アッベ数

光学およびレンズ設計において、アッベ数（ Vd 数または透明材料のコンストリンジェンスとも呼ばれる）は、材料の分散（波長に対する屈折率の変化）のおおよその尺度であり、 Vd値が高いほど分散が低いことを示します。これは、それを定義したドイツの物理学者エルンスト・アッベ（1840-1905）にちなんで名付けられました。Vd 数という用語は、ファイバーの正規化周波数と混同しないでください。

物質の アッベ数^{[1]は次のように定義される。} ${\displaystyle V_{\mathsf {d}}\ ,}$

${\displaystyle V_{\mathsf {d}}\equiv {\frac {n_{\mathsf {d}}-1}{\ n_{\mathsf {F}}-n_{\mathsf {C}}\ }}}$、

ここで、およびは、フラウンホーファーのC、d、Fスペクトル線の波長(それぞれ 656.3  nm、587.56 nm、486.1 nm)における材料の屈折率です。この定式化は、人間の視覚にのみ適用されます。この範囲外では、異なるスペクトル線を使用する必要があります。可視光線以外のスペクトル線については、「V 数」という用語がより一般的に使用されます。より一般的な定式化は、次のように定義されます。 ${\displaystyle n_{\mathsf {C}},}$ ${\displaystyle n_{\mathsf {d}},}$${\displaystyle n_{\mathsf {F}}}$

${\displaystyle V\equiv {\frac {n_{\mathsf {center}}-1}{n_{\mathsf {short}}-n_{\mathsf {long}}}}}$、

ここで、 およびは、 3 つの異なる波長における材料の屈折率です。最短波長の屈折率は、最長波長の屈折率は です。 ${\displaystyle n_{\mathsf {short}},}$ ${\displaystyle n_{\mathsf {center}},}$${\displaystyle n_{\mathsf {long}},}$${\displaystyle n_{\mathsf {short}}}$${\displaystyle n_{\mathsf {long}}}$

アッベ数は、ガラスやその他の光学材料を色度に基づいて分類するために使用されます。たとえば、分散度の高いフリントガラスはアッベ数が比較的小さいのに対し、分散度の低いクラウンガラスはアッベ数が大きくなります。値の範囲は、非常に密度の高いフリントガラスでは 25 未満、ポリカーボネートプラスチックでは約 34、一般的なクラウンガラスでは最大 65、一部の蛍石およびリン酸塩クラウンガラスでは 75 ～ 85 です。 ${\displaystyle V<55}$${\displaystyle V_{\mathsf {d}}}$

アッベ数は、アクロマートレンズの設計に使用されます。これは、アッベ数の逆数が、人間の目が最も敏感な波長領域における分散（屈折率と波長の傾き）に比例するためです（グラフを参照）。異なる波長領域の場合、またはシステムの色度をより正確に特徴付ける場合（アポクロマートの設計など）、完全な分散関係（波長の関数としての屈折率）が使用されます。

アッベ図は「ガラスのベール」とも呼ばれ、物質のアッベ数と屈折率をプロットすることで作成されます。ガラスは図上の位置に従って分類および選択できます。これは、 Schott Glassカタログで使用されている文字と数字のコード、または 6 桁のガラス コードになります。 ${\displaystyle V_{\mathsf {d}}}$${\displaystyle n_{\mathsf {d}}.}$

ガラスのアッベ数と平均屈折率は、色収差を一次的に打ち消すために、アクロマティック レンズの要素に必要な屈折力を計算する際に使用されます。アクロマティック ダブレットの設計方程式に入力されるこれら 2 つのパラメータは、まさにアッベ図にプロットされるものです。

ナトリウム線と水素線の生成は困難で不便であるため、アッベ数の代替定義がしばしば用いられる（ISO 7944）。^{[3]たとえば、FとCの}水素線間の屈折率の変化を使用する上記の標準的な定義ではなく、水銀のe線を下付き文字「e」で表し、カドミウムのF ′線とC ′ 線と比較した代替の測定法が1つある。

${\displaystyle V_{\mathsf {e}}={\frac {n_{\mathsf {e}}-1}{\ n_{\mathsf {F'}}-n_{\mathsf {C'}}\ }}~.}$

この代替法は、波長 480.0 nm と 643.8 nm におけるカドミウムの青 (C ′ ) と赤 (F ′ ) の屈折率の差を、水銀の e 線 (546.073 nm) の屈折率と比較したものです。これらはすべて波長が近く、C、F、e 線よりも生成が簡単です。他の定義も同様に使用できます。次の表は、 が一般的に決定される標準波長と、使用される標準の下付き文字を示しています。^[4]${\displaystyle \ n_{\mathsf {e}}\ }$${\displaystyle \n\}$

レンズメーカーの方程式からレンズの厚さを考慮した小さな項を削除することで薄レンズ方程式が得られる。^[5]${\displaystyle \d\}$

${\displaystyle P={\frac {1}{\ f~}}=(n-1){\Biggl [}{\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}+{\frac {\ (n-1)\ d~}{\ n\ R_{1}R_{2}\ }}{\Biggr ]}\approx (n-1)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\ ,}$

いつ${\displaystyle d\ll {\sqrt {\ R_{1}R_{2}\ }}~.}$

2つの波長間の屈折力 の変化は次のように表される 。${\displaystyle \P\}$${\displaystyle \\lambda_{\mathsf{short}}\}$${\displaystyle \\lambda_{\mathsf{long}}\}$

${\displaystyle \Delta P=P_{\mathsf {short}}-P_{\mathsf {\ \!long}}=(n_{\mathsf {s}}-n_{\mathsf {\ell }})\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\ ,}$

ここで、 と はそれぞれ短波長と長波長の屈折率であり、以下は中心の屈折率です。 ${\displaystyle \ n_{\mathsf {s}}\ }$${\displaystyle \ n_{\mathsf {\ell }}\ }$${\displaystyle \ n_{\mathsf {c}}\ ,}$

パワー差は中心波長（） におけるパワーを基準にして表すことができる。${\displaystyle \\lambda_{\mathsf{center}}\}$

${\displaystyle \ P_{\mathsf {c}}\ =(n_{\mathsf {c}}-1)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\,;}$

掛け算して割り算してまとめると、 ${\displaystyle \ n_{\mathsf {c}}-1\ }$

${\displaystyle \Delta P=\left(n_{\mathsf {s}}-n_{\mathsf {\ell }}\right)\left({\frac {\ n_{\mathsf {c}}-1\ }{n_{\mathsf {c}}-1}}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)=\left({\frac {\ \ n_{\mathsf {s}}-n_{\mathsf {\ell }}\ }{n_{\mathsf {c}}-1}}\right)P_{\mathsf {c}}={\frac {\ P_{\mathsf {c}}\ }{V_{\mathsf {c}}}}~.}$

相対的な変化は、${\displaystyle \ V_{\mathsf {c}}\ :}$

${\displaystyle {\frac {\ \Delta P\ }{P_{\mathsf {c}}}}={\frac {1}{\ V_{\mathsf {c}}\ }}~.}$

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