デュオプリズム

4次元以上の幾何学において、二重プリズム^[1]またはデュオプリズムは、それぞれ2次元以上の2つの多面体の直積から得られる多面体である。n多面体とm多面体の直積は( n + m )多面体であり、nとmは2(多角形)以上 の次元である。

最低次元のデュオプリズムは、2次元ユークリッド空間の2つの多角形の直積である4次元多面体として4次元空間に存在します。より正確には、それは点の集合です。

${\displaystyle P_{1}\times P_{2}=\{(x,y,z,w)|(x,y)\in P_{1},(z,w)\in P_{2}\}}$

ここで、P ₁とP _{2 は}、それぞれの多角形に含まれる点の集合です。このようなデュオプリズムは、両方の底が凸であり、プリズムセルによって囲まれている場合に凸です。

4 次元のデュオプリズムは、角柱状の 4 次元多面体であると考えられます。同じ辺の長さを持つ2 つの正多角形から構成されるデュオプリズムは、均一なデュオプリズムです。

n個の多角形とm個の多角形で構成されるデュオプリズムは、基本多角形の名前の前に「デュオプリズム」を付けて名前が付けられます。たとえば、三角形と五角形のデュオプリズムは、三角形と五角形の直積です。

特定のデュオプリズムを指定するための別の、より簡潔な方法は、基本ポリゴンを示す数字を前に付けることです。たとえば、三角形-五角形デュオプリズムの場合は 3,5-duoprism となります。

その他の別名:

• q -角柱- p -角柱プリズム
• q -角柱- p -角柱二重柱
• q -角柱- p -角柱ハイパープリズム

デュオプリズムという用語は、ジョージ・オルシェフスキーがdouble prismを短縮して作った造語です。ジョン・ホートン・コンウェイは、少なくとも 2 次元の 2 つ以上の多面体の直積であるproduct prismに対して、同様の名前proprism を提案しました。デュオプリズムは、ちょうど 2 つの多面体から形成される proprism です。

4 次元の均一なデュオプリズムは、同じ辺の長さを持つ正n辺多角形と正m辺多角形の積によって作成されます。これは、 n m角柱とm n角柱で囲まれます。たとえば、三角形と六角形の直積は、6 つの三角柱と 3 つの六角柱で囲まれたデュオプリズムです。

• mとnが同一の場合、結果として得られるデュオプリズムは、2 n 個の同一のn角柱プリズムで囲まれます。たとえば、2 つの三角形の直積は、6 つの三角柱で囲まれたデュオプリズムです。
• mとnが 4 の場合、結果として得られるデュオプリズムは 8 つの正方形のプリズム (立方体) で囲まれ、四次元立方体と同一になります。

m角柱はm角面を介して互いに接続され、閉じたループを形成します。同様に、n角柱はn角面を介して互いに接続され、最初のループに垂直な 2 番目のループを形成します。これらの 2 つのループは正方形の面を介して互いに接続され、相互に垂直です。

mとn が無限大に近づくと、対応するデュオプリズムはデュオシリンダーに近づきます。そのため、デュオプリズムはデュオシリンダーの 非二次近似として役立ちます。

セル中心の透視投影により、デュオプリズムは、p 角形プリズムと q 角形プリズムの 2 セットの直交セルを持つ トーラスのように見えます。

pq デュオプリズムは qp デュオプリズムと同一ですが、異なるセルの中心に投影されるため、これらの投影では異なって見えます。

ppデュオプリズムの頂点中心直交投影は、奇数次では[2n]対称に投影され、偶数次では[n]対称に投影されます。中心に投影される頂点はn個あります。4,4の場合、それは四次元方陣のA ₃コクセター平面を表します。5,5投影は、3D菱形三十面体と同じです。

正多面体{ 4,4|n} は、4 次元空間で、 nn デュオプリズムのn ²正方形面として存在し、すべての 2n ²辺と n ²頂点を使用します。2 n n角形面は削除されていると見ることができます。(歪んだ多面体は nm デュオプリズムでも同じように見ることができますが、これらは正多面体ではありません。)

交互プリズムとしてのアンチプリズムと同様に、4 次元デュオアンチプリズムのセットがあります。これは、デュオプリズムに交互演算を適用することで作成できる4 次元多面体です。交互の頂点は、均一な (そして規則的な) 16 セルを作成する特殊なケースである4-4 デュオプリズム(テッセラクト) を除き、非正規の四面体セルを作成します。16 セルは、凸状の均一なデュオアンチプリズムのみです。

デュオプリズム, t _0,1,2,3 {p,2,q}は交互に, ht _{0,1,2,3 {p,2,q}、「デュオアンチプリズム」は一般に均一にすることはできません。唯一の凸均一解は、p = q = 2の自明なケースであり、これは}テッセラクトの下対称性構成です。 , t _0,1,2,3 {2,2,2}、その交代は16セル、、s{2}s{2}。

唯一の非凸一様解はp=5、q=5/3、ht _0,1,2,3 {5,2,5/3}である。10個の五角形反柱、10個の五角形の交差反柱、および50個の四面体で構成され、大二重反柱（グダップ）として知られています。^{[2] [3]}

また、関連するものとして、八角形（四角形または切頂正方形と考えられる）をp角形にすることで形成される、二四角形または八角形三角錐台がある。八角形が2つの垂直な長方形の凸包であると仮定すると、p角形の八角形は明確に定義できる。すると、p角形二四角形三角錐台は、垂直方向にある2つのppデュオプリズム（p角形は相似だが合同ではなく、サイズが異なる）の凸包である。結果として得られる多角形は等角形で、2pのp角形プリズムとp ^2の長方形台形プリズム（D _2d対称性を持つ立方体）を持つが、均一にできない。頂点図形は三角両錐体である。

交互のデュオプリズムとしてのデュオアンチプリズムと同様に、2p 角形ジテトラゴルトリアートを交互に配置して p 角形アンチプリズムとテトラヘドロンを作成し、非コアミック三角形両錐体空間を 2 つのテトラヘドロンとして再解釈することで作成された p 角形ダブルアンチプリズムのセットがあります。結果として得られる図形は、 10 角形または 10 角形のジテトラゴルトリアートの交互配置として表される、グランドアンチプリズムとその共役であるペンタグラムダブルアンチプリズム (それぞれ p = 5 と 5/3) の 2 つの場合を除いて、一般に均一ではありません。頂点図形は、スフェノコロナの変形です。

3-3デュオプリズム-1 _22は、コクセターによってk ₂₂級数として表現される一様多面体の次元級数の最初のものです。3-3 デュオプリズムは、2 番目の双平行化 5 単体の頂点図形です。4 番目の図形はユークリッドハニカム2 ₂₂で、最後の図形はコクセター群 [3 ^2,2,3 ]を持つパラコンパクト双曲ハニカム 3 ₂₂です。各漸進的​​一様多面体は、その頂点図形として前の多面体から構築されます。 ${\displaystyle {\bar {T}}_{7}}$

• 多面体と4次元多面体
• 凸正則4次元多面体
• デュオシリンダー
• テッセラクト

• Regular Polytopes、HSM Coxeter、Dover Publications、Inc.、1973年、ニューヨーク、p. 124。
• コクセター、『幾何学の美：12のエッセイ』、ドーバー出版、1999年、ISBN  0-486-40919-8 （第5章：3次元および4次元の正歪多面体とその位相類似体）
  • Coxeter, HSM 「3次元および4次元の正則歪曲多面体」。Proc . London Math. Soc. 43, 33-62, 1937。
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章） 
• NW ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966 年