結晶光学

結晶光学は、異方性媒質、すなわち光の伝播方向によって光の振る舞いが異なる媒質（結晶など）における光の挙動を記述する光学の一分野です。屈折率は組成と結晶構造の両方に依存し、グラッドストン・デール関係式を用いて計算できます。結晶は多くの場合、自然に異方性を示し、一部の媒質（液晶など）では、外部電場を印加することで異方性を誘起することが可能です。

ガラスなどの一般的な透明媒体は等方性であり、これは光が媒体内をどの方向に進んでも同じように振る舞うことを意味します。誘電体におけるマクスウェル方程式の観点から見ると、これは電束密度場Dと電場Eの間に次のような関係を与えます。

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$

ここで、ε₀_は真空の誘電率、 Pは電気分極（媒質中に存在する電気双極子モーメントに対応するベクトル場）である。物理的には、分極場は媒質が光の電場に反応した結果とみなすことができる。

結晶のような異方性媒質では、分極場P は必ずしも光の電場Eと一致するとは限りません。物理的な観点から見ると、これは媒質中に電場によって誘起される双極子が、結晶の物理構造に関連した特定の優先方向を持つと考えることができます。これは次のように表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}{\boldsymbol {\chi }}\mathbf {E} .}$

ここでχは以前のような数値ではなく、2階のテンソル、すなわち電気感受率テンソルである。3次元の成分で表すと次のようになる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\P_{z}\end{pmatrix}}=\varepsilon _{0}{\begin{pmatrix}\chi _{xx}&\chi _{xy}&\chi _{xz}\\\chi _{yx}&\chi _{yy}&\chi _{yz}\\\chi _{zx}&\chi _{zy}&\chi _{zz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{pmatrix}}}$

または、総和規約を使用する場合：

${\displaystyle P_{i}=\varepsilon _{0}\sum _{j\in \{x,y,z\}}\chi _{ij}E_{j}\quad .}$

χはテンソルであるため、 Pは必ずしもEと共線ではありません。

非磁性で透明な材料では、χ _ij = χ _ji、つまりχテンソルは実数かつ対称です。^{[ 1 ]}スペクトル定理に従って、適切な座標軸のセットを選択し、χ _xx、χ _yy、および χ _zzを除くテンソルのすべての成分をゼロにすることで、テンソルを対角化することができます。これにより、次の関係式が得られます。

${\displaystyle P_{x}=\varepsilon _{0}\chi _{xx}E_{x}}$

${\displaystyle P_{y}=\varepsilon _{0}\chi _{yy}E_{y}}$

${\displaystyle P_{z}=\varepsilon _{0}\chi _{zz}E_{z}}$

この場合、x、y、zの方向は媒質の主軸と呼ばれます。χ​​テンソルのすべての要素が実数である場合、これらの軸は直交することに注意してください。これは、屈折率がすべての方向で実数である場合に相当します。

したがって、DとEもテンソルによって関連付けられている。

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\varepsilon _{0}{\boldsymbol {\chi }}\mathbf {E} =\varepsilon _{0}(I+{\boldsymbol {\chi }})\mathbf {E} =\varepsilon _{0}{\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {E} .}$

ここで、εは比誘電率テンソルまたは誘電率テンソルとして知られています。したがって、媒質の屈折率もテンソルでなければなりません。z主軸に沿って伝搬し、波の電場がx軸に平行になるように偏光した光波を考えます。この波は感受率_χxxと誘電率εxx_を受けます。したがって、屈折率は次のようになります。

${\displaystyle n_{xx}=(1+\chi _{xx})^{1/2}=(\varepsilon _{xx})^{1/2}.}$

y方向に偏光した波の場合：

${\displaystyle n_{yy}=(1+\chi _{yy})^{1/2}=(\varepsilon _{yy})^{1/2}.}$

このように、これらの波は2つの異なる屈折率を認識し、異なる速度で伝播します。この現象は複屈折として知られており、方解石や石英などの一般的な結晶で発生します。

χ _xx = χ _yy ≠ χ _{zzの場合、結晶は}単軸性である。（結晶の光軸を参照。） χ _xx ≠ χ _yyかつ χ _yy ≠ χ _zzの場合、結晶は二軸性と呼ばれる。 単軸結晶は、 x または y 方向に偏光した光に対する「常光線」の屈折率 ( n _{o ) と、z 方向に偏光した光に対する「異常光線」の屈折率 (} n _e ) という 2 つの屈折率を示す。 単軸結晶は、n _e > n _{oの場合「正」、n e} < n _oの場合「負」である。 軸に対してある角度で偏光した光は、異なる偏光成分に対して異なる位相速度を経験し、単一の屈折率で記述することはできない。 これはしばしば屈折率楕円体として描かれる。

電気光学効果などの特定の非線形光学現象では、外部電場が印加されると、媒質の誘電率テンソルが電場の強さに比例して（最低次近似で）変化します。これにより、媒質の主軸が回転し、媒質を通過する光の挙動が変化します。この効果は、光変調器の製造に利用できます。

磁場に反応して、一部の物質は複素エルミート誘電率テンソルを持つことがあります。これはジャイロ磁気効果または磁気光学効果と呼ばれます。この場合、主軸は楕円偏光に対応する複素数値ベクトルとなり、時間反転対称性が破れることがあります。これは、例えば光アイソレーターの設計に利用できます。

エルミートでない誘電率テンソルは複素固有値を生み出し、これは特定の周波数において利得または吸収を持つ物質に対応する。

• 複屈折
• 光学結晶
• インデックス楕円体
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