全反射

物理学において、全反射（TIR）とは、ある媒質から別の媒質（例えば、水から空気）の界面（境界）に到達した波が、2番目の（「外部」）媒質に屈折せず、最初の（「内部」）媒質に完全に反射される現象です。これは、2番目の媒質の波速が最初の媒質よりも速く（つまり、屈折率が小さく）、波が界面に十分に斜めの角度で入射する場合に発生します。例えば、一般的な水槽の水と空気の境界面を下から斜めに見ると、水中の景色が鏡のように反射され、明るさが失われることはありません（図1）。TIRとは反対の現象である全外部反射は、極端紫外線やX線領域で発生します。

全反射は、光やマイクロ波などの電磁波だけでなく、音波や水波など他の種類の波でも発生します。波が狭いビームを形成できる場合（図2）、反射は波ではなく「光線」で表されます。空気、水、ガラスなど、方向によって性質が変わらない媒質では、「光線」は関連する波面に垂直です。全反射は、臨界角を超えたときに発生します。

屈折は一般的に部分反射を伴います。波が伝搬速度の低い媒質（屈折率が高い）から伝搬速度の高い媒質（屈折率が低い）へ屈折する場合（例えば、水から空気へ）、屈折角（出射光線と表面法線との間の角度）は入射角（入射光線と法線との間の角度）よりも大きくなります。入射角が臨界角と呼ばれるある閾値に近づくと、屈折角は90°に近づき、屈折光線は境界面に平行になります。入射角が臨界角を超えると、屈折の条件が満たされなくなるため、屈折光線は存在せず、部分反射は全反射になります。可視光の場合、臨界角は水から空気への入射では約49°、通常のガラスから空気への入射では約42°です。

全反射のメカニズムの詳細を解明すると、より微妙な現象が生じます。定義上、全反射は2つの媒質間の界面を横切る電力の流れを伴いませんが、外部媒質は、界面からの距離に応じて振幅が指数関数的に減少する、いわゆるエバネッセント波を伝播します。外部媒質が損失のない（完全に透明な）、連続的で無限に広がる場合、「全」反射は確かに全反射ですが、エバネッセント波が損失のある外部媒質に吸収される場合（「減衰全反射」）、または外部媒質の外側境界やその媒質に埋め込まれた物体によって逸らされる場合（「阻害された」全反射）には、全反射よりも著しく小さくなることがあります。透明な媒質間の部分反射とは異なり、全反射では、偏光の各成分（入射面に垂直または平行）に対して非自明な位相シフト（ゼロまたは180°だけではなく）が伴い、そのシフトは入射角によって変化します。 1823年にオーギュスタン＝ジャン・フレネルがこの現象を説明したことで、光の波動説を支持する証拠がさらに増えた。 

位相シフトは、フレネルの発明であるフレネル菱形によって偏光を変化させるために利用されます。全反射の効率は、光ファイバー（通信ケーブルや結像ファイバースコープに使用）や、単眼鏡や双眼鏡用の正立ポロプリズム／ルーフプリズムなどの反射プリズムによって利用されています。

全反射は、マイクロ波^{[ 1 ]}や音波^{[ 2 ]}など、斜め入射すると言えるあらゆる種類の波で起こり得るが、最もよく知られているのは光波の場合である。

光の全反射は、一般的なガラスまたはアクリルガラスの半円筒形のブロックを用いて実証できます。 図3では、「光線箱」が細い光線（ 「光線」）を放射状に内側に照射します。ガラスの半円形の断面により、入射光線は空気とガラスの界面の湾曲部分に対して垂直に保たれ、その結果、平面部分に向かって直線的に進み続けますが、平面部分との角度は変化します。

光線が平面ガラスと空気の界面に当たるとき、光線と界面の法線（垂直）との間の角度を入射角と呼びます。^{[ 3 ]}この角度が十分に小さい場合、光線は部分的に反射されますが、ほとんどは透過し、透過した部分は法線から遠ざかるように屈折するため、屈折角（屈折光線と界面の法線との間の角度）は入射角よりも大きくなります。ここでは、入射角をθ _i、屈折角をθ _tとします（tは透過を表し、rは反射を表します）。θ _{i が}増加し、ある「臨界角」θ _c（またはθ _crとも呼ばれる）に近づくと、屈折角は 90° に近づき（つまり、屈折光線は界面の接線に近づき）、屈折光線は弱くなり、反射光線は明るくなります。^{[ 4 ]} θi_がθc_を超えると、屈折光線は消滅し、反射光線のみが残るため、入射光線のエネルギーはすべて反射されます。これが全反射（TIR）です。簡単に言うと、 

• θ _i < θ _cの場合、入射光線は分割され、一部は反射され、一部は屈折します。
• θ _i > θ _cの場合、入射光線は全反射（TIR）を起こし、透過しません。

