複屈折

複屈折とは、二重屈折を意味します。これは、光の偏光と伝播方向に依存する屈折率を持つ材料の光学特性です。^[1]これらの光学異方性材料は、複屈折性または複屈折性と呼ばれます。複屈折は、材料が示す屈折率の最大差として定量化されることがよくあります。非立方結晶構造を持つ結晶は、機械的ストレスを受けたプラスチックと同様に、複屈折性であることがよくあります。

複屈折は、光線が複屈折物質に入射すると、偏光によってわずかに異なる経路をとる 2 つの光線に分割される二重屈折現象の原因です。この効果は、1669 年にデンマークの科学者ラスムス バルトリンによって初めて説明されました。彼は、最も強い複屈折の 1 つであるアイスランドのスパー (方解石) 結晶でこの現象を観察しました[ 2]。19 世紀には、オーギュスタンジャンフレネル^がこの現象を偏光の観点から説明し、光を横偏光 (波ベクトルの方向に対して垂直) のフィールド成分を持つ波として理解しました。^{[3] [4]}

複屈折媒体における波の伝播の数学的説明を以下に示します。次に、現象の定性的な説明を示します。

最も単純なタイプの複屈折は一軸性として説明されます。これは、光学異方性を支配する単一の方向があり、その方向に垂直な（または特定の角度にある）すべての方向が光学的に等価であることを意味します。したがって、この軸を中心に材料を回転させても、その光学的挙動は変化しません。この特別な方向は、材料の光軸として知られています。光軸に平行に伝播する光（その偏光は常に光軸に垂直です）は、その特定の偏光に関係なく、屈折率n _o（「通常」の）によって制御されます。他の伝播方向を持つ光線の場合、光軸に垂直な直線偏光が 1 つあり、その偏光を持つ光線は通常光線と呼ばれ、同じ屈折率値 n o によって制御されます。_同じ方向に伝播するが、通常光線の偏光と垂直な偏光を持つ光線の場合、偏光方向は部分的に光軸の方向（平行）になり、この異常光線は方向に依存する異なる屈折率によって制御されます。屈折率は偏光に依存するため、非偏光光が一軸複屈折材料に入ると、異なる方向に進む 2 つのビームに分割され、一方は常光線の偏光を持ち、もう一方は異常光線の偏光を持つ。常光線は常に屈折率n _oを受けるが、異常光線の屈折率は屈折率楕円体によって記述される光線の方向に応じてn _oとn _{e の}間になる。その差の大きさは複屈折^{[5]によって定量化される。}

${\displaystyle \Delta n=n_{\mathrm {e} }-n_{\mathrm {o} }\,.}$

常光線の伝播（および反射係数）は、複屈折が関与していないかのように、単純にn _{oで記述されます。異常光線は、その名前が示すように、等方性光学材料内の他の波とは異なり伝播します。表面での屈折（および反射）は、有効屈折率（} n _oとn _eの間の値）を使用して理解できます。そのパワーフロー（ポインティングベクトルによって与えられる）は、波数ベクトルの方向と正確には一致しません。これにより、通常の入射角で発射された場合でも、そのビームにさらなるシフトが生じます。これは、上の写真のように方解石の結晶を使用してよく観察されます。方解石の結晶を回転させると、2 つの画像のうちの 1 つ、異常光線の画像が、固定されたままの常光線の画像の周りをわずかに回転します。^{[検証が必要]}

光が光軸に沿って、または光軸に直交して伝播する場合、このような横方向のシフトは発生しません。前者の場合、両方の偏光は光軸に垂直で、同じ有効屈折率を見るため、異常光線は存在しません。後者の場合、異常光線は異なる位相速度 ( n _eに対応) で伝播しますが、波数ベクトルの方向にパワーフローが存在します。光学面と平行なこの方向の光軸を持つ結晶を使用して、波長板を作成できます。波長板では、画像の歪みはありませんが、入射波の偏光状態が意図的に変更されます。たとえば、1/4 波長板は、直線偏光ソースから 円偏光を作成するためによく使用されます。

いわゆる二軸結晶の場合は、かなり複雑です。^[6]これらは、結晶の3つの主軸に対応する3つの屈折率によって特徴付けられます。ほとんどの光線方向では、両方の偏光は異常光線として分類されますが、有効屈折率は異なります。異常波であるため、どちらの場合も、電力の流れの方向は波動ベクトルの方向と同じではありません。

