古典的な電子半径

古典的電子半径は、電磁放射と相互作用する電子に関する問題の長さスケールを定義する基本的な物理量の組み合わせです。電子の静止質量エネルギーに等しいエネルギーを持つ電場を生成する古典的な帯電球は、古典的電子半径に等しい半径を持ちます。^{[ 1 ]}これは、均一な電荷分布の古典的な静電自己相互作用エネルギーを電子の静止質量エネルギーに結び付けます。現代の理解によれば、電子には内部構造がなく、したがってそれに起因するサイズはありません。それでも、原子スケールの問題で電子の相互作用を特徴付ける長さを定義することは有用です。古典的電子半径のCODATA値は^{[ 2 ]}です。

${\displaystyle r_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\text{e}}c^{2}}}=}$2.817 940 3205 (13) × 10 ⁻¹⁵  m

どこ${\displaystyle e}$は基本電荷です。${\displaystyle m_{\text{e}}}$は電子の質量です。${\displaystyle c}$は光速であり、$\displaystyle \varepsilon _{0}}$は真空の誘電率です。^{[ 3 ]}これは陽子の電荷半径 の約3倍です。

古典的な電子半径は、ローレンツ半径またはトムソン散乱長とも呼ばれる。これは、関連する3つの長さの尺度のうちの1つであり、他の2つはボーア半径である。${\displaystyle a_{0}}$そして電子のコンプトン波長の減少${\displaystyle \lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}}$これら3つの長さスケールのいずれも、微細構造定数を用いて他の長さスケールで表すことができる。${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle r_{\text{e}}=\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}\alpha =a_{0}\alpha ^{2}.}$

古典的な電子半径の長さスケールは、一定量の電荷を組み立てるのに必要なエネルギーを考慮することで説明できる。${\displaystyle q}$与えられた半径の球体の中に${\displaystyle r}$⁠、電荷は体積全体に均一に分布している。 ^{[ 4 ]} 距離における静電ポテンシャル${\displaystyle r}$告発から${\displaystyle q}$は

${\displaystyle V(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r}}.}$

追加料金を請求する${\displaystyle dq}$無限大からエネルギーが加わる${\displaystyle dU}$システムへ:

${\displaystyle dU=V(r)dq.}$

球体の電荷密度が一定であると仮定すると、${\displaystyle \rho }$⁠、それから

$q={\frac {4}{3}}\pi \rho \,r^{3}}$そして${\displaystyle dq=4\pi \rho \,r^{2}dr.}$

統合する${\displaystyle dU}$⁠のために${\displaystyle r}$ゼロから最終半径まで${\displaystyle r'}$全エネルギーの式が得られる${\displaystyle U}$⁠、総電荷を組み立てるために必要${\displaystyle q'}$半径の球に均一に${\displaystyle r'}$⁠ :

${\displaystyle U={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q'^{2}}{r'}}.}$

これは物体の静電自己エネルギーと呼ばれます。電荷の解釈${\displaystyle q'}$電子の電荷として、${\displaystyle -e}$⁠、そして総エネルギーを等しくする${\displaystyle U}$電子の静止質量に相当するエネルギーで、${\displaystyle m_{\text{e}}c^{2}}$⁠ 、そして⁠を解く${\displaystyle r'}$⁠ :

${\displaystyle r'={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\text{e}}c^{2}}}.}$

数値係数3/5は、均一な電荷密度の特殊なケースに特有のものであるため無視されます（例えば、帯電した球面の場合、この係数は1/2であり、以下で使用されます）。結果として得られる半径${\displaystyle r'}$この因子を無視するように調整すると、古典的な電子半径として定義されます。$\displaystyle r_{\text{e}}}$そして、上記の式にたどり着く。

この導出では、$\displaystyle r_{\text{e}}}$これは電子の実際の半径を示す指標です。静電自己エネルギーと電子の静止質量に相当するエネルギーとの間の関係を示すだけであり、電子の磁気双極子場のエネルギーは無視されています。磁気双極子場のエネルギーを考慮すると、計算される半径は大幅に大きくなります。

古典的な電子半径は次のように導出することもできます。^{[ 5 ]}電子の電荷が球面上に均一に分布していると仮定します。球面の一部が他の部分を反発するため、球面には静電ポテンシャルエネルギーが存在します。このエネルギーは、特殊相対性理論で定義される 電子の静止エネルギーに等しいと仮定します（${\displaystyle E=mc^{2}}$⁠ )

静電気理論によれば、半径が導体球のポテンシャルエネルギーは${\displaystyle r}$表面電荷${\displaystyle e}$は

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}.}$

静止質量を持つ電子の場合${\displaystyle m_{\text{e}}}$⁠、残りのエネルギーは⁠${\displaystyle U=m_{\text{e}}c^{2}}$これらを等式で結ぶと、

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\text{e}}c^{2}}}={\frac {1}{2}}r_{\text{e}}.}$

前の場合と同様に、数値係数1/2は無視されます。

電子によるX線散乱の断面積は、古典的な電子半径と同程度の大きさである。一方、電子-電子散乱は、非常に小さな距離でもクーロンの法則からのずれを示さない。したがって、現代の理論では電子は点電荷とみなされる。^{[ 5 ]： 70}

古典的な電子半径は、非相対論的トムソン散乱や相対論的クライン・仁科公式を含む現代理論の古典極限にも現れる。また、$\displaystyle r_{\text{e}}}$は、量子電磁力学において繰り込みが重要になるおおよその長さスケールです。つまり、十分に短い距離では、電子を取り巻く空間の真空内の量子ゆらぎが計算可能な効果を持ち始め、それが原子物理学や素粒子物理学において測定可能な結果を​​もたらします。

古典的な電子半径は、電子スピン理論の歴史的発展と関連している。古典的な電子半径と観測された電子の角運動量を持つ機械的に回転する電子は、光速を超える接線速度を持つことになる。この問題により、ラルフ・クローニッヒは1925年に原子スペクトルの微細構造に関する理論を発表しなかった。ジョージ・ウーレンベックとサミュエル・グーズミットは同年、彼らのバージョンを発表し、電子スピンの発見者として認められている。現代の量子場理論は、電子スピンをモデル化するために使用されている。^{[ 6 ]}

• 電磁質量

• アーサー・N・コックス編（1999年）『アレンの天体物理量』（第4 版）、シュプリンガー

• 物理学における長さスケール：古典的な電子半径