臨界角とは、全反射が起こる最小の入射角、あるいは屈折光線が存在する最大の入射角のことである。^{[ 5 ]}単一の屈折率n1_{を持つ「内部」媒質から単一の屈折率}n2_を持つ「外部」媒質へ入射する光波の場合、臨界角は次のように与えられる。${\displaystyle \theta _{\text{c}}=\arcsin(n_{2}/n_{1})}$そして、 n ₂ ≤ n ₁の場合に定義されます。他の種類の波については、屈折率よりも伝搬速度で考える方が便利な場合があります。速度による臨界角の説明はより一般的であるため、まずそちらについて説明します。

波面が一方の媒質から他方の媒質へ屈折すると、波面の入射（入射）部分と屈折（出射）部分は、屈折面（界面）上の共通線で交わります。この線をLとすると、この線は表面上を速度uで移動します^{[ 6 ] [ 7 ]} 。ここでuはLに垂直な方向に測定されます（図4）。入射波面と屈折波面はそれぞれ法線速度で伝播します。  ${\displaystyle v_{1}}$そして${\displaystyle v_{2}}$それぞれ、界面との二面角をそれぞれθ ₁とθ ₂とします。幾何学的には、${\displaystyle v_{1}}$は入射波に垂直な方向のuの成分なので、${\displaystyle v_{1}=u\sin \theta _{1}.}$同様に、${\displaystyle v_{2}=u\sin \theta _{2}.}$各方程式を1/ uについて解き、結果を等しくすることで、波の屈折に関する一般法則が得られます。

しかし、2 つの平面間の二面角は、それらの法線間の角度でもあります。したがって、θ ₁は入射波面の法線と界面の法線の間の角度であり、θ ₂は屈折波面の法線と界面の法線の間の角度です。そして、式 ( 1 ) は、これらの角度の正弦がそれぞれの速度と同じ比率であることを示しています。^{[ 8 ]}

この結果は「スネルの法則」の形をしていますが、速度の比が一定であるとはまだ述べておらず、またθ ₁とθ _2を入射角と屈折角（上記でθ _iとθ _tと呼んだもの）と同一視していません。しかし、ここで媒質の特性が等方的（方向に依存しない）であると仮定すると、さらに2つの結論が得られます。1つ目は、2つの速度、したがってそれらの比は、方向に依存しないことです。2つ目は、波の法線方向が光線の方向と一致するため、θ ₁とθ _2は上記で定義した入射角と屈折角と一致することです。^{[注1 ]}

_{明らかに、}屈折角は90°を超えることはできません。極限の場合、式(1)にθ2 = 90 °、θ1 = _θcを代入し、臨界角を求めます。 

この結果を導出するにあたり、 θ ₁とθ ₂を入射角と屈折角と同一視するために、等方性媒質の仮定を維持します。 ^{[注 3 ]}

電磁波、特に光の場合、上記の結果を屈折率で表すのが一般的である。通常の速度を持つ媒質の屈折率${\displaystyle v_{1}}$は次のように定義される。${\displaystyle n_{1}=c/v_{1},}$ここで、cは真空中の光速である。 ^{[ 9 ]}したがって${\displaystyle v_{1}=c/n_{1}.}$同様に、${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}.}$式 （１）と（２）にこれらの置換を行うと、次の式が得られる。

そして

式 （3 _）は、θ1とθ2_を二面角とした場合の、屈折率に関する一般媒質の屈折法則です。しかし、媒質が等方性の場合、n1とn2_は方向に依存せず、θ1とθ2は_光線の入射_角と屈折角とみなすことができ、式（4_）が成り立ちます。したがって、等方性媒質の場合、式（3 ）と式（4）を合わせて図5の挙動を記述します。   

式 （4）によれば、水（n ₁ ≈ 1.333）から空気（n ₂ ≈ 1）への入射の場合、θ _c ≈ 48.6°となり、一方、一般的なガラスまたはアクリルガラス（n ₁ ≈ 1.50）から空気（n ₂ ≈ 1 ）への入射の場合、 θ _c ≈ 41.8°となる。

θc_を生成する逆正弦関数は_、n2 ≤ n1の場合にのみ定義される_。${\displaystyle (v_{2}\geq v_{1}).}$したがって、等方性媒質の場合、第２の媒質の屈折率が第１の媒質よりも高い（法線速度が低い）場合、全反射は起こりません。例えば、空気から水への入射では全反射は起こりません。むしろ、水から空気への入射の臨界角は、空気から水への掠入射の屈折角です（図 ６）。^{[ 10 ]}

屈折率の高い媒質は一般的に光学的に密で、屈折率の低い媒質は光学的に希薄であると表現される。^{[ 11 ]}したがって、「密から希薄」への入射では全反射は可能であるが、「希薄から密」への入射では不可能であると言われている。

水槽のそばに立ち、水面より下に目を向けると、水面と空気の境界面に魚や水中の物体が映り込んでいるのが見えることが多い（図1）。その反射像の明るさは、直接見たものと同じくらい明るく、驚くほどだ。