2 つの屈折率は、偏光の特定の方向の屈折率楕円体を使用して決定できます。2 軸結晶の場合、屈折率楕円体は回転楕円体 (「回転楕円体」) ではなく、3 つの不等な主屈折率n _α、n _{β 、}およびn _γによって記述されることに注意してください。したがって、回転しても光学特性が不変になる軸はありません (屈折率楕円体が回転楕円体である 1 軸結晶の場合のように)。

対称軸はありませんが、光が複屈折せずに伝播する方向、つまり波長が偏光に依存しない方向として定義される2つの光軸または双法線があります。 ^[6]このため、3つの異なる屈折率を持つ複屈折材料は双軸と呼ばれます。さらに、光の群速度が偏光に依存しない 2つの異なる軸、つまり光軸または双放射軸があります。

任意の光線が非垂直入射で複屈折性材料の表面に当たると、光軸に垂直な偏光成分 (常光線) ともう一方の直線偏光 (異常光線) は、いくぶん異なる経路に屈折します。自然光、いわゆる非偏光は、任意の 2 つの直交偏光に等しい量のエネルギーを含んでいます。直線偏光であっても、複屈折の 2 つの軸のいずれかに沿っていない限り、両方の偏光にある程度のエネルギーを持っています。スネルの屈折の法則によれば、2 つの屈折角は、これら 2 つの偏光のそれぞれの有効屈折率によって決まります。これは、たとえば、方解石などの複屈折性材料でできたプリズムを使用して入射光を 2 つの直線偏光に分離するウォラストンプリズムに明確に見られます。

2 つの偏光成分の異なる屈折角は、このページの上部にある図に示されています。光軸は表面に沿っており (入射面に垂直)、そのためp偏光 (この場合、電気ベクトルが光軸に垂直な「常光線」) とs偏光 (この場合、電場分極に光軸の方向の成分が含まれる「異常光線」) の屈折角は異なります。さらに、光軸が屈折面に沿っていない (または正確に垂直ではない) 場合は、垂直入射でも、明確な形の複屈折が発生します。この場合、複屈折材料の誘電分極は、異常光線の波の電場の方向に正確には一致しません。この不均一な波の電力の流れの方向 (ポインティング ベクトルで指定) は、波ベクトルの方向から有限の角度にあるため、これらのビーム間の分離がさらに生じます。したがって、法線入射の場合であっても、屈折角はゼロと計算されます (スネルの法則によれば、有効屈折率に関係なく)、異常光線のエネルギーは角度をつけて伝播します。入射面と平行な面から結晶を出ると、両方の光線の方向は元に戻りますが、2 つのビームの間にずれが生じます。これは、上の写真のように、方解石を自然の劈開に沿って切り、文字が書かれた紙の上に置いたときによく見られます。これに対して、波長板は特に光軸が板の表面に沿っているため、(ほぼ) 法線入射では、どちらの偏光の光からも画像にずれはなく、2 つの光波の間に 相対的な位相ずれが生じるだけです。

偏光に関する研究の多くは、光を横方向の電磁波として理解する以前に行われており、これが使用されている用語の一部に影響を与えています。等方性材料はすべての方向に対称性があり、屈折率はどの偏光方向でも同じです。異方性材料は、一般に単一の入射光線を 2 つの方向に屈折させるため、「複屈折」と呼ばれます。現在では、これが 2 つの異なる偏光に対応することがわかっています。これは、単軸材料でも双軸材料でも当てはまります。

一軸性材料では、1 つの光線は通常の屈折法則 (通常の屈折率に対応) に従って動作するため、垂直入射の入射光線は屈折面に対して垂直のままです。上で説明したように、もう 1 つの偏光は垂直入射から外れることがあり、これは屈折法則では説明できません。そのため、これは異常光線として知られるようになりました。「通常の」および「異常な」という用語は、複屈折が関与していない場合でも、光軸に垂直な偏光成分と垂直でない偏光成分にそれぞれ適用されます。

