薄型レンズ

光学において、薄レンズとは、レンズの2つの表面間の光軸上の距離（厚さ）が、レンズ表面の曲率半径に比べて無視できるほど小さいレンズのことである。厚さが無視できないレンズは、厚レンズと呼ばれることもある。

薄レンズ近似は、レンズの厚みによる光学効果を無視し、光線追跡計算を簡略化します。光線伝達行列解析などの手法では、近軸近似と組み合わせて用いられることがよくあります。

空気中におけるレンズの焦点距離fは、レンズメーカーの式で与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{f}}=(n-1)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {(n-1)d}{nR_{1}R_{2}}}\right],}$

ここで、nはレンズ材料の屈折率、 R ₁とR ₂は2 つの面の曲率半径、dはレンズの厚さです。ここで、 R ₁は、最初の面が凸面の場合は正、凹面の場合は負とします。レンズの背面では符号が反転し、R ₂は凹面の場合は正、凸面の場合は負となります。これは任意の符号規約であり、半径に異なる符号を選択​​する著者もおり、その場合焦点距離の式が変わります。

薄いレンズの場合、dは曲率半径 ( R ₁またはR _{2 ) のいずれかよりもはるかに小さい。このような条件下では、レンズメーカー方程式の最後の項は無視できるようになり、空気中の薄いレンズの焦点距離は}^{[ 1 ] [ 2 ]}で近似できる。

${\displaystyle {\frac {1}{f}}\approx \left(n-1\right)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right].}$

スネルの法則を用いた導出

半径の第１面を持つ薄いレンズを考える${\textstyle R}$そして、屈折率を持つ材料で作られた平らな背面${\textstyle n}$。

スネルの法則を適用すると、最初の表面に入射した光は次のように屈折する。${\displaystyle \sin i=n\sin r_{1}}$、 どこ${\displaystyle i}$は界面への入射角であり、${\displaystyle r_{1}}$は屈折角です。

2番目の表面については、${\displaystyle n\sin r_{2}=\sin e}$、 どこ${\displaystyle r_{2}}$は入射角であり、${\displaystyle e}$は屈折角です。

小さな角度の場合、${\textstyle \sin x\approx x}$問題の幾何学的構造は次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}e&\approx nr_{2}\\&=n(i-r_{1})\\&\approx n(i-{\frac {i}{n}})\end{aligned}}}$$

入射光線が光軸と平行で距離が${\textstyle h}$そこから、 $${\displaystyle \sin i={\frac {h}{R}}\implies i\approx {\frac {h}{R}}.}$$

上記の式に代入すると、 $${\displaystyle e\approx {\frac {h}{R}}(n-1).}$$

この光線は光軸を距離で横切る。${\displaystyle f}$によって与えられた $${\displaystyle \tan e={\frac {h}{f}}\implies e\approx {\frac {h}{f}}}$$

2つの式を組み合わせると${\textstyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{R}}(n-1)}$[ ^{3 ]​}

半径の2つのレンズの場合、${\textstyle R_{1}}$そして${\textstyle -R_{2}}$レンズ同士が近接して配置されている場合、焦点距離の逆数を足し合わせることで、薄レンズの公式が得られます。

$${\displaystyle {\frac {1}{f}}=\left(n-1\right)\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$$

近軸光線近似では、特定の光線は薄いレンズを通過する際に単純な規則に従います。

• レンズの片側から軸に平行に入射する光線はすべて焦点に向かって進む。${\displaystyle f_{2}}$反対側（図中の赤色部分）。
• 焦点を通過した後レンズに到達する光線${\displaystyle f_{1}}$前面では、反対側（青色）では軸と平行に出てくる。
• レンズの中心を通過する光線は、方向を変えません（緑色）。

レンズの前面にある物体上の同じ点（例えば上面）から3本の光線をたどると、それらの交点が物体の像上の対応する点の位置を示します。これらの光線の経路をたどることで、物体距離s _oと像距離s _i（これらの距離はレンズを基準としています）の関係は次のようになります。

${\displaystyle {1 \over s_{o}}+{1 \over s_{i}}={1 \over f}}$

これはガウス薄レンズ方程式として知られています。ガウス薄レンズ方程式の符号規約は次のように記述されます。^{[ 4 ] [ 2 ]}

他にも、デカルト座標系における符号規約などがあり、その場合、薄レンズの式は次のように表されます。$${\displaystyle {1 \over s_{o}}+{1 \over f}={1 \over s_{i}}.}$$厚いレンズの場合、同じ形式のレンズ方程式が適用可能であり、方程式内のパラメータはレンズの主平面に関するものであるという修正が加えられる。 ^{[ 5 ]}

スカラー波動光学では、レンズは波面の位相をシフトさせる部分です。数学的には、これは波面に次の関数を掛けることとして理解できます。^{[ 6 ]}

${\displaystyle \exp \left({\frac {2\pi i}{\lambda }}{\frac {r^{2}}{2f}}\right)}$。