同様の効果は、水面直下で泳ぎながら目を開けることで観察できます。水が穏やかな場合、臨界角（垂直から測定）の外側の水面は鏡のように見え、下の物体を反射します。水面上の領域は、頭上を除いて見えません。頭上では、半球状の視野がスネルの窓と呼ばれる円錐状の視野に圧縮され、その角度直径は臨界角の2倍になります（ 図6参照）。^{[ 12 ]}水面上の視野は理論的には180°ですが、水平線に近づくにつれて、屈折によって垂直方向の寸法がより強く圧縮されるため、それよりも小さく見えます。例えば、式によります。（３）空気から水への入射角が 90°、80°、70° の場合、対応する屈折角は 48.6°（図 6 のθ _cr）、47.6°、44.8° であり、これは、地平線から 20° 上の点の像がスネルの窓の端から 3.8° 離れているのに対し、地平線から 10° 上の点の像は端からわずか 1° 離れていることを示しています。^{[ 13 ]}

例えば、図7は、プールの浅い方の底付近で撮影された写真です。右側の壁に幅広の水平線に見えるものは、オレンジ色のタイルの列の下端とその反射で構成されており分散を参照）。

臨界角は宝石のカット角度に影響します。たとえば、ラウンドブリリアントカットは、前面のファセットに入射した光を屈折させ、背面のファセットで全反射により2回反射させ、前面のファセットを通して再び透過させることで、石が明るく見えるように設計されています。ダイヤモンド（図8）は、その高い屈折率（約2.42）とそれに伴う小さな臨界角（約24.5°）により、広い視野角で望ましい挙動が得られるため、この処理に特に適しています。^{[ 14 ]}同様にこの処理に適した安価な材料には、キュービックジルコニア（屈折率≈2.15 ）とモアッサナイト（非等方性であるため複 屈折性があり、屈折率は方向と偏光に応じて約2.65から2.69の範囲です^{[注4 ]}）があり、これらはどちらもダイヤモンドの模造品として人気があります。

数学的には、波は時間的に変化する場によって記述され、「場」は空間内の位置の関数です。伝播する波には「力場」と「流れ場」が必要であり、後者はベクトルです（2次元または3次元で作業する場合）。力場と流れ場の積はパワーに関係します（システムの等価性を参照）。たとえば、非粘性流体中の音波の場合、力場を圧力（ スカラー）とし、流れ場を流体速度（ ベクトル）とすることができます。これら2つの積は強度（単位面積あたりのパワー）です。^{[ 15 ] [注5 ]}電磁波の場合、力場を電場Eとし、流れ場を磁化場Hとします。これらは両方ともベクトルであり、それらのベクトル積は再び強度になります（ポインティングベクトルを参照）。^{[ 16 ]} 

（例えば）媒質 1 内の波が媒質1 と媒質2 の境界面で反射される場合、媒質 1 内の流速場は、入射波と反射波による流速場のベクトル和になります。^{[注 6 ]}反射が斜めの場合、入射場と反射場は反対方向ではないため、境界面で打ち消し合うことはできません。反射が全反射であっても、結合場の法線成分または接線成分（位置と時間の関数として）のいずれかが境界面に隣接してゼロにならない必要があります。さらに、場を支配する物理法則は、一般に 2 つの成分のうちの 1 つが境界面を横切って連続である（つまり、境界面を横切っても突然変化しない）ことを意味します。たとえば、電磁波の場合、境界条件の 1 つは、表面電流がない場合、Hの接線成分が連続であることです。 ^{[ 17 ]}したがって、反射が全反射であっても、流速場が媒質 2 に何らかの形で浸透する必要があります。そして、これは、努力場と流れ場の関係に関する法則と相まって、努力場にもある程度の浸透が生じることを示唆している。同じ連続性条件は、媒質2における場の変動（「波動性」）が、媒質1における入射波および反射波の変動と同期することを示唆している。      

しかし、反射が全反射である場合、電磁場が媒質 2に空間的に浸透する範囲は何らかの方法で制限されなければならず、そうでなければ電磁場の総範囲、ひいては総エネルギーが増加し続け、媒質 1からエネルギーが奪われてしまう。連続する波列の全反射は、媒質2にいくらかのエネルギーを蓄積することを可能にするが、媒質1から媒質2への継続的なエネルギー伝達 は不可能である。  

したがって、主に定性的な推論を用いて、全反射は「外部」媒質中の波動場を伴い、入射波と反射波と同期して界面に沿って伝播するものの、「外部」媒質への空間的な浸透にはある程度の制限があることを結論づけることができる。このような場はエバネッセント波と呼ばれるかもしれない。

図9は基本的な考え方を示している。入射波は平面波かつ正弦波であると仮定する。反射波は簡略化のため図示していない。エバネッセント波は入射波および反射波と同期して右方向に伝播するが、その振幅は界面からの距離が増加するにつれて減衰する。

（図9のエバネッセント波の2つの特徴については後ほど説明する。1つ目は、エバネッセント波の波頂が界面に垂直であること、2つ目は、エバネッセント波が入射波よりわずかに先行していることである。）

