
• 最小多項式外挿
• マルチグリッド法
• 過剰適合
• 予測区間
• 回帰分析
• リチャードソン外挿
• 静的解析
• トレンド予測
• 外挿ドメイン分析
• 推測航法
• 内部の再建
• 極値理論
• 補間

• 外挿法。理論と実践、 C. Brezinski およびM. Redivo Zaglia著、北ホラント、1991 年。
• Avram Sidi:「実践的外挿法:理論と応用」、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-66159-5 (2003)。
• Claude BrezinskiとMichela Redivo-Zaglia：「外挿と有理近似」、Springer Nature、スイス、ISBN 9783030584177、（2020年）。