屈折率

光学において、光学媒体の屈折率（または屈折指数）は、空気または真空中の光の見かけの速度と媒体内の速度の比である。屈折率は、光が物質に入るときに経路がどれだけ曲がるか、つまり屈折するかを決定する。これはスネルの屈折の法則、 n ₁ sin θ ₁ = n ₂ sin θ ₂によって説明され、ここでθ ₁とθ _{2は、屈折率が}n ₁とn ₂の2つの媒体の界面を通過する光線のそれぞれ入射角と屈折角である。屈折率は、界面に到達したときに反射される光の量、全反射の臨界角、その強度（フレネルの方程式）、ブリュースター角も決定する。^[1]

屈折率は、真空中の光の速度と波長を基準にして放射の速度と波長が減少する係数と見ることができます。媒体中の光の速度はv = c/ nであり、同様にその媒体中の波長はλ = λ ₀ / nです。ここで、λ ₀は真空中の光の波長です。これは、真空の屈折率が 1 であることを意味し、波の周波数( f = v / λ ) は屈折率の影響を受けないと仮定しています。 ${\displaystyle n}$

屈折率は波長によって変化することがあります。そのため、白色光は屈折すると構成色に分割されます。これを分散といいます。この効果はプリズムや虹、レンズの色収差として観察できます。吸収性物質中の光の伝播は、複素数値の屈折率を使用して記述できます。 ^[2]虚数部は減衰を処理し、実数部は屈折を考慮します。ほとんどの物質では、屈折率は可視スペクトル全体で波長とともに数パーセント変化します。したがって、 nの単一の値を使用して報告される物質の屈折率は、測定に使用された波長を指定する必要があります。

屈折率の概念は、X線から電波まで、電磁スペクトル全体に適用されます。また、音などの波動現象にも適用できます。この場合、光速の代わりに音速が使用され、真空以外の基準媒体を選択する必要があります。^[3]

レンズ（眼鏡など）の場合、高屈折率の材料で作られたレンズは、屈折率の低い従来のレンズよりも薄く、したがって軽量になります。このようなレンズは、通常、従来のレンズよりも製造コストが高くなります。

光学媒体 2 の別の基準媒体 1 に対する相対屈折率( n ₂₁ ) は、媒体 1 の光速度と媒体 2 の光速度の比で表されます。これは次のように表すことができます。 基準媒体 1 が真空の場合、媒体 2 の屈折率は真空を基準に考慮されます。これは単にn ₂と表され、媒体 2 の絶対屈折率と呼ばれます。 $${\displaystyle n_{21}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}.}$$

光学媒体の絶対屈折率 nは、真空中の光速c =の比として定義されます。299 792 458  m/s、媒体中の光の 位相速度 vです。 cは定数な ので、 n はvに反比例します。 位相速度は波の山または位相が移動する 速度であり、群速度、つまり光のパルスまたは波のエンベロープが移動する速度とは異なる場合があります^{。 [1]}歴史的に、標準化された圧力と温度の空気は、基準媒体として一般的でした。 $${\displaystyle n={\frac {\mathrm {c} }{v}}.}$$$${\displaystyle n\propto {\frac {1}{v}}.}$$

トーマス・ヤングは、 1807 年に「屈折率」という名前を初めて使用し、発明した人物であると思われます。^[4] 同時に、彼はこの屈折力の値を、従来の 2 つの数値の比率ではなく、単一の数値に変更しました。この比率には、見た目が異なるという欠点がありました。ニュートンはこれを「入射角と屈折角の正弦の比率」と呼び、「529 対 396」(または「ほぼ 4 対 3」(水の場合) のように、2 つの数値の比率として書きました。^[5] ホークスビーはこれを「屈折の比率」と呼び、「10000 対 7451.9」(尿の場合) のように、分子が固定された比率として書きました。^[6] ハットンはこれを、1.3358 対 1 (水の場合) のように、分母が固定された比率として書きました。^[7]

ヤングは1807年当時、屈折率を表す記号を使用していませんでした。その後、他の人がn、m、µなどの異なる記号を使い始めました。^{[8] [9] [10]}記号nが徐々に普及しました。

屈折率は、コーシーの式で示されるように、光の波長によっても変化します。この式の最も一般的な形式は 、nが屈折率、λが波長、A、B、Cなどが、既知の波長で測定された屈折率に式を当てはめることによって材料に対して決定できる係数です。係数は通常、真空の波長λに対してマイクロメートル単位で引用されます。 $${\displaystyle n(\lambda )=A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}}+{\frac {C}{\lambda ^{4}}}+\cdots ,}$$