全反射阻害（FTIR）

内部反射が全反射となるためには、エバネッセント波の偏向があってはなりません。例えば、ガラス（屈折率が高い）から空気（屈折率が低い）へ特定の入射角で入射する電磁波が全反射を起こすとします。そして、屈折率が十分に高い第3の媒質（多くの場合、第1の媒質と同一）があるとします。この第3の媒質が第2の媒質と置き換わった場合、同じ入射角で標準的な透過波列が得られるとします。すると、第3の媒質が第1の媒質の表面から数波長以内の距離に近づくと、第2の媒質ではエバネッセント波の振幅が大きくなるため、エバネッセント波は実質的に第3の媒質に屈折し、第3の媒質への透過がゼロではなくなり、したがって第1の媒質への全反射は小さくなります。^{[ 18 ]}エバネッセント波の振幅が空気ギャップを横切って減衰するにつれて、透過波は減衰し、ギャップがない場合よりも透過が少なくなり、反射が多くなります。しかし、ある程度の透過がある限り、反射は全反射よりも少なくなります。この現象は、全反射が阻害される現象（「阻害される」は「全反射」を否定します）と呼ばれ、「阻害されたTIR」または「FTIR」と略されます。

フラストレーションTIRは、手に持った水の入ったグラスの上部を覗き込むことで観察できます（図10）。 グラスをゆるく持っていると、接触が十分に近くなく、広範囲に及ばないため、目立った効果は生じません。しかし、グラスをより強く握ると、指紋の隆線がエバネッセント波と強く相互作用し、本来は完全に反射するグラスと空気の表面を通して隆線が見えるようになります。^{[ 19 ]}

同様の効果は、パラフィンワックスを「内部」媒体（入射波と反射波が存在する場所）として使用してマイクロ波でも実証できます。この場合、許容されるギャップ幅は（例えば）1 cmまたは数 cmで、これは容易に観察および調整できます。^{[ 1 ] [ 20 ]}

フラストレーションTIRという用語は、反射界面に十分近い物体によってエバネッセント波が散乱される場合にも適用されます。この効果は、散乱光の量が界面からの距離に強く依存することと相まって、全反射顕微鏡で利用されています。^{[ 21 ]}

FTIR のメカニズムはエバネッセント波結合と呼ばれ、量子トンネル効果を視覚化するための良い類似例です。^{[ 22 ]}物質の波動性により、電子は、古典力学ではエネルギーが不十分だと言われても、障壁を「トンネル」する確率がゼロではありません。^{[ 18 ] [ 19 ]}同様に、光の波動性により、光子は、光線 光学ではその進入が斜めすぎると言われても、ギャップを横切る確率がゼロではありません。

内部反射が臨界角を超えても全反射に満たないもう一つの理由は、外部媒質が「損失性」（完全に透明ではない）である場合です。この場合、外部媒質はエバネッセント波からエネルギーを吸収するため、エバネッセント波の維持には入射波からエネルギーが消費されます。結果として生じる全反射に満たない反射は、減衰全反射（ATR）と呼ばれます。この効果、特に吸収の周波数依存性は、未知の外部媒質の組成を調べるために利用できます。^{[ 23 ]}

エバネッセント波の導出

一様な平面正弦波電磁波では、電場Eは次の形をとる。

ここで、E _kは（定数）複素振幅ベクトル、iは虚数単位、kは波数ベクトル（その大きさkは角波数）、rは位置ベクトル、ωは角周波数、tは時間であり、式の実部は物理場であると理解されている。 ^{[注 7 ]}磁化場Hは、同じkとωで同じ形式である。位置r がkに垂直な方向に変化する場合、式の値は変化しない。したがって、k は波面に垂直である。

ℓがk方向のrの成分である場合、場( 5 )は次のように書ける。${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i(k\ell -\omega t)}.}$議論が​${\displaystyle e^{i(\cdots )}}$一定であるためには、ℓは速度で増加しなければならない${\displaystyle \omega /k,}$位相速度として知られている。^{[ 24 ]}これは、${\displaystyle c/n,}$ここで、cは基準媒質（真空と仮定）における位相速度、nは基準媒質に対する局所屈折率である。kについて解くと、${\displaystyle k=n\omega /c,}$つまり

どこ${\displaystyle k_{0}=\omega /c}$は真空中の波数である。^{[ 25 ] [注8 ]}

（ ５ ）より、「外部」媒質中の電場は次の形となる。

ここでk _tは透過波の波数ベクトルである（ここでは等方性媒質を仮定するが、透過波はまだエバネッセント波であるとは仮定していない）。

デカルト座標( x、y、z )において、 y < 0 の領域の屈折率をn ₁とし、y > 0の領域の屈折率をn ₂とする。このとき、xz平面が界面であり、y軸は界面に垂直である (図 11)。iとj をそれぞれx方向とy方向の単位ベクトルとする。入射面(入射波の法線と界面の法線を含む) をxy平面 (紙面) とし、入射角θ _{i を}jからiに向かって測るものとする。同じ方向で測った屈折角をθ _tとする(「t」は透過、「r」は反射を表す)。

