自己位相変調

自己位相変調（SPM）は、光と物質の相互作用による非線形光学効果です。光の超短パルスが媒体中を伝わると、光カー効果により媒体の屈折率が変化します。^[1]この屈折率の変化によりパルスの位相シフトが発生し、パルスの周波数スペクトルが変化します。

自己位相変調は、レーザーや光ファイバー通信システムなど、短く強力な光パルスを使用する光学システムにおいて重要な効果です。^[2]

生物学的薄膜中を伝播する非線形音波においても自己位相変調が報告されており、その位相変調は脂質膜の弾性特性の変化によって生じる。 ^[3]

等価低域電界A(z)の距離zに沿った発展は、分散がない場合の非線形シュレーディンガー方程式に従う: ^[4]

${\displaystyle {\frac {dA(z)}{dz}}=-j\gamma \left|A(z)\right|^{2}A(z)}$

ここで、j は虚数単位、γ は媒体の非線形係数です。右辺の 3 次非線形項はカー効果と呼ばれ、フーリエ変換の定義で使用されるエンジニアの表記法に従って-jが乗算されます。

電場の強さはzに沿って不変です。

${\displaystyle {\frac {d|A|^{2}}{dz}}={\frac {dA}{dz}}A^{*}+A{\frac {dA^{*}}{dz }}=0}$

*は活用を表します。

電力は不変なので、カー効果は位相回転としてのみ現れます。極座標では、次のようになります。 ${\displaystyle A=|A|e^{j\varphi }}$

${\displaystyle {\frac {d|A|e^{j\varphi }}{dz}}=\underbrace {\frac {d|A|}{dz}} _{=0}e^{j\varphi }+j|A|e^{j\varphi }{\frac {d\varphi }{dz}}=-j\gamma \左|A(z)\右|^{3}e^{j\varphi }}$

つまり:

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dz}}=-\gamma |A|^{2}.}$

したがって、座標zにおける位相φ は次のようになります。

${\displaystyle \varphi (z)=\varphi (0)-\underbrace {\gamma \left|A(0)\right|^{2}z} _{\mathrm {SPM} }.}$

このような関係は、SPM が電界の力によって誘発されることを強調しています。

減衰 αがある場合、伝播方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {dA(z)}{dz}}=-{\frac {\alpha }{2}}A(z)-j\gamma \left|A(z)\right|^{2 }A(z)}$

解決策は次のとおりです。

${\displaystyle A(z)=A(0)e^{-{\frac {\alpha }{2}}z}e^{-j\gamma |A(0)|^{2}L_{\mathrm {eff} }(z)}}$

ここで有効長^[4]と呼ばれ、次のように定義されます。 ${\displaystyle L_{\mathrm {eff} }(z)}$

${\displaystyle L_{\mathrm {eff} }(z)=\int _{0}^{z}e^{-\alpha x}\mathrm {d} x={\frac {1-e^{- \アルファ z}}{\アルファ }}.}$

したがって、減衰により、SPM は均質媒体内で距離に沿って無限に増加するのではなく、最終的には次のように飽和します。

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow +\infty }\varphi (z)=\varphi (0)-\gamma |A(0)|^{2}{\frac {1}{\alpha }}。 }$

分散が存在する場合、カー効果は分散の量に応じて、短い距離でのみ位相シフトとして現れます。

ガウス形状で一定位相の超短パルスの場合、時刻tにおける強度はI ( t )で表されます。

${\displaystyle I(t)=I_{0}\exp \left(-{\frac {t^{2}}{\tau ^{2}}}\right)}$

ここで、I ₀はピーク強度、τ はパルス持続時間の半分です。

パルスが媒体内を伝わる場合、光カー効果により強度に応じて屈折率の変化が生じます。

${\displaystyle n(I)=n_{0}+n_{2}\cdot I}$

ここで、n ₀は線形屈折率、n ₂は媒体の 2 次非線形屈折率です。

パルスが伝播するにつれて、媒体内の任意の 1 点における強度が上昇し、パルスが通過するにつれて低下します。これにより、時間によって変化する屈折率が生成されます。

${\displaystyle {\frac {dn(I)}{dt}}=n_{2}{\frac {dI}{dt}}=n_{2}\cdot I_{0}\cdot {\frac {-2t}{\tau ^{2}}}\cdot \exp \left({\frac {-t^{2}}{\tau ^{2}}}\right).}$

