オンシェル繰り込みスキーム

量子場理論、特に量子電磁力学では、相互作用理論によって無限の量が導出され、測定可能な量を予測するためには、それらを繰り込み手順で吸収する必要がある。繰り込み方法は、対象となる粒子の種類によって異なる。漸近的に大きな距離を移動できる粒子、あるいは低エネルギー過程の場合、物理スキームとも呼ばれるオンシェルスキームが適切である。これらの条件が満たされない場合は、最小減算スキーム（MSスキーム）などの他のスキームを用いることができる。

さまざまな伝播関数を知ることは、例えば散乱実験の結果を予測するのに役立つツールであるファインマン図を計算するための基礎となります。唯一の場がディラック場である理論では、ファインマン伝播関数は次のようになります。

$${\displaystyle \langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|0\rangle =iS_{F}(x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m+i\epsilon }}}$$

どこ${\displaystyle T}$は時間順序付け演算子です。${\displaystyle |0\rangle }$非相互作用理論における真空、${\displaystyle \psi (x)}$そして${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$ディラック場とそのディラック随伴場、そして、式の左辺はディラック場の2点相関関数である。

新しい理論では、ディラック場は別の場、例えば量子電磁力学における電磁場と相互作用することができ、その相互作用の強さはパラメータによって測定され、QEDの場合は裸の電子電荷である。${\displaystyle e}$伝播関数の一般形式は変更されないはずである。つまり、${\displaystyle |\オメガ \rangle }$相互作用理論において真空を表す場合、2点相関関数は次のようになる。

$${\displaystyle \langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {iZ_{2}e^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m_{r}+i\epsilon }}}$$

2つの新しい量が導入された。まず、再規格化された質量${\displaystyle m_{r}}$は、ファインマン伝播関数のフーリエ変換における極として定義されています。これは、オンシェル繰り込みスキームの主要な処方です（最小減算スキームのように他の質量スケールを導入する必要はありません）。$\displaystyle Z_{2}}$これはディラック場の新たな強さを表しています。${\displaystyle e\rightarrow 0}$これらの新しいパラメータは、自由フェルミオンのプロパゲーターを回復するような値に収束するはずである。${\displaystyle m_{r}\rightarrow m}$そして${\displaystyle Z_{2}\rightarrow 1}$。

これはつまり${\displaystyle m_{r}}$そして$\displaystyle Z_{2}}$は、${\displaystyle e}$このパラメータが十分に小さい場合（単位系では${\displaystyle \hbar =c=1}$、${\displaystyle e={\sqrt {4\pi \alpha }}\simeq 0.3}$、 どこ${\displaystyle \alpha }$は微細構造定数である。したがって、これらのパラメータは次のように表すことができる。

$${\displaystyle Z_{2}=1+\delta _{2}}$$$${\displaystyle m_{r}=m+\delta m}$$

一方、プロパゲーターの変更は、ある次数まで計算できます。${\displaystyle e}$ファインマン図を用いて、これらの修正はフェルミオンの自己エネルギーに集約される。${\displaystyle \Sigma (p)}$

$${\displaystyle \langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m-\Sigma (p)+i\epsilon }}}$$

これらの補正はループを含むため、しばしば発散します。相関関数の 2 つの表現をある次数まで特定することにより、${\displaystyle e}$対項を定義することができ、それらはフェルミオン伝播関数への補正の発散寄与を吸収します。したがって、次のような繰り込み量は、${\displaystyle m_{r}}$は有限であり、実験で測定される量となる。

フェルミオンプロパゲーターで行われたのと同様に、自由光子場に触発された光子プロパゲーターの形式は、ある次数まで計算された光子プロパゲーターと比較されます。${\displaystyle e}$相互作用理論において、光子の自己エネルギーは次のように記される。${\displaystyle \Pi (q^{2})}$そして計量テンソル${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$（ここでは+---表記法を採用しています）

$${\displaystyle \langle \Omega |T(A^{\mu }(x)A^{\nu }(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}=\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-iZ_{3}\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}+i\epsilon }}}$$

対項の挙動${\displaystyle \delta _{3}=Z_{3}-1}$入射光子の運動量に依存しない${\displaystyle q}$それを修正するには、QED の長距離での振る舞い (これは古典電磁気学の回復に役立つはずです)、つまり、$\displaystyle q^{2}\rightarrow 0$、が使用されています :

$${\displaystyle {\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}\sim {\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}}}}$$

したがって、対項$\displaystyle \delta _{3}}$値で固定されています${\displaystyle \Pi (0)}$。

頂点関数を用いた同様の推論により、電荷の再正規化が導かれる。${\displaystyle e_{r}}$この繰り込みと繰り込み項の固定は、大きな空間スケールでの古典電磁気学で知られていることを用いて行われます。これにより、対項の値が得られます。$\displaystyle \delta _{1}}$実際には、$\displaystyle \delta _{2}}$これは、ワード・タカハシ恒等式によるものです。フェルミオンの異常な磁気双極子モーメントを説明するのは、この計算です。

比例係数（${\displaystyle Z_{i}}$）は、伝播関数の形式から定義されています。しかし、QEDラグランジアンからも定義することができ、このセクションではそれを行います。これらの定義は同等です。量子電磁力学の物理を記述するラグランジアンは、

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi +e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$$

どこ$\displaystyle F_{\mu \nu }}$は電場強度テンソルです。${\displaystyle \psi }$はディラック・スピノル（波動関数の相対論的等価物）であり、${\displaystyle A}$電磁四元電位。理論のパラメータは${\displaystyle \psi }$、${\displaystyle A}$、${\displaystyle m}$そして${\displaystyle e}$これらの量はループ補正により無限大となる（下記参照）。正規化された量（有限で観測可能な量）を以下のように定義できる。

$${\displaystyle \psi ={\sqrt {Z_{2}}}\psi _{r}\;\;\;\;\;A={\sqrt {Z_{3}}}A_{r}\;\;\;\;\;m=m_{r}+\delta m\;\;\;\;\;e={\frac {Z_{1}}{Z_{2}{\sqrt {Z_{3}}}}}e_{r}\;\;\;\;\;{\text{ただし}}\;\;\;\;\;Z_{i}=1+\delta _{i}}$$

の$\displaystyle \delta _{i}}$これらは対項と呼ばれます（他の定義も可能です）。これらはパラメータに関して小さい値であると想定されています。${\displaystyle e}$ラグランジアンは、再規格化された量（対項の1次まで）を用いて次のように表される。

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}Z_{3}F_{\mu \nu ,r}F_{r}^{\mu \nu }+Z_{2}{\bar {\psi }}_{r}(i\partial \!\!\!/-m_{r})\psi _{r}-{\bar {\psi }}_{r}\delta m\psi _{r}+Z_{1}e_{r}{\bar {\psi }}_{r}\gamma ^{\mu }\psi _{r}A_{\mu ,r}}$$

繰り込み処方とは、発散のどの部分が繰り込み量に含まれ、どの部分が対項に含まれるべきかを記述する一連の規則である。処方はしばしば自由場の理論、すなわち、${\displaystyle \psi }$そして${\displaystyle A}$それらが相互作用しない場合（これは用語を削除することに相当する）${\displaystyle e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$ラグランジアンにおいて）。

• M. ペスキン、D. シュローダー (1995) 『量子場理論入門』レディング：アディソン・ウィーズリー。