物質が一軸性であるとは、光学的挙動において対称性が 1 方向のみである場合を指します。この対称性を光軸と呼びます。この対称性は、屈折率楕円体 (この場合は回転楕円体) の対称軸でもあります。屈折率楕円体は、3 つの座標軸に沿った屈折率n _α、n _β、n _γによって記述することもできます。この場合は 2 つが等しくなります。したがって、x軸とy軸に対応するn _α = n _βの場合、異常屈折率はz軸に対応するn _γであり、この場合は 光軸とも呼ばれます。

3 つの屈折率がすべて異なる材料は二軸と呼ばれますが、この用語の由来はより複雑で、誤解されることも少なくありません。一軸結晶では、光線の異なる偏光成分は、いわゆる光軸の方向の光線を除いて、異なる位相速度で進みます。したがって、光軸には、その方向の光線が複屈折を示さず、そのような光線のすべての偏光が同じ屈折率を経験するという特別な特性があります。3 つの主要な屈折率がすべて異なる場合はまったく異なります。その場合、それらの主要な方向のいずれかに入射する光線は、依然として 2 つの異なる屈折率に遭遇します。しかし、異なる偏光の屈折率が再び等しくなる 2 つの特別な方向 (3 つの軸すべてに対して角度がある) があることがわかります。このため、これらの結晶は二軸と指定され、この場合の 2 つの「軸」は、伝播が複屈折を経験しない光線の方向を指します。

複屈折性物質では、波は一般に異なる有効屈折率によって決まる 2 つの偏光成分から構成されます。いわゆる低速光線は、その物質の有効屈折率が高い (位相速度が遅い) 成分であり、高速光線は有効屈折率が低い成分です。空気 (または屈折率が低い任意の物質) からそのような物質に光線が入射すると、低速光線は高速光線よりも法線方向に屈折します。このページの上部にある例の図では、s偏光の屈折光線 (電気振動が光軸方向に沿っているため、異常光線^[7]と呼ばれます) が、特定のシナリオでの低速光線であることがわかります。

この材料の薄い板を垂直入射で使用すると、波長板を実装できます。この場合、偏光間に空間的な分離は本質的になく、平行偏光 (低速光線) の波の位相は垂直偏光に対して遅れます。したがって、これらの方向は波長板の低速軸と高速軸として知られています。

一軸複屈折は、異常屈折率n _{e が常屈折率}n _oより大きい場合、正と分類されます。負の複屈折とは、 Δ n = n _e − n _oがゼロ未満であることを意味します。^[8]言い換えれば、結晶の複屈折がそれぞれ正（または負）の場合、高速（または低速）波の偏光は光軸に対して垂直です。二軸結晶の場合、3つの主軸すべてが異なる屈折率を持つため、この指定は適用されません。ただし、定義された任意の光線方向に対して、高速光線と低速光線の偏光を指定することは可能です。

複屈折の最もよく知られた発生源は異方性結晶への光の入射ですが、いくつかの方法では 光学的に等方性の材料が生じることもあります。

• 応力複屈折は、通常は等方性の固体が応力を受けて変形（つまり、伸ばされたり曲げられたり）すると、物理的な等方性が失われ、その結果、材料の誘電率テンソルの等方性が失われる結果となります。
• 複屈折を形成し、ある屈折率を持つロッドなどの構造要素が、異なる屈折率を持つ媒体に浮かび上がります。格子間隔が波長よりもはるかに小さい場合、そのような構造はメタマテリアルと呼ばれます。
• ポッケルス効果またはカー効果により、印加電界が非線形光学による複屈折を誘発する。
• 脂質、一部の界面活性剤、液晶などの両親媒性分子の薄膜への自己配向または強制配向によって[^要出典]
• 円複屈折は、一般に異方性の物質ではなく、キラルな物質で発生します、キラル分子のエナンチオマー過剰、つまり立体異性体を持つ液体が含まれます。
• ファラデー効果により、縦磁場によって一部の物質が円複屈折（左回りと右回りの円偏光で屈折率がわずかに異なる）状態になり、磁場が印加されている間の光学活性に似た状態になります。