（ 6 ）より、透過波ベクトルk _{tの大きさは}n ₂ k ₀である。したがって、幾何学から、 $${\displaystyle \mathbf {k} _{\text{t}}=n_{2}k_{0}(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})=k_{0}(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}}),}$$ 最後のステップではスネルの法則を使用します。位置ベクトルとの 内積を取ると、次のようになります。$${\displaystyle \mathbf {k} _{\text{t}}\cdot \mathbf {r} =k_{0}(n_{1}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}y\cos \theta _{\text{t}}),}$$ したがって、式 （７）は次のようになる。

全反射の場合、角度θ _{t は}通常の意味では存在しません。しかし、cos θ _tを複素数とすることで、透過波（エバネッセント波）について式( 8 ) を解釈することができます。これは、 cos θ _{t を}sin θ _tで表し、さらにスネルの法則を用いてsin θ _iで表す場合に必要となります。 $${\displaystyle \cos \theta _{\text{t}}={\sqrt {1-\sin ^{2}\theta _{\text{t}}}}={\sqrt {1-(n_{1}/n_{2})^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}}}.}$$θ _{i が}臨界角より大きい 場合、平方根記号の下の値は負になるため、^{[ 26 ]}

どちらの符号が適用可能かを判断するために、( 9 )を( 8 )に代入すると、

ここで、未定の符号は（ 9 ）の符号と反対である。減衰波（すなわち、振幅がyの増加とともに減衰する波）の場合、（10）の未定の符号はマイナスでなければならないので、（ 9 ）の未定の符号はプラスでなければならない。^{[注9 ]}  

正しい符号を用いると、結果（10）は省略できる。

どこ

そしてk ₀は真空中の波数、すなわち ${\displaystyle \omega /c.}$

したがって、エバネッセント波は、振幅がy方向に指数関数的に減衰する、 x方向に伝搬する平面正弦波です（図9）。この波に蓄積されたエネルギーも同様にx方向に伝搬し、界面を横切らないこと は明らかです。したがって、ポインティングベクトルは一般にx方向に成分を持ちますが、y成分は平均するとゼロになります（ただし、瞬時y成分は厳密にはゼロではありません）。^{[ 27 ] [ 28 ]}

式 （11 ）は、界面から測った座標yが距離だけ増加すると、エバネッセント波の振幅が係数eで減少することを示している。${\displaystyle d=1/\kappa ,}$一般にエバネッセント波の「侵入深さ」と呼ばれる。 ^{[ 29 ]} ( 12 )の最初の式の逆数を取ると、侵入深さは次のようになる。^{[ 28 ]}$${\displaystyle d={\frac {\lambda _{0}}{2\pi {\sqrt {n_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-n_{2}^{2}}}}},}$$ ここでλ₀_は真空中の波長である。${\displaystyle 2\pi /k_{0}.}$^{[ 30 ]}分子と分母をn₂、 $${\displaystyle d={\frac {\lambda _{2}}{2\pi {\sqrt {(n_{1}/n_{2})^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}},}$$ どこ${\displaystyle \lambda _{2}=\lambda _{0}/n_{2}}$は第2（外部）媒質における波長です。したがって、さまざまな値に対して、入射角の関数としてd をλ ₂単位でプロットすることができます。${\displaystyle n_{1}/n_{2}}$（図 12）。θ _{i が}臨界角に向かって減少するにつれて、分母はゼロに近づき、d は無限に増加します。これは、 θ _{i が臨界角より}小さくなるとすぐに外部媒質中に均一な平面波が許容されるため、当然のことです。θ _{i が}90°（斜入射）に近づくと、d は最小値に近づきます 。  $${\displaystyle d_{\text{min}}={\frac {\lambda _{2}}{2\pi {\sqrt {(n_{1}/n_{2})^{2}-1}}}}.}$$ 水から空気、または通常のガラスから空気への入射の場合、d _minはλ ₂ /(2 π )とそれほど違いはありません。しかし、入射角が小さいほどdは大きくなり（図 12）、振幅はdの数倍の距離でも依然として重要になる可能性があります。たとえば、e ^−4.6は 0.01 よりわずかに大きいため、界面から4.6 d以内の距離でのエバネッセント波の振幅は、界面での値の少なくとも 1% になります。したがって、大まかに言えば、エバネッセント波の振幅は界面から「数波長」以内で重要であると言えます。

1817年から1823年の間に、オーギュスタン・ジャン・フレネルは、フレネル反射係数がゼロでない虚数部を持つため、全反射には非自明な位相シフト（つまり、0°または180°に限定されない位相シフト）が伴うことを発見した。^{[ 31 ]}ここでは、線形、均質、等方性、非磁性媒体の場合の電磁波に対するこの効果を説明する。位相シフトは前進であることが判明し、入射角が臨界角を超えて増加するにつれて大きくなるが、入射波の偏光に依存する。

