光学解像度

光学解像度とは、イメージングシステムがスケールによってどれだけの詳細を解像できるかを示す指標です。イメージングシステムは、1つまたは複数のレンズ、記録・表示コンポーネントなど、多くの個々の構成要素から成り立っています。これらの各要素は（適切な設計と適切な位置合わせがなされていれば）、システムの光学解像度に貢献します。また、イメージングが行われる環境も重要な要素となります。

解像度は、識別可能な2つの放射点間の距離に依存します。以下のセクションでは解像度の理論的な推定値について説明しますが、実際の値は異なる場合があります。以下の結果は、十分なコントラストレベルを前提としたエアリーディスクの数理モデルに基づいています。低コントラストのシステムでは、解像度は以下に概説する理論で予測される値よりもはるかに低くなる可能性があります。実際の光学系は複雑であり、実際的な困難によって識別可能な点光源間の距離が大きくなることがよくあります。

システムの解像度は最小距離に基づいている${\displaystyle r}$点が個々に区別できるレベル。点が区別できるかどうかを定量的に判断するために、いくつかの基準が用いられています。ある方法では、ある点の中心と次の点の中心を結ぶ線上で、最大強度と最小強度のコントラストが最大強度より少なくとも26%低いことを規定しています。これは、一方のエアリーディスクが他方のエアリーディスクの最初の暗いリングに重なることに相当します。この分離基準は、レイリー基準としても知られています。記号では、距離は次のように定義されます。^{[ 1 ]}

$${\displaystyle r={\frac {1.22\lambda }{2n\sin {\theta }}}={\frac {0.61\lambda }{\mathrm {NA} }}}$$ どこ

• ${\displaystyle r}$は、分解可能な点間の最小距離であり、同じ単位で表されます。${\displaystyle \lambda }$指定されています
• ${\displaystyle \lambda }$は光の波長、蛍光の場合は発光波長です。
• ${\displaystyle n}$は放射点を取り囲む媒質の屈折率であり、
• ${\displaystyle \theta }$は対物レンズに入る光の束の半角であり、
• ${\displaystyle \mathrm {NA} }$は開口数です

この式は共焦点顕微鏡に適していますが、従来の顕微鏡でも使用されています。共焦点レーザー走査顕微鏡では、エアリーディスクの測定の難しさを回避するために、点像分布関数の半値全幅（FWHM）がよく使用されます。^{[ 1 ]} これにより、ラスター照明パターンと組み合わせることで解像度が向上しますが、それでも上記のレイリーに基づく式に比例します。 $${\displaystyle r={\frac {0.4\lambda }{\mathrm {NA} }}}$$

また、顕微鏡学の文献では、コントラストに関する上記の懸念事項を異なる方法で扱う解像度の式もよく見られます。^{[ 2 ]} この式で予測される解像度は、レイリーに基づく式に比例し、約20%異なります。理論的な解像度を推定するには十分かもしれません。 $${\displaystyle r={\frac {\lambda }{2n\sin {\theta }}}={\frac {\lambda }{2\mathrm {NA} }}}$$

試料を照明するためにコンデンサーを使用する場合、コンデンサーから発せられる光の束の形状も考慮に入れなければならない。^{[ 3 ]}$${\displaystyle r={\frac {1.22\lambda }{\mathrm {NA} _{\text{obj}}+\mathrm {NA} _{\text{cond}}}}$$

適切に構成された顕微鏡では、${\displaystyle \mathrm {NA} _{\text{obj}}+\mathrm {NA} _{\text{cond}}=2\mathrm {NA} _{\text{obj}}}$。

上記の分解能の推定値は、同一の非常に小さなサンプル2つが、あらゆる方向に非干渉的に放射する場合に特有のものです。光源が異なる強度で放射する場合、コヒーレントな放射をする場合、大きな光源である場合、または不均一なパターンで放射する場合は、他の要素も考慮する必要があります。

レンズの解像度は通常、レンズの品質によって決まりますが、最終的には回折によって制限されます。物体内の点光源からの光は、レンズの開口部を通過する際に回折し、画像内に回折パターンを形成します。このパターンは、中心のスポットと、暗いヌルによって隔てられた周囲の明るいリングで構成されます。このパターンはエアリーパターンと呼ばれ、中心の明るいローブはエアリーディスクと呼ばれます。エアリーディスクの角半径（中心から最初のヌルまでの距離）は、次式で与えられます。 $${\displaystyle \theta =1.22{\frac {\lambda }{D}}}$$ どこ

• θはラジアン単位の角度分解能です。
• λは光の波長（メートル）です。
• Dはレンズ開口部の直径（メートル）です。

物体内の隣接する 2 つの点からは、2 つの回折パターンが生じます。2 つの点の角分離がエアリー ディスクの角半径よりもかなり小さい場合、2 つの点は画像内で分離できませんが、角分離がこれよりもはるかに大きい場合は、2 つの点の明確な画像が形成され、分離することができます。 レイリーは、角分離が最初のゼロ点までのエアリー ディスクの半径に等しい 2 つの点は分離されているとみなせるという、やや恣意的な「レイリー基準」を定義しました。レンズの直径または開口部が大きいほど、解像度が高くなることがわかります。天体望遠鏡は、星のより細かい部分を「見る」ことができるように、ますます大きなレンズを使用しています。