通常は、次の 2 項形式の方程式を使用すれば十分です。 ここで、係数AとB は、この形式の方程式に対して特に決定されます。 $${\displaystyle n(\lambda )=A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}},}$$

可視光の場合、ほとんどの透明媒体の屈折率は 1 から 2 の間です。隣の表にいくつかの例を示します。これらの値は、従来どおり、波長 589ナノメートルのナトリウムの黄色二重線 Dで測定されています。 ^[15]大気圧の気体は密度が低いため、屈折率が 1 に近くなります。ほとんどすべての固体と液体の屈折率は 1.3 を超えますが、エアロゲルは明らかな例外です。エアロゲルは密度が非常に低い固体で、屈折率が 1.002 から 1.265 の範囲で生成できます。^[16]モアッサナイトは、屈折率が 2.65 と、範囲の反対側にあります。ほとんどのプラスチックの屈折率は 1.3 から 1.7 の範囲ですが、一部の高屈折率ポリマーでは 1.76 という値になることがあります。^[17]

赤外線の場合、屈折率はかなり高くなります。ゲルマニウムは、2～14μmで屈折率は約4です。^{[18] 「}トポロジカル絶縁体」と呼ばれる新しいタイプの材料が最近発見されましたが、これは近赤外線から中赤外線の周波数範囲で最大6の高い屈折率を持っています。さらに、トポロジカル絶縁体はナノスケールの厚さであれば透明です。これらの特性は、赤外線光学への応用にとって潜在的に重要です。^[19]

相対性理論によれば、真空中の光速より速く伝わる情報は存在しないが、屈折率が1未満ではあり得ないというわけではない。屈折率は、情報を運ばない光の位相速度を測定するものである。^{[20] [a]}位相速度は波の山が移動する速度であり、真空中の光速より速くなることがあり、その場合屈折率は1未満となる。これは、共鳴周波数付近、吸収媒体、プラズマ、X線で発生する可能性がある。X線領域では、屈折率は1より低いが、1に非常に近い（一部の共鳴周波数付近では例外）。^[21] 例えば、水の屈折率は0.999 999 74 = 1 −2.6 × 10 ⁻⁷の光子エネルギーでのX線放射の場合30  keV（0.04nmの波長）。^[21]

屈折率が 1 未満のプラズマの例としては、地球の電離層が挙げられます。電離層 (プラズマ)の屈折率は 1 未満であるため、プラズマを伝搬する電磁波は「法線から離れて」曲げられ (幾何光学を参照)、電波が地球に向かって屈折して戻ってくるため、長距離無線通信が可能になります。無線伝搬とスカイウェーブも参照してください。^[22]

最近の研究では、負の屈折率を持つ物質の「存在」も実証されており、これは誘電率と透磁率が同時に負の値を持つ場合に発生する可能性があります。 ^{[23]これは、周期的に構成された}メタマテリアルで実現できます。結果として生じる負の屈折（つまり、スネルの法則の逆転）は、スーパーレンズやその他の新しい現象がメタマテリアルによって積極的に開発される可能性を示しています。^{[24] [25]}

原子スケールでは、電磁波の位相速度は物質内で遅くなります。これは、電場が各原子 (主に電子)の電荷に媒体の電気感受性に比例した乱れを生じさせるためです。(同様に、磁場は磁気感受性に比例した乱れを生じさせます。) 電磁場が波の中で振動すると、物質内の電荷は同じ周波数で前後に「揺さぶられる」ことになります。^{[1] : 67}したがって、電荷は同じ周波数の独自の電磁波を放射しますが、通常は位相遅延を伴います。これは、電荷がそれらを駆動する力と位相がずれる可能性があるためです (正弦波駆動調和振動子を参照)。媒体内を伝わる光波は、物質内のこのような寄与すべての巨視的な重ね合わせ (合計)、つまり元の波と、移動するすべての電荷によって放射される波です。この波は通常、元の波と同じ周波数ですが、波長が短い波であり、波の位相速度を遅くします。振動する物質電荷からの放射のほとんどは、入射波を修正し、その速度を変えます。ただし、一部の正味エネルギーは他の方向や他の周波数で放射されます (散乱を参照)。