式 ( 5 )、( 7 )、( 8 )、( 10 )、( 11 )において、 ωt をωt + ϕに置き換える(すなわち、− ωt を− ωt − ϕに置き換える) とすると、位相が角度ϕだけ進み、結果として (複素) 場がe ^{− iϕ}倍される。したがって、位相を進めることは、負の引数を持つ複素定数を乗じることと同等である。これは、(例えば) 場 ( 5 ) を次のように因数分解すると、より明らかになる。    ${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i\mathbf {k\cdot r} }e^{-i\omega t},}$ここで、最後の因子は時間依存性を含んでいる。^{[注10 ]}

入射波、反射波、または透過波の偏光を表すために、界面に隣接する電場は、s成分とp成分と呼ばれる2つの直交する成分に分解できます。これらはそれぞれ表面と入射面に平行です。言い換えれば、s成分とp成分はそれぞれ入射面に対して正方形で平行です。 ^{[注11 ]}

分極の各成分について、入射、反射、または透過電場（式（5 ）のE）は特定の方向を持ち、その方向の（複素）スカラー成分で表すことができます。反射係数または透過係数は、同じ点、または界面の反対側の無限小離れた点における複素成分の比として定義できます。ただし、係数の符号を固定するために、「方向」に正の方向を選択する必要があります。s成分については、入射、反射、および透過電場の正の方向はすべて同じである（例えば、図11のz方向）と言うのが当然の選択です。p成分については、入射、反射、および透過電場の正の方向は同じ媒質に向かって傾いている（つまり、界面の同じ側に向かっている、例えば、図11の赤い矢印のように）という慣例をこの記事で採用しています。 ^{[注12 ]}ただし、 p成分の表記法が異なる書籍もあり、反射係数の式で符号が異なる場合があるので注意が必要です。^{[ 32 ]}   

s偏光の場合、反射係数と透過係数をそれぞれr _sとt _sとする。p偏光の場合、対応する係数をr _pとt _pとする。すると、線形、均質、等方性、非磁性媒体の場合、係数は^{[ 33 ]で与えられる。}

（上記の導出については、「フレネル方程式 § 理論」を参照のこと。）

ここで、透過波がエバネッセント波であると仮定する。正しい符号（+）を用いて、（9）を（13） に代入すると、$${\displaystyle r_{s}={\frac {n\cos \theta _{\text{i}}-i{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{n\cos \theta _{\text{i}}+i{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}},}$$ どこ $${\displaystyle n=n_{1}/n_{2};}$$ すなわち、nは「外部」媒質に対する「内部」媒質の指数、または外部媒質が真空の場合は内部媒質の指数である。^{[注13 ]}したがって、 r _sの絶対値は1であり、r _sの引数は $${\displaystyle -2\arctan {\frac {\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}{n\cos \theta _{\text{i}}}},}$$これにより 位相が進み^{[ 34 ]}

（ 14 ）で同じ置換を行うと、 t _{s は}r _sと同じ分母を持ち、分子は正の実数（複素共役分子ではなく）であることがわかります。したがって、 r _sの引数の半分を持ち、エバネッセント波の位相進みは反射波の位相進みの半分になります。

同じ符号の選択で、^{[注14 ]} ( 9 )を( 15 ) に代入すると、$${\displaystyle r_{p}={\frac {\cos \theta _{\text{i}}-in{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{\cos \theta _{\text{i}}+in{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}},}$$ その大きさは 1 であり、その引数は $${\displaystyle -2\arctan {\frac {n{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{\cos \theta _{\text{i}}}},}$$これにより 位相が進み^{[ 34 ]}

（ 16 ）式に同じ置換を行うと、エバネッセント波の位相進みは反射波の位相進みの半分であることが再びわかる。

式（17）と（18）は、 θc ≤ _{θi <} 90°の場合に適用されます。ここで、θiは_入射角、θc_は臨界角arcsin (1/ n )です。これらの式は、

• 各位相進角は、臨界角（分子がゼロとなる角）においてゼロとなる。
• θ _i → 90°のとき、各位相の進みは 180° に近づきます。
• δ _p > δ _{s は}θ _iの中間値で成り立つ(係数nは ( 18 ) の分子と ( 17 )の分母)。 ^{[ 35 ]}

θ _i ≤ θ _cの場合、反射係数は式 ( 13 ) および ( 15 ) で与えられ、実数であるため、位相シフトは 0° (係数が正の場合) または 180° (係数が負の場合) のいずれかになります。

（１３）において、${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$（スネルの法則）分子と分母に⁠ 1 / n ₁ ⁠ sin θ _tを掛けると、^{[ 36 ] [ 37 ]が得られます。}