最もよく特徴付けられた複屈折物質は結晶である。その特定の結晶構造のため、屈折率は明確に定義されている。結晶構造の対称性（32 の可能な結晶点群の 1 つによって決定される）に応じて、そのグループの結晶は等方性（複屈折ではない）になるか、一軸対称性を持つか、またはそのどちらでもない（その場合は二軸結晶）になる。一軸および二軸複屈折を可能にする結晶構造は、以下の 2 つの表に示されており、よく知られている結晶の 2 つまたは 3 つの主な屈折率（波長 590 nm）がリストされている。^[9]

応力がかかった状態で誘発される複屈折に加えて、多くのプラスチックは、プラスチックが成形または押し出されるときに存在する機械的な力によって「固定」される応力のために、製造中に永久的な複屈折を獲得します。^[10]たとえば、通常のセロハンは複屈折性があります。偏光子は、ポリスチレンやポリカーボネートなどのプラスチックに適用される応力または固定された応力を検出するために日常的に使用されます。

綿繊維は、繊維の二次細胞壁中に綿繊維と同方向に配列した高レベルのセルロース物質を含んでいるため、複屈折性があります。

多くの生物学的材料は直線的または円的に複屈折性があるため、偏光顕微鏡は生物学的組織で一般的に使用されています。軟骨、腱、骨、角膜、および体内のその他のいくつかの領域に存在するコラーゲンは複屈折性があり、偏光顕微鏡で研究されることがよくあります。^[11]一部のタンパク質も複屈折性があり、形状複屈折を示します。^[12]

光ファイバーの製造上避けられない欠陥は複屈折を引き起こし、これが光ファイバー通信におけるパルス広がりの原因の 1 つです。このような欠陥は幾何学的なもの (円対称性の欠如) である場合もあれば、光ファイバーにかかる不均等な横方向の応力が原因である場合もあります。複屈折は、偏光保持光ファイバーを製造するために意図的に導入されます (たとえば、断面を楕円形にするなど)。光ファイバーを曲げることで複屈折が誘発 (または修正) される可能性があり、曲げる軸と曲率半径によって形状と応力に異方性が生じます。

これまで議論してきた電気分極率の異方性に加えて、磁気透過率の異方性も複屈折の原因となる可能性があります。光周波数では、天然材料の磁気分極率 ( μ = μ ₀ )は測定できないため、これは実際の複屈折の原因ではありません。^{[引用が必要]}

複屈折やその他の偏光に基づく光学効果 (旋光性、直線二色性、円二色性など) は、物質を通過する光の偏光の変化を測定することで観察できます。これらの測定は偏光測定法と呼ばれます。サンプルの両側に互いに 90° の角度で配置された 2 つの偏光子を含む偏光顕微鏡は、複屈折の影響を受けていない光が2 番目の偏光子 (「検光子」) によって完全に拒否される偏光のままであるため、複屈折を視覚化するために使用されます。1/4 波長板を追加すると、円偏光を使用した検査が可能になります。このような装置を使用して偏光状態の変化を決定することは、反射を通じて鏡面の光学特性を測定できる エリプソメトリーの基礎です。

複屈折測定は、流体の過渡的流動挙動を調べるために位相変調システムを用いて行われてきた。^{[14] [15]}脂質二重層の複屈折は、二重偏光干渉法を使用して測定することができる。これにより、これらの流体層内の秩序の程度と、層が他の生体分子と相互作用したときにこの秩序がどのように乱されるかを測定することができる。

複屈折の3D測定には、ホログラフィックトモグラフィー[1]に基づく技術を使用することができる。

複屈折は多くの光学装置で利用されています。最も一般的なフラットパネルディスプレイである液晶ディスプレイでは、画面表面のシート偏光子を通して見た直線偏光の偏光の回転 (円複屈折) によってピクセルが明るくなったり暗くなったりします。同様に、光変調器は偏光子に続く偏光の電気的誘起複屈折によって光の強度を変調します。リヨフィルタは、複屈折の波長依存性を利用した特殊な狭帯域スペクトルフィルタです。波長板は、通過する光の偏光状態を変更するために特定の光学装置で広く使用されている薄い複屈折シートです。

高透過率の偏光子を製造するために、グラン・トムソンプリズム、グラン・テイラープリズムなどのデバイスで複屈折結晶が使用されています。^[16]層状の複屈折ポリマーシートもこの目的に使用できます。^[17]

