分配関数（量子場理論）

量子場の理論では、分割関数は相関関数の生成関数であり、経路積分形式における重要な研究対象となっている。これらは統計力学の分割関数の虚数時間バージョンであり、物理学のこれら 2 つの分野の間に密接な関係を生み出している。分割関数が正確に解けることはめったにないが、自由理論ではそのような解が認められる。代わりに、通常は摂動的なアプローチが実装され、これはファインマン図の合計に相当します。

実スカラー場と作用を持つ次元場の理論では、分配関数は経路積分形式で次のように定義される^[1]${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle S[\phi ]}$

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{iS[\phi ]+i\int d^{d}xJ(x)\phi (x)}}$

ここで、は架空の電流源である。これは任意のn点相関関数の生成関数として働く。 ${\displaystyle J(x)}$

${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-1)^{n}{\frac {1}{Z[0]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0}.}$

ここで使用される導関数は、通常の関数ではなく関数に作用するため、通常の導関数ではなく関数導関数である。このことから、ソース電流のべき級数を連想させる分配関数の同等の表現は^[2]で与えられる。

${\displaystyle Z[J]=\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n!}}\int \prod _{i=1}^{n}d^{d}x_{i}G(x_{1},\dots ,x_{n})J(x_{1})\cdots J(x_{n}).}$

曲がった時空では、初期の真空状態が最終的な真空状態と同じである必要はないという事実のために、対処しなければならない微妙な点がさらにある。 ^[3]複合演算子の分割関数も、基本場の場合と同じ方法で構築できる。これらの演算子の相関関数は、これらの関数の関数微分として計算できる。^[4]たとえば、複合演算子の分割関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x)}$

${\displaystyle Z_{\mathcal {O}}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]+i\int d^{d}xJ(x){\mathcal {O}}(x)}.}$

分配関数がわかれば、相関関数のすべてを直接計算できるため、理論は完全に解けます。しかし、分配関数を正確に計算できるケースはほとんどありません。自由理論は正確な解を認めますが、相互作用理論は一般的には認めません。代わりに、分配関数は弱結合で摂動論的に評価することができ、これは外部脚に挿入があるファインマン図を使用した通常の摂動論に相当します。^[5]これらのタイプの図の対称性因子は相関関数の対称性因子とは異なり、すべての外部脚に交換可能な同一の挿入があるのに対し、相関関数の外部脚はすべて特定の座標に固定されているため固定されています。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$

ウィック変換を行うことにより、分割関数はユークリッド時空で次のように表される^[6]

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{-(S_{E}[\phi ]+\int d^{d}x_{E}J\phi )},}$

ここで、はユークリッド作用であり、はユークリッド座標です。この形式は統計力学の分配関数と密接に関連しています。特に、ユークリッドラグランジアンは通常下から有界であるため、エネルギー密度として解釈できます。また、指数因子をフィールド構成の統計的重みとして解釈することも可能になり、勾配またはフィールド値の変動が大きいほど、抑制が大きくなります。統計力学とのこの関連により、相関関数が量子場理論でどのように動作するかについての追加の直感も得られます。 ${\displaystyle S_{E}}$${\displaystyle x_{E}}$

スカラーの場合と同じ原理のほとんどが、追加のフィールドを持つより一般的な理論にも当てはまります。各フィールドには独自の架空の電流を導入する必要があり、反粒子フィールドには独自の別の電流が必要です。電流の導関数を使用して分割関数に作用すると、関連するフィールドが指数関数から下がり、任意の相関関数を構築できるようになります。微分後、真空状態での相関関数が必要な場合は電流がゼロに設定されますが、電流を特定の値に設定して、消滅しない背景フィールドで相関関数を生成することもできます。

グラスマン値のフェルミオン場を持つ分配関数の場合、ソースもグラスマン値である。^[7]例えば、単一のディラックフェルミオンを 持つ理論では、2つのグラスマンカレントとを導入する必要があるため、分配関数は ${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle {\bar {\eta }}}$

${\displaystyle Z[{\bar {\eta }},\eta ]=\int {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {D}}\psi \ e^{iS[\psi ,{\bar {\psi }}]+i\int d^{d}x({\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta )}.}$

相関関数において、 に関する関数微分はフェルミオン場を与え、 に関する関数微分は反フェルミオン場を与えます。${\displaystyle {\bar {\eta }}}$${\displaystyle \eta }$

温度における熱場理論は、ユークリッド形式においては、長さの時間方向がコンパクト化された理論と等価である。分配関数は、場とユークリッド時空積分に周期条件を課すことによって適切に修正されなければならない。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \beta =1/T}$

${\displaystyle Z[\beta ,J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-S_{E,\beta }[\phi ]+\int _{\beta }d^{d}x_{E}J\phi }{\bigg |}_{\phi ({\boldsymbol {x}},0)=\phi ({\boldsymbol {x}},\beta )}.}$

この分配関数は、虚数時間形式における熱場理論の定義としてとらえることができる。^[8]相関関数は、分配関数から、電流に関する通常の関数微分を介して得られる 。

${\displaystyle G_{n,\beta }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\delta ^{n}Z[\beta ,J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0}.}$

分配関数は、自由理論では、場について平方完成することで正確に解くことができる。定数によるシフトは経路積分測度に影響を与えないため、これにより、分配関数を経路積分から生じる比例定数と、電流のみに依存する第2項に分離することができる。スカラー理論では、これは次のようになる。 ${\displaystyle N}$

${\displaystyle Z_{0}[J]=N\exp {\bigg (}-{\frac {1}{2}}\int d^{d}xd^{d}y\ J(x)\Delta _{F}(x-y)J(y){\bigg )},}$

位置空間ファインマンプロパゲーターはどこにありますか${\displaystyle \Delta _{F}(x-y)}$

${\displaystyle \Delta _{F}(x-y)=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}.}$

このパーティション関数は自由場理論を完全に決定します。

単一の自由ディラック電子を持つ理論の場合、平方完成は次のような形の分配関数を与える。

${\displaystyle Z_{0}[{\bar {\eta }},\eta ]=N\exp {\bigg (}\int d^{d}xd^{d}y\ {\bar {\eta }}(y)\Delta _{D}(x-y)\eta (x){\bigg )},}$

位置空間ディラック伝播関数は どこにありますか${\displaystyle \Delta _{D}(x-y)}$

${\displaystyle \Delta _{D}(x-y)=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}.}$

• Ashok Das, Field Theory: A Path Integral Approach、第2版、World Scientific (シンガポール、2006年); ペーパーバックISBN 978-9812568489。 
• Kleinert, Hagen、「Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets 」、第 4 版、World Scientific (シンガポール、2004 年)、ペーパーバックISBN 981-238-107-4 (オンラインでも入手可能: PDF ファイル)。 
• Jean Zinn-Justin（2009）、Scholarpedia、4（2）：8674。