これは透過光線との入射角すべてにおいて正の値をとるため（θ _t > θ _iであるため）、位相シフトδ _{s は}ゼロとなる。

（ 15 ）についても同様に行うと、結果は^{[ 38 ] [ 39 ]と等価であることが容易に示される。}

これは、小さな角度（つまり、ほぼ垂直入射）では負の値をとりますが、ブリュースター角で符号が反転します。この角度では、θ _iとθ _{t は}相補的です。したがって、位相シフトδ _pは、小さなθ _iでは 180° ですが、ブリュースター角では 0° に切り替わります。相補性とスネルの法則を組み合わせると、密な入射から疎な入射へのブリュースター角としてθ _i = arctan (1/ n )が得られます。 ^{[注 15 ]}

（式（19）と（20）は、フレネルの正弦法則とフレネルの正接法則として知られています。^{[ 40 ]}どちらも垂直入射では0/0になりますが、θ _i → 0の極限では正しい結果が得られます。垂直入射に近づくにつれて符号が逆になることは、この記事で使用されている符号規約の明らかな欠点です。対応する利点は、かすめ入射では符号が同じになることです。）

これで、すべての入射角におけるδ _sとδ _{p を}プロットするために必要な情報がすべて揃いました。これは図 13 ^{[ 34 ]}に示されており、3 つの屈折率についてδ _{p は}赤、δ _{s は}青で表されています。入射角スケール (横軸) では、ブリュースター角はδ _p (赤) が 180° から 0° に下がる点であり、臨界角はδ _pとδ _s (赤と青) の両方が再び上昇し始める点です。臨界角の左側は部分反射の領域であり、両方の反射係数は実数 (位相 0° または 180°) で、大きさは 1 未満です。 臨界角の右側は全反射の領域であり、両方の反射係数は複素数で、大きさは 1 です。この領域では、黒色の曲線はs成分に対するp 成分の位相進みを示しています。^{[ 41 ]}  $${\displaystyle \delta =\delta _{p}-\delta _{s}.}$$ 屈折率が1.45では45°の位相差を得るには不十分であるのに対し、屈折率が1.5であれば（わずかな差ではあるが）入射角が約50.2°と53.3°の2つの場合で45°の位相差を得るのに十分であることがわかる。

この45°の相対位相差は、フレネルの発明であるフレネル菱形板で利用されています。フレネル菱形板では、入射角が、2回の内部反射によって入射波の2つの偏光間の相対位相差が合計90°になるように選択されます。この装置は複屈折四分の一波長板と同じ機能を果たしますが、より無色性です（つまり、菱形板の位相差は波長に対して感度が低くなります）。どちらの装置も、例えば直線偏光を円偏光に変換する（これもフレネルが発見した機能です）場合や、その逆の変換に使用できます。

図 13では、δは最終的な減算によって計算されますが、他の表現方法もあります。フレネル自身は1823年に^{[ 42 ]} cos δの公式を与えました。ボーンとウルフ（1970、p.50 ）はtan ( δ /2) の式を導出し、解析的にその最大値を求めました。

有限幅のビームの全反射では、入射角による位相シフトの変化により、入射面内で反射ビームが横方向にずれるグース・ヘンヒェン効果が生じる。 ^{[ 28 ] [ 43 ]}この効果は、 sまたはp方向の直線偏光に適用される。インバート・フェドロフ効果は、円偏光または楕円偏光に対する類似の効果であり、入射面に垂直な方向にずれを生じる。^{[ 44 ]}

光ファイバーは全反射を利用して、信号を減衰をほとんど起こさずに長距離伝送します。 ^{[ 45 ]}これらは通信ケーブルや、大腸内視鏡などの画像形成ファイバースコープに。 ^{[ 46 ]}

灯台で使用するためにオーギュスタン・ジャン・フレネルによって発明された反射屈折フレネルレンズでは、外側のプリズムが全反射を利用して、純粋な屈折プリズムでは不可能なより大きな角度でランプからの光を偏向させますが、従来の鏡よりも光の吸収が少なく（そして変色のリスクも少ない）です。^{[ 47 ]}

TIRを使用するその他の反射プリズムには、次のものがあります（カテゴリ間には多少の重複があります）。^{[ 48 ]}

• 双眼鏡やスポッティングスコープ用の正立プリズムには、45°-90°-45°のポロプリズム（図14）、ポロ・アッベプリズム、インラインケーニッヒプリズム^{[ 49 ]}、アッベ・ケーニッヒプリズム、コンパクトなインラインシュミット・ペチャンプリズムなどがあります。（最後のものは2つの部品から構成されており、そのうちの1つはバウエルンファイントプリズムの一種で、入射角が臨界角未満であるため、2つの反射面のうちの1つに反射コーティングが必要です。）これらのプリズムには、対物レンズから主焦点までの光路を折り曲げ、所定の主焦点距離に対して全体の長さを短縮する。
• 天体望遠鏡用のプリズム型星像対角ミラーは、単一のポロプリズム（単一反射用に構成され、鏡像反転像が得られる）またはアミチルーフプリズム（非反転像が得られる）で構成される場合がある。
• ルーフプリズムは、90°の鋭角で交わる2つの面で全反射（TIR）を利用します。このカテゴリーには、ケーニッヒ型、アッベ・ケーニッヒ型、シュミット・ペチャン型、アミチ型（既に述べたもの）に加え、一眼レフカメラで使用されるルーフペンタプリズムが含まれます。最後のルーフペンタプリズムは、TIRではない面の1つに反射コーティングを施す必要があります 
• プリズム型コーナーリフレクターは、3回の全反射を利用して入射光の方向を反転させる。
• ダブプリズムは、鏡面反転を伴うインラインビューを提供します。