複屈折は、第二高調波発生やその他の非線形光学プロセスでも重要な役割を果たします。これらの目的で使用される結晶は、ほぼ常に複屈折性です。入射角を調整することで、異常光線の有効屈折率を調整して、これらのデバイスの効率的な動作に必要な位相整合を実現できます。

複屈折は医療診断に利用されています。光学顕微鏡で使用される強力なアクセサリの 1 つは、交差偏光フィルターのペアです。光源からの光は、最初の偏光子を通過した後にx方向に偏光されますが、標本の上にはy方向に向いた偏光子 (いわゆるアナライザー) があります。したがって、光源からの光はアナライザーに受け入れられず、視野は暗く見えます。複屈折を持つサンプルの領域は、通常、x偏光の一部がy偏光に結合されるため、これらの領域は暗い背景に対して明るく見えます。この基本原理を変更することで、正の複屈折と負の複屈折を区別できます。

例えば、痛風の関節から液を針で吸引すると、負の複屈折を示す尿酸ナトリウム結晶が見つかります。対照的に、ピロリン酸カルシウム結晶は弱い正の複屈折を示します。 ^[19]尿酸結晶は黄色に見え、ピロリン酸カルシウム結晶は、その長軸が赤色補正フィルターの長軸と平行に並ぶと青く見えます。 ^[20]また、比較のために複屈折がわかっている結晶をサンプルに加えると青く見えます。

生きたヒトの大腿部内部の組織の複屈折を、1310 nmの偏光感度光干渉断層撮影法と針内のシングルモードファイバーを使用して測定した。骨格筋の複屈折はΔn = 1.79 × 10 −3 ^± 0.18×10 ⁻³、脂肪組織の複屈折はΔn = 0.07 × 10 ⁻³ ± 0.50 × 10 ⁻³、表在腱膜の複屈折はΔn = 5.08 × 10 ⁻³ ± 0.73 × 10 ⁻³、間質組織の複屈折はΔn = 0.65 × 10 ⁻³ ±0.39 × 10 ⁻³であった。^{[21]これらの測定値は、}デュシェンヌ型筋ジストロフィーのより侵襲性の低い診断法の開発に重要となる可能性がある。

アルツハイマー病患者の脳に見られるアミロイド斑をコンゴーレッドなどの染料で染色すると、複屈折が観察されます。免疫グロブリン軽鎖などの修飾タンパク質が細胞間に異常に蓄積し、原線維を形成します。これらの線維の複数のひだは一列に並び、ベータプリーツシート構造をとります。コンゴーレッド染料はひだの間に 挿入され、偏光下で観察すると複屈折を引き起こします。

眼科では、ヘンレ線維（中心窩から放射状に外側に伸びる光受容体軸索）の両眼網膜複屈折スクリーニングにより、斜視、さらには不同視性弱視を確実に検出できます。^[22]健康な被験者では、ヘンレ線維層によって誘発される最大遅延は、840 nmで約22度です。^[23]さらに、走査型レーザー偏光測定法では、視神経線維層の複屈折を使用してその厚さを間接的に定量化します。これは、緑内障の評価とモニタリングに使用されます。健康な被験者から得られた偏光感度光干渉断層撮影の測定値は、視神経乳頭の周りの場所の関数として網膜神経線維層の複屈折の変化を示しています。^[24]同じ技術が最近、生きた人間の網膜に適用され、視神経近くの血管壁の偏光特性を定量化しました。^[25]高血圧患者では網膜血管壁が厚くなり、複屈折性が低下し、^[26]血管壁の状態の低下を示唆する一方、糖尿病患者の血管壁では厚さの変化は見られませんが、複屈折性が増加します^[27]。これはおそらく線維症または炎症によるものと考えられます。

精子頭部の複屈折特性により、卵細胞質内精子注入のための精子を選択することができます。^[28]同様に、透明帯イメージングでは、卵母細胞の複屈折を利用して、妊娠成功の可能性が最も高いものを選択します。^[29]肺結節から生検した粒子の複屈折は、珪肺症を示しています。

皮膚科医は皮膚病変を観察するためにダーモスコープを使用します。ダーモスコープは偏光を使用し、皮膚の真皮コラーゲンに対応する結晶構造を観察することができます。これらの構造は光沢のある白い線またはロゼット形状として現れ、偏光ダーモスコピーでのみ観察できます。