元の駆動波と電荷運動によって放射される波の相対位相に応じて、いくつかの可能性があります。

• 電子が、電子を揺らす光波と90°位相がずれた光波を放射すると、光波全体の移動速度が遅くなります。これはガラスや水などの透明な物質の通常の屈折であり、実数で1より大きい屈折率に相当します。^{[26] [ページが必要]}
• 電子が、電子を揺らす光波と位相が 270° ずれた光波を放射すると、光波はより速く伝わる。これは「異常屈折」と呼ばれ、吸収線の近く (通常は赤外線スペクトル)、通常の物質のX 線、地球の電離層の電波で観測される。これは1 未満の誘電率に相当し、屈折率も 1 未満になり、光の位相速度は真空中の光速 cよりも速くなる(上で説明したように、信号速度はc未満であることに注意)。応答が十分に強く位相がずれている場合、金属やプラズマで観測されるように、誘電率と虚屈折率は負の値になる。^{[26] [ページが必要]}
• 電子が、電子を揺さぶる光波と 180° 位相がずれた光波を放射すると、元の光と破壊的に干渉して、全体の光強度が低下します。これは不透明物質における光吸収であり、虚数屈折率に相当します。
• 電子が、電子を揺さぶる光波と同位相の光波を放射すると、光波は増幅されます。これはまれですが、レーザーでは誘導放出により発生します。これは、吸収の反対の符号を持つ虚数屈折率に対応します。

可視光周波数におけるほとんどの材料では、位相は 90° から 180° の間であり、屈折と吸収の両方の組み合わせに対応します。

物質の屈折率は、光の波長（および周波数）によって異なります。 ^[27]これは分散と呼ばれ、プリズムや虹が白色光をその構成スペクトル色に分割する原因となります。^[28]屈折率は波長によって変化するため、光が1つの物質から別の物質に移動するときに屈折角も変化します。分散により、レンズの焦点距離も波長に依存します。これは色収差の一種であり、画像システムでは補正が必要になることがよくあります。物質が光を吸収しないスペクトル領域では、屈折率は波長の増加とともに減少する傾向があり、したがって周波数とともに増加します。これは「異常分散」と呼ばれ、屈折率が波長とともに増加するのとは対照的です。 ^[27]可視光の場合、正常分散とは、青色光の屈折率が赤色光よりも高いことを意味します。

可視光線範囲の光学系では、レンズ材料の分散量はアッベ数で定量化されることが多い。^[28] 屈折率の波長依存性をより正確に記述するには、セルマイヤーの式を使用することができる。^[29]これは分散を記述するのに適した経験式である。セルマイヤー係数は、表の中で屈折率の代わりに引用されることが多い。 $${\displaystyle V={\frac {n_{\mathrm {黄} }-1}{n_{\mathrm {青} }-n_{\mathrm {赤} }}}.}$$

分散のため、屈折率を測定する光の真空波長を指定することが通常は重要です。通常、測定は明確に定義されたさまざまなスペクトル輝線で行われます。

光学ガラスの製造業者は一般に、ヘリウムの黄色スペクトル線における主屈折率を定義している（587.56 nm ) と、水銀の緑色のスペクトル線 (546.07 nm）のd線とe線と呼ばれる2つの波長の光を吸収する。アッベ数は両方に対して定義されており、V _dとV _eで示される。ガラスメーカーが提供するスペクトルデータも、この2つの波長についてはより正確であることが多い。^{[30] [31] [32] [33]}

d線とe線は両方ともシングレットであるため、スペクトルゴニオメトリック法などの非常に正確な測定に適しています。^{[34] [35]}

実際のアプリケーションでは、屈折率の測定はアッベ屈折計などのさまざまな屈折計で行われます。このような典型的な市販機器の測定精度は0.0002のオーダーです。^{[36] [37]}屈折計は通常、ナトリウム二重項_D（589.29 nm）、これは実際にはナトリウムの2つの隣接する黄色のスペクトル線の中間点です。ヘリウム（d）とナトリウム（D）の黄色のスペクトル線は1.73 nmの差は、一般的な屈折計では無視できると考えられますが、精度が重要な場合には混乱を招き、エラーにつながる可能性があります。

3つの典型的な主屈折率の定義は用途や地域によって異なるため^[38]、曖昧さを避けるために適切な下付き文字を使用する必要があります。

光が媒体を通過するとき、その一部は必ず吸収されます。これは、複素屈折率を定義することで簡単に考慮できます。 $${\displaystyle {\underline {n}}=n+i\kappa .}$$

ここで、実数部nは屈折率で位相速度を示し、虚数部κは消衰係数^{[39] : 36}と呼ばれ、電磁波が物質を伝播する際の減衰量を示します。^{[1] : 128}これは吸収係数、、と次式で関連しています。 ^{[39] : 41} これらの値は、測定に使用される光の周波数によって異なります。 ${\displaystyle \alpha _{\text{abs}}}$ $${\displaystyle \alpha _{\text{abs}}(\omega )={\frac {2\omega \kappa (\omega )}{c}}}$$