この屈折率の変化により、パルスの瞬間位相にシフトが生じます。

${\displaystyle \phi (t)=\omega _{0}t-kz=\omega _{0}t-{\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}\cdot n(I)L}$

ここで、およびはパルスの搬送周波数と（真空）波長であり、およびはパルスが伝播した距離です。 ${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \lambda _{0}}$${\displaystyle L}$

位相シフトはパルスの周波数シフトをもたらします。瞬間周波数ω( t )は次のように表されます。

${\displaystyle \omega (t)={\frac {d\phi (t)}{dt}}=\omega _{0}-{\frac {2\pi L}{\lambda _{0}}}{\frac {dn(I)}{dt}},}$

上記のdn / dtの式から、次のようになります。

${\displaystyle \omega (t)=\omega _{0}+{\frac {4\pi Ln_{2}I_{0}}{\lambda _{0}\tau ^{2}}}\cdot t\cdot \exp \left({\frac {-t^{2}}{\tau ^{2}}}\right).}$

ω( t ) をプロットすると、パルスの各部分の周波数シフトが示されます。前縁は低周波数 ("赤い" 波長) にシフトし、後縁は高周波数 ("青い" 波長) にシフトしますが、パルスのピーク部分はシフトしません。パルスの中央部分 ( t = ±τ/2 の間) では、ほぼ線形の周波数シフト (チャープ) があり、次の式で表されます。

${\displaystyle \omega (t)=\omega _{0}+\alpha \cdot t}$

ここでαは:

${\displaystyle \alpha =\left.{\frac {d\omega }{dt}}\right|_{0}={\frac {4\pi Ln_{2}I_{0}}{\lambda _{0}\tau ^{2}}}.}$

SPM によって生成された余分な周波数がパルスの周波数スペクトルを対称的に広げることは明らかです。時間領域では、パルスのエンベロープは変化しませんが、実際の媒体では、分散の影響が同時にパルスに作用します。^{[5] [6]}通常の分散領域では、パルスの「赤い」部分は「青い」部分よりも速度が速いため、パルスの前面は背面よりも速く移動し、時間的にパルスが広がります。異常分散領域では、その逆が当てはまり、パルスは時間的に圧縮され、短くなります。この効果は、ある程度 (スペクトルに穴が開くまで) 利用して、超短パルス圧縮を生成することができます。

同様の分析は、ほとんどの超短パルスレーザーによって生成される双曲正弦二乗 (sech ² ) パルス プロファイルなど、任意のパルス形状に対して実行できます。

パルスの強度が十分であれば、SPM のスペクトル拡大プロセスは異常分散による時間的圧縮とバランスを取り、平衡状態に達することができます。結果として生じるパルスは光ソリトンと呼ばれます。

自己位相変調は、超短パルスの分野で多くの応用を促進してきました。以下にいくつか例を挙げます。

• スペクトルの広がり^[7]と超連続光
• 時間的パルス圧縮^[8]
• スペクトルパルス圧縮^[9]

^{カー非線形性の非線形特性は、光再生[10]}や波長変換^[11]などのさまざまな光パルス処理技術にも有益である。

長距離シングルチャネルおよびDWDM（高密度波長分割多重）システムでは、SPMは到達距離を制限する最も重要な非線形効果の1つです。SPMは、次の方法で軽減できます。^[12]

• 光信号対雑音比を低下させることで光出力を下げる
• 分散管理。分散によりSPMの影響を部分的に緩和できるため

その他の非線形効果:

• 相互位相変調– XPM
• 四光波混合– FWM
• 変調不安定性– MI
• 誘導ラマン散乱– SRS

SPMの用途:

• マミシェフ 2R 再生器
• スーパーコンティニュアム