等方性固体は複屈折を示さない。機械的応力を受けると、複屈折が生じる。応力は外部から加えられる場合もあれば、射出成形で製造された複屈折プラスチック製品が冷却された後に「凍結」される場合もある。このようなサンプルを 2 つの交差偏光子の間に置くと、光線の偏光が複屈折材料を通過した後に回転し、回転量は波長に依存するため、色のパターンを観察できる。固体の応力分布を分析するために使用される光弾性と呼ばれる実験方法は、同じ原理に基づいている。最近、ガラス板の応力誘起複屈折を使用して、光渦と完全なポアンカレビーム (断面全体で可能なすべての偏光状態を持つ光ビーム) を生成する研究が行われています。^[30]

複屈折は異方性弾性材料で観察されます。これらの材料では、2 つの偏光は有効屈折率に応じて分割され、有効屈折率も応力に敏感です。

固体地球（地球の液体核はせん断波をサポートしない）を伝わるせん断波の複屈折の研究は、地震学で広く利用されている。^[要出典]

複屈折は、岩石、鉱物、宝石を識別するために鉱物学で広く使用されています。^{[引用が必要]}

等方性媒体（自由空間を含む）では、いわゆる電気変位（D ）は、 D = ɛ Eに従って電界（E ）に正比例します。ここで、材料の誘電率εは単なるスカラー（ n ² ε ₀に等しく、nは屈折率）です。複屈折を示す異方性材料では、 DとEの関係は、テンソル方程式を使用して記述する必要があります。

ここで、ε は3 × 3 の誘電率テンソルです。媒体には線形性があり、透磁率はないと仮定します: μ = μ ₀ 。角周波数ωの平面波の電場は、一般的な形式で表すことができます:

ここでrは位置ベクトル、tは時間、E _0はr = 0、t = 0における電場を表すベクトルです。次に、可能な波動ベクトル kを見つけます。∇ × Eと∇ × Hのマクスウェル方程式を組み合わせると、H = ⁠1/μ ₀⁠ Bを取得するには:

自由電荷がない場合、 Dの発散に関するマクスウェル方程式は消えます。

ベクトル恒等式 ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ ² Aを式 3aの左側に適用し、 xの各微分（例えば）がik _xによる乗算となる空間依存性を使用して、次式を求めることができます。

式3aの右辺は、誘電率テンソルεを適用してEで表すことができ、時間微分は−iωによる乗算となることに留意すると、式3aは次のようになります。

微分法の規則を式3bに適用すると次のようになります。

式 4b は、D が波数ベクトルkの方向に対して直交していることを示していますが、等方性媒体の場合のようにEについては一般には当てはまりません。式 4b は、以降の導出の以降の手順では必要ありません。

与えられたωに対するkの許容値を見つけるには、結晶の対称軸の方向に x 、 y 、 z 軸を選択した直交座標を使用するのが最も簡単です（または、単軸結晶の光軸の方向にz を選択するだけです） 。その結果、誘電率テンソルεの対角行列が得られます。

ここで、対角値は、3つの主軸x、y、zに沿った偏光の屈折率の2乗です。ε をこの形式で表し、光速c をc ² = ⁠ を使って代入すると、1/μ ₀ ε ₀⁠、ベクトル方程式4aのx成分は

ここで、E _x、E _y、E _{z は}Eの成分（空間と時間の任意の位置）であり、k _x、k _y、k _{z は}kの成分です。整理すると、次のように書くことができます（式 4aのyおよびz成分についても同様です）。

これはE _x、E _y、E _zの線形方程式のセットなので、次の行列式がゼロである限り、非自明な解（つまり、 E = 0以外の解）を持つことができます。

式6の行列式を評価し、項を のべき乗に従って並べ替えると、定数項は打ち消されます。残りの項から共通因数を消去すると、次式が得られます。 ${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$