κ が吸収に対応することは、この屈折率をx方向に伝わる平面電磁波の電場の式に代入することでわかります。これは、複素波数k を複素屈折率nにk = 2π n / λ _{0 （} λ ₀は真空の波長）で関連付けることで実行できます。これをx方向に伝わる波の平面波の式に代入すると、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (x,t)&=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k }}x-\omega t)}\right]\\&=\演算子名 {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(2\pi (n+i\kappa )x/\lambda _{0}-\omega t)}\right]\\&=e^{-2\pi \kappa x/\lambda _{0}}\operatorname {Re } \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kx-\omega t)}\right].\end{aligned}}}$$

ここで、 κはランベルト・ビールの法則から予想されるように指数関数的に減少することがわかります。強度は電場の2乗に比例するため、強度は物質の深さに依存します。

$${\displaystyle I(x)=I_{0}e^{-4\pi \kappa x/\lambda _{0}}.}$$

したがって吸収係数はα = 4π κ / λ ₀、^{[1] : 128}であり、浸透深さ（強度が1/ e倍に減少する距離）はδ _p = 1/ α = λ ₀ /4π κである。

nとκ はどちらも周波数に依存します。ほとんどの場合、κ > 0 (光は吸収される) またはκ = 0 (光は損失なく永遠に進む) です。特殊な状況、特にレーザーの増幅媒体では、 κ < 0となり、光の増幅に対応する こともあります。

代替の規則では、 n = n − iκの代わりにn = n + iκ を使用しますが、κ > 0は依然として損失に対応します。したがって、これら 2 つの規則は矛盾しており、混同しないでください。この違いは、正弦波の時間依存性をRe[exp(− iωt )]と定義するか、 Re[exp(+ iωt )]と定義するかに関係しています。不透明度の数学的記述を参照してください。

材料の誘電損失とゼロでない DC 伝導率は吸収を引き起こします。ガラスなどの優れた誘電材料は DC 伝導率が極めて低く、低周波数では誘電損失も無視できるため、吸収はほとんど発生しません。ただし、高周波数 (可視光など) では、誘電損失によって吸収が大幅に増加し、これらの周波数に対する材料の透明性が低下する可能性があります。

複素屈折率の実数部nと虚数部κ は、クラマース・クローニッヒの関係式によって結び付けられています。1986 年に、AR Forouhi と I. Bloomer は、非晶質材料に適用可能な、光子エネルギーEの関数としてκ を表す式を導きました。Forouhi と Bloomer は、クラマース・クローニッヒの関係式を適用して、 Eの関数としてのnを表す対応する式を導きました。1988 年に Forouhi と Bloomer は、同じ形式論を結晶材料に適用しました。

屈折率と消衰係数nとκ は、通常、反射率R、透過率T、またはエリプソメトリパラメータψとδなど、それらに依存する量から測定されます。このような測定量からnとκを決定するには、 nとκ の有効な物理モデルに基づいてRまたはT、またはψとδの理論式を作成する必要があります。回帰分析を使用して、測定されたRまたはT、またはψとδに理論モデルを当てはめると、nとκ を推定できます。

X線や極端紫外線の場合、複素屈折率は1からわずかにずれるだけで、実部は通常1より小さい。したがって、通常はn = 1 − δ + iβ（または上記の代替表記法ではn = 1 − δ − iβ ^{）と表記される。 [2]}原子共鳴周波数よりはるかに高い周波数では、デルタは次のように表される 。 ここでr ₀は古典的な電子半径、λはX線波長、n _{e は}電子密度である。電子密度は、原子あたりの電子数Zに原子密度を掛け合わせたものにすぎないと仮定できるが、屈折率をより正確に計算するには、Zを複素原子形状係数に置き換える必要がある。したがって、 δとβが通常次のオーダーで ある場合、$${\displaystyle \delta ={\frac {r_{0}\lambda ^{2}n_{\mathrm {e} }}{2\pi }}}$$ ${\displaystyle f=Z+f'+if''}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta &={\frac {r_{0}\lambda ^{2}}{2\pi }}(Z+f')n_{\text{atom}}\\\beta &={\frac {r_{0}\lambda ^{2}}{2\pi }}f''n_{\text{atom}}\end{aligned}}}$$10 ⁻⁵および10 ⁻⁶。

