旗（幾何学）

(多面体)幾何学において、旗は多面体の面の列であり、各面は次の多面体に含まれ、各次元から正確に 1 つの面を持ちます。

より正式には、n多面体の旗 ψは集合{ F _–1 , F ₀ , ..., F _n }であり、 F _i ≤ F _{i +1} (–1 ≤ i ≤ n – 1)であり、各i、(–1 ≤ i ≤ n )に対してψにちょうど 1 つのF _{i が}存在します。 ただし、最小面F _–1と最大面F _{n は}すべての旗に必ず含まれるため、省略形として面のリストから省略されることがよくあります。後者の 2 つは不適切な面と呼ばれます。

たとえば、多面体の旗は、 1 つの頂点、その頂点に接続する 1 つの辺、両方に接続する 1 つの多角形面、および 2 つの不適切な面で構成されます。

多面体は、その対称群がその旗上で推移的である場合に限り、正則であるとみなすことができます。この定義では、キラル多面体は除外されます。

より抽象的な入射幾何学の設定では、その要素に対して定義された入射と呼ばれる対称的かつ反射的な関係を持つ集合であり、旗は相互に入射する要素の集合です。^[1]この抽象化のレベルは、上記の多面体の概念と、線形代数の関連する旗の概念の両方を一般化します。

フラグが最大であるとは、より大きなフラグに含まれない場合です。接続ジオメトリ (Ω, I ) は、 Ω が集合 Ω ₁、 Ω ₂、 ...、 Ω _rに分割でき、ジオメトリの各最大フラグがこれらの各集合とちょうど 1 つの要素で交差する場合、ランク r を持ちます。この場合、集合 Ω _jの要素は、タイプjの要素と呼ばれます。

したがって、ランクrのジオメトリでは、各最大フラグには正確にr個の要素があります。

ランク2の入射幾何学は、一般的に入射構造と呼ばれ、タイプ1の要素は点と呼ばれ、タイプ2の要素はブロック（場合によっては線）と呼ばれます。^[2]より正式には、

インシデンス構造は3つの組D = ( V , B , I ) であり、VとB は任意の2つの互いに素な集合であり、I はVとBの間の2項関係、つまりI ⊆ V × B である。 Vの要素は点、Bの要素はブロック、Iの要素は フラグと呼ばれる。^[3]

• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998)、Projective Geometry: from foundations to applications、ケンブリッジ: Cambridge University Press、ISBN 0-521-48277-1
• ピーター・R・クロムウェル『多面体』ケンブリッジ大学出版局 1997年、ISBN 0-521-55432-2 
• ピーター・マクマレン、エゴン・シュルテ『抽象正則多面体』ケンブリッジ大学出版局、2002年。ISBN 0-521-81496-0