回折限界解像度を持つのは最高品質のレンズのみであり、通常はレンズの品質が細部を解像する能力を制限します。この能力は、光信号の空間（角度）変化を空間（角）周波数の関数として記述する光伝達関数（OTF）によって表されます。画像が写真フィルムや固体検出器などの平面に投影される場合、空間周波数が好ましい領域ですが、画像がレンズのみを参照する場合は、角周波数が好ましいです。OTFは、次のように振幅成分と位相成分に分解できます。 $${\displaystyle \mathbf {OTF(\xi ,\eta )} =\mathbf {MTF(\xi ,\eta )} \cdot \mathbf {PTF(\xi ,\eta )} }$$ どこ

• ${\displaystyle \mathbf {MTF(\xi ,\eta )} =|\mathbf {OTF(\xi ,\eta )} |}$
• ${\displaystyle \mathbf {PTF(\xi ,\eta )} =e^{-i2\cdot \pi \cdot \lambda (\xi ,\eta )}}$
• そして${\displaystyle (\xi ,\eta )}$これらはそれぞれ、x平面およびy平面における空間周波数である。

OTFは、上記の限界周波数式では考慮されていない収差を考慮します。振幅成分は変調伝達関数（MTF）として知られ、位相成分は位相伝達関数（PTF）として知られています。

画像システムでは、位相成分は通常センサーによって捉えられません。したがって、画像システムに関して重要な指標はMTF（変調伝達関数）です。

位相は、適応光学システムやホログラフィックシステムにとって極めて重要である。

光センサーの中には、電磁エネルギーの空間的な差を検出するように設計されたものがあります。これには、写真フィルム、固体素子（CCD、CMOSセンサー、PtSiやInSbなどの赤外線検出器）、管型検出器（ビジコン、プルンビコン、暗視装置で使用される光電子増倍管）、走査型検出器（主に赤外線用）、焦電型検出器、マイクロボロメータ検出器などがあります。このような検出器がこれらの差を識別できるかどうかは、主に検出素子のサイズに依存します。

空間分解能は通常、1ミリメートルあたりの線対数（lppmm）、線数（解像度、主にアナログビデオ用）、コントラスト対サイクル/mm、またはMTF（ OTFの絶対値）で表されます。MTFは、空間サンプリング関数の2次元フーリエ変換によって求められます。ピクセルサイズが小さいほどMTF曲線は広くなり、高周波エネルギーの検出精度が向上します。

これは、信号サンプリング関数のフーリエ変換を行うことに似ています。この場合と同様に、支配的な要素はサンプリング周期であり、これは画素（ピクセル）のサイズに相当します。

その他の要因としては、画素ノイズ、画素クロストーク、基板浸透、および充填率などが挙げられる。

技術者以外の人々の間でよくある問題は、解像度を表すのに検出器の画素数を用いることです。すべてのセンサーが同じサイズであれば、これは許容範囲内でしょう。しかし実際にはそうではないため、画素数を用いると誤解を招く可能性があります。例えば、画素サイズが20マイクロメートル四方の2メガピクセルカメラは、画素サイズが8マイクロメートル四方の1メガピクセルカメラよりも解像度が劣ります。これは、他の条件がすべて同じである場合です。

解像度測定のために、フィルムメーカーは通常、応答度（％）と空間周波数（1ミリメートルあたりのサイクル数）の関係を示すグラフを公開します。このグラフは実験的に導出されたものです。固体センサーおよびカメラメーカーは通常、ユーザーが以下の手順に従って理論的なMTFを導出できる仕様を公開しています。MTF曲線を公開しているメーカーもあれば、ナイキスト周波数における応答度（％）を公開しているメーカー（特にイメージインテンシファイアメーカー）や、応答度が50％となる周波数を公開しているメーカーもあります。

センサーの理論的なMTF曲線を求めるには、センサーの3つの特性、すなわち、アクティブセンシング領域、センシング領域と相互接続およびサポート構造を含む領域（「不動産」）、およびこれらの領域の総数（ピクセル数）を知る必要があります。総ピクセル数はほぼ常に与えられています。センサー全体の寸法が与えられている場合もあり、そこから不動産領域を計算できます。不動産領域が与えられているか導出されているかにかかわらず、アクティブピクセル領域が与えられていない場合は、不動産領域とフィルファクターから導出できます。ここで、フィルファクターはアクティブ領域と専用の不動産領域の比率です。 $${\displaystyle \mathrm {FF} ={\frac {a\cdot b}{c\cdot d}}}$$ どこ