光路長（OPL）は、光がシステムを通過する経路の幾何学的長さdと、光が伝播する媒体の屈折率の積である。 ^[40] これは、光の位相を決定し、伝播する光の干渉と回折を支配するため、光学において重要な概念である。フェルマーの原理によれば、光線は光路長を最適化する曲線として特徴付けることができる。 ^{[1] : 68–69}${\text{OPL}}=nd.$

光が一つの媒体から別の媒体へ移動すると、方向が変わります。つまり、屈折します。屈折率n ₁の媒体から屈折率n ₂の媒体へ、表面法線に対する入射角θ ₁で移動する場合、屈折角θ ₂はスネルの法則から計算できます。^[41] $${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}.}$$

光が屈折率の高い物質に入ると、屈折角は入射角よりも小さくなり、光は表面の法線に向かって屈折します。屈折率が高いほど、光は法線方向に近づきます。屈折率の低い媒体を通過すると、光は法線から離れて表面に向かって屈折します。

スネルの法則を満たす角度θ ₂がない場合、 光は透過できず、代わりに全反射を受ける。^{[42] : 49–50}これは、光学的に密度の低い材料、つまり屈折率の低い材料に入射した場合にのみ発生します。全反射を得るには、入射角θ _{1 が}^{臨界角[43]}よりも大きくなければなりません。$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}>1,}$$ $${\displaystyle \theta _{\mathrm {c} }=\arcsin \!\left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)\!.}$$

透過光とは別に反射光もある。反射角は入射角に等しく、反射される光の量は表面の反射率によって決まる。反射率は屈折率と入射角からフレネル方程式で計算でき、垂直入射の場合は^[42]に簡約される^。44

$${\displaystyle R_{0}=\left|{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right|^{2}\!.}$$

空気中の一般的なガラスでは、n ₁ = 1、n ₂ = 1.5であり、入射光の約 4% が反射されます。^[44]他の入射角では、反射率は入射光の偏光にも依存します。ブリュースター角と呼ばれる特定の角度では、p偏光（入射面内に電場がある光）は完全に透過します。ブリュースター角は、界面の 2 つの屈折率から次のように計算できます^{[1] : 245} $${\displaystyle \theta _{\mathsf {B}}=\arctan \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)~.}$$

レンズの焦点距離は、屈折率nとレンズ表面の曲率半径R1とR2によって決まります。空気中の薄いレンズ_のパワーは、_レンズメーカーの公式の簡略版で与えられます。^[45] ここでfはレンズの焦点距離です。 $${\displaystyle {\frac {1}{f}}=(n-1)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right]\ ,}$$

優れた光学顕微鏡の解像度は、主に対物レンズの開口数（A _Num）によって決まります。開口数は、サンプルとレンズの間の空間を満たす媒体の屈折率nと、カールソン（2007）によると光の半集光角θによって決まります。^{[46] : 6} $${\displaystyle A_{\mathrm {Num} }=n\sin \theta ~.}$$

このため、顕微鏡で高解像度を得るためには、油浸法が一般的に用いられている。この技術では、対物レンズを高屈折率の油浸液に浸し、観察対象のサンプルに当てる。^{[46] : 14}

電磁波の屈折率は、 ε _{r が}物質の比誘電率、μ _{r が}比透磁率である場合 に等しい。^{[47] : 229}屈折率は光学ではフレネル方程式やスネルの法則で使用され、比誘電率と透磁率はマクスウェル方程式や電子工学で使用されます。天然に存在する物質のほとんどは光周波数では非磁性であり、μ _{r は}1 に非常に近いため、n はほぼ√ ε _rです。^[48]この場合、複素比誘電率ε _{r （実部}ε _rおよび虚部ɛ̃ _r）と複素屈折率n（実部nおよび虚部κ（後者は「消衰係数」と呼ばれる））は、次の関係に従います。 $${\displaystyle n={\sqrt {\varepsilon _{\mathrm {r} }\mu _{\mathrm {r} }}},}$$$${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}_{\mathrm {r} }=\varepsilon _{\mathrm {r} }+i{\tilde {\varepsilon }}_{\mathrm {r} }={ \underline {n}}^{2}=(n+i\kappa )^{2},}$$

そしてそれらの構成要素は次のように関連している：^[49] $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\mathrm {r} }&=n^{2}-\kappa ^{2}\,,\\{\tilde {\varepsilon }}_{\mathrm {r} }&=2n\kappa \,,\end{aligned}}}$$

そして：

$${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\sqrt {\frac {|{\underline {\varepsilon }}_{\mathrm {r} }|+\varepsilon _{\mathrm {r} }}{2}}},\\\kappa &={\sqrt {\frac {|{\underline {\varepsilon }}_{\mathrm {r} }|-\varepsilon _{\mathrm {r} }}{2}}}.\end{aligned}}}$$