一軸性材料の場合、光軸をz方向に選択してn _x = n _y = n _oおよびn _z = n _eとすると、この式は次のように因数分解できる。

式 8のいずれかの係数をゼロに設定すると、与えられたωに対して許容される波数ベクトルkの空間に楕円面^{[注 1]が定義されます。最初の係数がゼロの場合、球面が定義されます。これは、} kの方向に関係なく、有効屈折率が正確にn _oである、いわゆる常光線に対する解です。2 番目の係数は、z軸を中心に対称な回転楕円体を定義します。この解は、 kの方向に応じて有効屈折率がn _oとn _{e の}間になる、いわゆる異常光線に対応します。したがって、任意の伝播方向 (光軸の方向以外) に対して、常光線と異常光線の偏光に対応する 2 つの異なる波数ベクトルkが許可されます。

二軸材料の場合、2つの波に関する同様だがより複雑な条件を記述することができる。^{[31]許容される}kベクトルの軌跡（波動ベクトル面）は4次の2シート面であるため、特定の方向には一般に2つの許容されるkベクトル（およびその反対）がある。^[32]調べてみると、式6は一般にωの2つの正の値に対して満たされることがわかる。または、指定された光周波数ωと波面に垂直な方向に対して、⁠け/|か|⁠ 、この式は、その方向への2つの直線偏光の伝搬に対応する2つの波数（または伝搬定数） | k |（したがって有効屈折率） に対して満たされます

これら 2 つの伝搬定数が等しい場合、有効屈折率は偏光とは無関係であり、その結果、その特定の方向に伝わる波は複屈折に遭遇しない。一軸結晶の場合、これは光軸、つまり上記の構成による± z方向である。しかし、3 つの屈折率 (または誘電率) n _x、n _y、n _zがすべて異なる場合、波ベクトル面の 2 つのシートが接する方向が正確に 2 つあることが示される。^{[32]これらの方向はまったく明らかではなく、3 つの主軸 (上記の慣例による}x、y、z )のいずれにも沿っていない。歴史的に、このような結晶に「双軸」という用語が使用されるのは、偏光と複屈折が物理的に理解されるずっと前に、正確に 2 つのこのような特別な方向 (「軸」と見なされる) の存在が発見されたためである。これらの 2 つの特別な方向は、一般に特に重要ではない。二軸結晶は、むしろ、3 つの対称軸に対応する 3 つの屈折率によって指定されます。

媒体に入射する一般的な偏光状態は、常に 2 つの波に分解できます。2 つの偏光のそれぞれに 1 つずつ波があり、異なる波数| k |で伝搬します。指定された伝搬距離にわたって 2 つの波に異なる伝搬位相を適用すると、その時点での正味の偏光状態は一般的に異なります。これは、たとえば波長板の原理です。波長板を使用すると、2 つの光線のk ベクトルが同じ方向を向いているため、2 つの光線の間に空間的なずれはありません。これは、2 つの偏光のそれぞれが光軸に対して垂直 (常光線) または平行 (異常光線) である場合に当てはまります。

より一般的なケースでは、2 つの光線の大きさだけでなく方向にも違いがあります。たとえば、方解石結晶を通した写真 (ページ上部) では、2 つの偏光でずれた画像が示されていますが、これは光軸が結晶表面に対して平行でも垂直でもないためです。また、光軸が表面に対して平行な場合でも、非垂直入射で発射された波ではこの現象が発生します (説明図に示されているように)。これらの場合、2 つのkベクトルは、2 つの透過波のkベクトルの成分と、界面の表面に投影された入射波のkベクトルがすべて同一でなければならないという境界条件によって制約された式 6 を解くことで見つけることができます。単軸結晶の場合、通常の光線 (そのため、その名前が付けられています) には空間的なずれがなく、光軸ではない 2 つの軸と同じ屈折率を持つ非複屈折性物質であるかのように屈折します。二軸結晶の場合、どちらの光線も「通常」とはみなされず、主軸の 1 つに等しい屈折率に従って屈折することも通常ありません。

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ウィキメディア・コモンズには、複屈折に関連するメディアがあります。

• 応力解析装置（複屈折理論に基づく）^{[永久デッドリンク‍ ]}
• [2]
• ポリメチルメタクリレート (PMMA またはプレキシガラス) の応力複屈折のビデオ。
• アーティストのオースティン・ウッド・コマロウは、複屈折を利用して動的な具象イメージを創り出しています。
• メリフィールド、マイケル。「複屈折」。60のシンボル。ノッティンガム大学のブレイディ・ハラン。
• 薄い氷の複屈折（トム・ワグナー、写真家）