偏光プリズム：直線偏光と楕円偏光を変換するフレネル菱形プリズムは複屈折（二重屈折）ではありませんが、複屈折と全反射を組み合わせた他の種類のプリズムがあり、特定の偏光の光は完全に反射され、直交する偏光の光は少なくとも部分的に透過されます。例としては、ニコルプリズム^{[ 50 ]} 、グラン・トンプソンプリズム、グラン・フーコープリズム（または「フーコープリズム」）^{[ 51 ] [ 52 ]}、グラン・テイラープリズム^{[ 53 ]}などがあります。

屈折率を測定する屈折計は、しばしば臨界角を使用する。 ^{[ 54 ] [ 55 ]}

自動ワイパー用の雨滴センサーは、フロントガラスの表面が乾いている場合は全反射によって赤外線ビームが光源から検出器に導かれるが、表面に水滴があると光の一部が逸れるという原理を利用して実装されている。 ^{[ 56 ]}

エッジライト型LEDパネルは、（例えば）LCDコンピューターモニターのバックライトに使用され、TIRを利用してLED光をアクリルガラスパネル内に閉じ込めますが、パネルの片側のエッチングによって光の一部が散乱されるため、ほぼ均一な発光が得られます。^{[ 57 ]}

全反射顕微鏡(TIRM) は、反射界面に近い小さな物体をエバネッセント波で照明します。その結果生じるエバネッセント波の散乱 (一種 のフラストレーション TIR) により、物体は「外部」側から見ると明るく見えます。^{[ 21 ]}全反射蛍光顕微鏡(TIRFM)では、単純な散乱に頼るのではなく、蛍光を発するのに十分なほど短いエバネッセント波長を選択します(図15)。^{[ 58 ]}照明の界面からの距離に対する高い感度により、非常に小さな変位と力を測定できます。^{[ 59 ]}

ビームスプリッターキューブは、フラストレーションTIRを利用して、入射ビームのパワーを透過ビームと反射ビームに分割します。^{[ 18 ]} 2つのプリズム間のエアギャップ（または低屈折率ギャップ）の幅は調整可能で、ギャップが狭いほど透過率が高く反射率が低くなり、ギャップが広いほど反射率が高く透過率が低くなります。^{[ 60 ]}

光変調は、急速に変化するギャップを持つフラストレーションTIRによって実現できます。 ^{[ 61 ]}透過係数はギャップ幅に非常に敏感であるため（ギャップがほぼ閉じるまで関数はほぼ指数関数的である）、この技術は広いダイナミックレンジを実現できます。

光学指紋認証装置は、インクを使用せずに人の指紋の画像を記録するために、フラストレーションTIRを使用してきました（ 図11参照）。^{[ 62 ]}

歩行分析は、高速カメラを使用したフラストレーションTIRを使用して足跡をキャプチャおよび分析することによって実行できます^{。 [ 63 ]}

緑内障の診断のために検眼や眼科で使用される隅角鏡は、虹彩と角膜の間の角度を見るために全反射（TIR）を抑制します。この視野は通常、角膜と空気の界面での全反射によって遮られます。隅角鏡は空気を高屈折率の媒質に置き換えることで、斜入射での透過を可能にし、通常は「鏡」で反射します。この「鏡」自体も全反射（TIR）を使用して実現される場合があります。^{[ 64 ] [ 65 ]}

マルチタッチ対応のインタラクティブテーブルやホワイトボードの中には、FTIR（フーリエ変換赤外線）を用いて画面に触れた指を検出するものがあります。赤外線カメラは画面の裏側に配置され、画面は赤外線LEDによってエッジライトで照らされています。画面に触れると、FTIRによって赤外線の一部が画面から漏れ出し、カメラはこの部分を明るい領域として捉えます。その後、コンピュータビジョンソフトウェアを用いて、この反射光が座標やジェスチャーなどのデータに変換されます。

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  インドモンガラカワハギと水面に映るその姿
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  ガラスの水面と空気の境界面による絵筆の全反射
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  ワイングラスの脚部における緑色レーザーの全反射

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• PhysicsatUVM、「全反射の阻害」（動画、37秒）、 2011年11月21日アップロード。（「 レーザー光線が曇ったプレキシガラスの中で全反射を起こす…」）
• SMUPhysics、「内部反射」（動画、12秒）、 2010年5月20日アップロード。（45°-90°-45°プリズムにおける屈折から臨界角を経て全反射への遷移。）