ここで は複素係数です。 ${\displaystyle |{\underline {\varepsilon }}_{\mathrm {r} }|={\sqrt {\varepsilon _{\mathrm {r} }^{2}+{\tilde {\varepsilon }}_{\mathrm {r} }^{2}}}}$

非導電性媒体中の平面電磁波の波動インピーダンスは次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}Z&={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}={\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {0} }\mu _{\mathrm {r} }}{\varepsilon _{\mathrm {0} }\varepsilon _{\mathrm {r} }}}}={\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {0} }}{\varepsilon _{\mathrm {0} }}}}{\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {r} }}{\varepsilon _{\mathrm {r} }}}}\\&=Z_{0}{\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {r} }}{\varepsilon _{\mathrm {r} }}}}\\&=Z_{0}{\frac {\mu _{\mathrm {r} }}{n}}\end{aligned}}}$$

ここで、Z ₀は真空波インピーダンス、μとεは媒体の絶対透磁率と誘電率、ε _rは材料の比誘電率、μ _{r は}比透磁率です。

非磁性媒体（つまりμ _r = 1の材料）では、${\displaystyle Z={Z_{0} \over n}}$${\displaystyle n={Z_{0} \over Z}\,.}$

したがって、非磁性媒体の屈折率は、真空波インピーダンスと媒体の波インピーダンスの比になります。

2つの媒体間の反射率R _0は、波動インピーダンスと屈折率の両方で次のように表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{0}&=\left|{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right|^{2}\\&=\left|{\frac {Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}}\right|^{2}\,.\end{aligned}}}$$

一般的に、ガラスの屈折率は密度とともに増加すると想定されています。しかし、すべてのケイ酸塩ガラスおよびホウケイ酸塩ガラスにおいて、屈折率と密度の間には全体的に直線関係があるわけではありません。Li ₂ OやMgOなどの軽金属酸化物を含むガラスでは、比較的高い屈折率と低い密度が得られますが、右の図に示すように、 PbOやBaO を含むガラスでは逆の傾向が見られます。

多くの油（オリーブオイルなど）やエタノールは、密度と屈折率の一般的な相関関係に反して、水よりも屈折率は高いが密度は低い液体の例です。

空気の場合、n - 1 は化学組成が変化しない限り、ガスの密度に比例します。^[51]これは、n - 1 が圧力にも比例し、理想気体の場合は温度に反比例することを意味します。液体についても、気体の場合と同じことが観察されます。たとえば、アルカンの屈折率は密度に対してほぼ完全に直線的に増加します。一方、カルボン酸の場合、密度は同族列内の C 原子の数が増えるにつれて減少します。この発見を簡単に説明すると、重要なのは密度ではなく、発色団のモル濃度であるということです。同族列では、これが CH 結合の励起です。アウグスト・ビールは、1862 年にハンス・H・ランドルトに同族列の化合物の屈折率を調べるようにアドバイスしたとき、それを直感的に知っていたに違いありません。^[52]ランドルトは分散理論がまだ初期段階であったためこの関係を発見することはできませんでしたが、単一原子にも割り当てることができるモル屈折率というアイデアは持っていました。^[53]この概念に基づいて、有機材料の屈折率を計算することができます。

時々、「群速度屈折率」、通常は群指数と呼ばれるものが定義されます: ^[要出典] ここでv _{g は}群速度です。この値は、常に位相速度に対して定義されるnと混同しないでください。分散が小さい場合、群速度は関係式^[42]によって位相速度にリンクできます^{: 22} ここでλは媒体内の波長です。この場合、群指数は屈折率の波長依存性の観点から次のように表すことができます。 $${\displaystyle n_{\mathrm {g} }={\frac {\mathrm {c} }{v_{\mathrm {g} }}},}$$ $${\displaystyle v_{\mathrm {g} }=v-\lambda {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \lambda }},}$$$${\displaystyle n_{\mathrm {g} }={\frac {n}{1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \lambda }}}}.}$$

媒体の屈折率が（媒体内の波長ではなく）真空波長の関数としてわかっている場合、群速度と屈折率の対応する式は（分散のすべての値に対して）^[54] であり、λ0_は真空中の波長である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\mathrm {g} }&=\mathrm {c} \!\left(n-\lambda _{0}{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \lambda _{0}}}\right)^{-1}\!,\\n_{\mathrm {g} }&=n-\lambda _{0}{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \lambda _{0}}},\end{aligned}}}$$

フィゾーの実験で示されているように、光が移動する媒体を通過するとき、光と同じ方向に 速度vで移動する観測者に対する光の速度は次のようになります。$${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\mathrm {c} }{n}}+{\frac {v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}{1+{\frac {v}{cn}}}}\\&\approx {\frac {\mathrm {c} }{n}}+v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\,.\end{aligned}}}$$

屈折率nの媒体における光子の運動量は複雑で議論の多い問題であり、2つの異なる値が異なる物理的解釈を持つ。^[55]

物質の屈折率は、ローレンツ・ローレンツ方程式によってその分極率と関連付けられるか、グラッドストン・デールの関係によってその成分のモル屈折率と関連付けられます。

大気の応用では、屈折率はN = n – 1と定義され、しばしば^[56] N = 10 ⁶ ( n – 1)^[57][58]またはN = 10⁸ ( n – 1);^[59]空気の屈折率nは1から最大で1万分の数程度ずれるため、乗算係数が使用されます。

一方、モル屈折率は、物質1モルの全分極率の尺度であり、屈折率から次のように計算できる。 ここでρは密度、 Mはモル質量である。 ^{[42] ：93}$${\displaystyle A={\frac {M}{\rho }}\cdot {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\ ,}$$

これまで、屈折は空間的に一定のスカラー屈折率を含む線形方程式によって与えられると仮定してきました。これらの仮定はさまざまな方法で崩れる可能性があり、次のサブセクションで説明します。

いくつかの物質では、屈折率は光の偏光と伝播方向に依存します。 ^{[60]これは}複屈折性または光学異方性と呼ばれます。

最も単純な形式である一軸複屈折では、物質には特定の方向が 1 つだけ存在します。この軸は物質の光軸として知られています。 ^{[1] : 230}この軸に垂直な直線偏光の光は常屈折率n _{o を}受け、平行に偏光した光は異常屈折率n _{e を}受けます。^{[1] : 236}物質の複屈折は、これらの屈折率の差、Δ n = n _e − n _oです。^{[1] : 237}光軸方向に伝搬する光は、屈折率n _oが偏光とは無関係であるため、複屈折の影響を受けません。他の伝搬方向では、光は 2 つの直線偏光ビームに分割されます。光軸に垂直に進む光の場合、ビームは同じ方向になります。^{[1] : 233}これは直線偏光の偏光方向を変えたり、波長板を使って直線偏光、円偏光、楕円偏光を変換したりするのに使えます。^{[1] : 237}

多くの結晶は自然に複屈折性がありますが、プラスチックやガラスなどの等方性材料も、外力や電場などによって優先方向を導入することで複屈折性にすることができます。この効果は光弾性と呼ばれ、構造の応力を明らかにするために使用できます。複屈折材料は、交差した偏光子の間に配置されます。複屈折が変化すると偏光が変化し、それによって 2 番目の偏光子を通過する光の割合が変化します。

結晶光学の分野で説明されるより一般的な三屈折材料の場合、誘電率はランク 2テンソル(3 x 3 の行列) です。この場合、光の伝播は主軸に沿った偏光を除いて屈折率で単純に説明することはできません。

高強度光の強い電界（レーザーの出力など）により、光が媒体を通過するときに屈折率が変化し、非線形光学が生じることがあります。^{[1] : 502}屈折率が電界に対して 2 乗的に変化する（強度に対して線形に変化する）場合、それは光カー効果と呼ばれ、自己収束や自己位相変調などの現象を引き起こします。^{[1] : 264}屈折率が電界に対して線形に変化する（非自明な線形係数は反転対称性を持たない材料でのみ可能）場合、それはポッケルス効果として知られています。^{[1] : 265}

媒体の屈折率が一定ではなく、位置によって徐々に変化する場合は、その材料は勾配屈折率（GRIN）媒体と呼ばれ、勾配屈折率光学によって説明されます。^{[1] : 273}このような媒体を通過する光は曲げたり焦点を合わせたりすることができ、この効果を利用してレンズ、一部の光ファイバー、およびその他のデバイスを製造することができます。光学システムの設計にGRIN要素を導入すると、システムを大幅に簡素化でき、全体的なパフォーマンスを維持しながら要素の数を3分の1ほど削減できます。^{[1] : 276}人間の目の水晶体は、内核の約1.406から密度の低い皮質の約1.386まで変化する屈折率を持つGRINレンズの例です。 ^{[1] : 203}一般的な蜃気楼のいくつかは、空間的に変化する空気の屈折率によって引き起こされます。

液体や固体の屈折率は屈折計で測定できる。屈折計では通常、何らかの屈折角または全反射の臨界角を測定する。市販された最初の実験室用屈折計は、19世紀後半にエルンスト・アッベによって開発された。 ^[61] 同じ原理が現在でも使用されている。この計器では、測定対象の液体の薄い層を2つのプリズムの間に配置します。光は、最大90°の入射角、つまり表面と平行な光線で液体に照射されます。2つ目のプリズムの屈折率は液体よりも高く、光が全反射の臨界角よりも小さい角度でのみプリズムに入るようにする必要があります。この角度は、望遠鏡をのぞくか、 [^{説明が必要]} 、レンズの焦点面に置いたデジタル光検出器を使用して測定できます。液体の屈折率nは最大透過角θからn = n _G sin θとして計算できる。ここでn _Gはプリズムの屈折率である。^[62]

このタイプの装置は、化学研究室で物質の識別や品質管理によく使用されます。ハンドヘルド型は、例えばワイン製造業者がブドウジュースの糖度を測定するために農業で使用され、インラインプロセス屈折計は、例えば化学および製薬業界でプロセス制御に使用されます。

宝石学では、異なるタイプの屈折計を使用して宝石の屈折率と複屈折を測定します。宝石は高屈折率プリズムの上に置かれ、下から照らされます。宝石とプリズムの光学的な接触を実現するために、高屈折率接触液が使用されます。入射角が小さい場合、ほとんどの光が宝石に透過しますが、角度が大きい場合はプリズム内で全反射が発生します。臨界角は通常、望遠鏡をのぞいて測定されます。^[63]

染色されていない生物学的構造は、ほとんどの細胞構造がかなりの量の光を減衰させないため、明視野顕微鏡では大部分が透明に見えます。しかし、これらの構造を構成する材料の変動は屈折率の変動にも対応しています。次の技術は、このような変動を測定可能な振幅の差に変換します。

サンプル内の屈折率の空間的変化を測定するには、位相コントラスト画像化法が使用されます。これらの方法では、サンプルから出る光波の位相の変化を測定します。位相は光線が通過した光路長に比例し、光線の経路に沿った屈折率の積分の尺度となります。位相は光周波数またはより高い周波数では直接測定できないため、参照ビームとの干渉によって強度に変換する必要があります。可視スペクトルでは、ゼルニケ位相コントラスト顕微鏡、微分干渉コントラスト顕微鏡(DIC)、または干渉法を使用してこれが行われます。

ゼルニケ位相差顕微鏡法は、サンプルのフーリエ平面に位相シフト環を設けて画像の低空間周波数成分に位相シフトを導入し、画像の高空間周波数部分が低周波参照ビームと干渉できるようにします。DICでは、照明は2つのビームに分割され、それぞれ異なる偏光、異なる位相シフト、およびわずかに異なる量で横方向にシフトされます。標本を通過した後、2つの部分が干渉し、横方向のシフトの差の方向の光路長の微分の画像が得られます。^{[46]干渉法では、照明は}部分反射ミラーによって2つのビームに分割されます。ビームの1つはサンプルを通過してから結合され、干渉して位相シフトの直接画像を生成します。光路長の変化が波長よりも大きい場合、画像には縞模様が含まれます。

X線領域におけるサンプルの屈折率の2Dまたは3D空間分布を決定するための位相コントラストX線イメージング技術がいくつか存在する。 ^[64]

屈折率は、あらゆる光学機器の部品の重要な特性です。屈折率によって、レンズの集光力、プリズムの分散力、レンズコーティングの反射率、光ファイバーの光ガイド特性が決まります。屈折率は物質の基本的な物理的特性であるため、特定の物質を識別したり、その純度を確認したり、濃度を測定したりするためによく使用されます。屈折率は、固体、液体、気体の測定に使用されます。最も一般的には、水溶液中の溶質の濃度を測定するために使用されます。また、個々の石が示す独特のシャトヤンスにより、異なるタイプの宝石を区別するための便利なツールとしても使用できます。屈折計は、屈折率を測定するために使用される機器です。砂糖溶液の場合、屈折率を使用して糖度を決定できます ( Brixを参照)。

• 空気の屈折率を決定するためのNIST計算機
• 誘電体材料
• サイエンスワールド
• Filmetrics のオンライン データベース 屈折率と吸収係数情報の無料データベース
• RefractiveIndex.INFO データのオンラインプロットとパラメータ化を特徴とする屈折率データベース
• LUXPOP 2013-09-07にWayback Machineでアーカイブ薄膜とバルクの屈折率とフォトニクス計算
• ファインマン物理学講義第2巻第32章: 高密度物質の屈折率