• ピクセルの有効領域の寸法はa × bである。
• ピクセル領域のサイズはc × dです

ガスキルの表記法では、センシング領域は、ピクセル間の距離（ピッチ）の 2D comb( x , y ) 関数であり、ピクセルのアクティブ領域の 2D rect( x , y ) 関数と畳み込まれ、センサー全体の寸法の2D rect( x , y ) 関数によって境界付けられます。このフーリエ変換は、${\displaystyle \operatorname {comb} (\xi ,\eta )}$ピクセル間の距離によって制御される関数を畳み込み、${\displaystyle \operatorname {sinc} (\xi ,\eta )}$ピクセル数によって制御される関数であり、${\displaystyle \operatorname {sinc} (\xi ,\eta )}$アクティブ領域に対応する関数。この最後の関数は、MTF関数の全体的な包絡線として機能します。ピクセル数が1よりはるかに大きい限り、アクティブ領域のサイズがMTFを支配します。

サンプリング関数:

$$${\displaystyle \mathbf {S} (x,y)=\left[\operatorname {comb} \left({\frac {x}{c}},{\frac {y}{d}}\right)*\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}},{\frac {y}{b}}\right)\right]\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {x}{M\cdot c}},{\frac {y}{N\cdot d}}\right)}$$$

センサーはM × Nピクセル を持つ$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {MTF_{sensor}} (\xi ,\eta )&={\mathcal {FF}}(\mathbf {S} (x,y))\\&=[\operatorname {sinc} ((M\cdot c)\cdot \xi ,(N\cdot d)\cdot \eta )*\operatorname {comb} (c\cdot \xi ,d\cdot \eta )]\cdot \operatorname {sinc} (a\cdot \xi ,b\cdot \eta )\end{aligned}}}$$

毎秒24フレームで動作する画像システムは、本質的には2次元領域をサンプリングする離散サンプリングシステムである。ナイキストの定理で述べられているのと同じ制約が、このシステムにも他の信号サンプリングシステムと同様に適用される。

すべてのセンサーには固有の時間応答特性があります。フィルムは、短解像度と長解像度の両方の極限において、相反則の破れによって制限されます。これは一般的に、1秒より長く、1/10,000秒より短い範囲とされています。さらに、フィルムは露光機構を通して送り出すための機械システム、または露光するための可動光学系を必要とします。これらは、連続するフレームを露光できる速度を制限します。

CCDとCMOSは、現代のビデオセンサーにおいて主流となっている。CCDの速度は、電荷が1つのサイトから別のサイトへ移動する速度によって制限される。一方、CMOSはセルを個別にアドレス指定できるという利点があり、これが高速撮影業界での優位性につながっている。

ビジコン、プランビコン、イメージインテンシファイアにはそれぞれ特定の用途があります。これらの装置のサンプリング速度は、使用する蛍光体の減衰率に依存します。例えば、P46蛍光体の減衰時間は2マイクロ秒未満ですが、P43蛍光体の減衰時間は2～3ミリ秒程度です。そのため、P43は1秒あたり1000フレーム（frame/s）を超えるフレームレートでは使用できません。蛍光体に関する情報については、「外部リンク」の項を参照してください。 

焦電型検出器は温度変化に反応します。そのため、静止したシーンは検出できず、チョッパーが必要となります。また、焦電型検出器には減衰時間があるため、その時間応答はバンドパス特性を持ちますが、他の検出器はローパス特性を持ちます。

シーン内の物体が撮像システムに対して動いている場合、結果として生じるモーションブラーによって空間解像度が低下します。短い積分時間を用いることでブラーを最小限に抑えることができますが、積分時間はセンサーの感度によって制限されます。さらに、動画におけるフレーム間の動きは、デジタル動画圧縮方式（MPEG-1、MPEG-2など）に影響を与えます。最後に、カメラ内部で実際の動きまたは見かけ上の動きを必要とするサンプリング方式（走査ミラー、ローリングシャッターなど）では、画像の動きが正しくレンダリングされない場合があります。したがって、センサーの感度やその他の時間関連要因は、空間解像度に直接的な影響を与えます。

デジタルシステム（ HDTVやVGAなど）の空間解像度は、各ピクセルが離散値としてデジタル化、送信、保存されるため、アナログ帯域幅とは無関係に固定されています。デジタルカメラ、レコーダー、ディスプレイは、カメラからディスプレイまで解像度が同一になるように選択する必要があります。一方、アナログシステムでは、カメラ、レコーダー、ケーブル、アンプ、送信機、受信機、ディスプレイの解像度はすべて独立しており、システム全体の解像度は最も性能の低いコンポーネントの帯域幅によって決まります。

アナログシステムでは、各水平線は高周波アナログ信号として伝送されます。そのため、各画素（ピクセル）はアナログ電気値（電圧）に変換され、ピクセル間の値の変化は電圧の変化となります。伝送規格では、サンプリングを一定時間で行うことが求められているため（下記参照）、単位時間あたりの電圧変化、つまり周波数を高めるには、1ラインあたりのピクセル数を増やす必要があります。このような信号は通常、ケーブル、アンプ、レコーダー、送信機、受信機によって帯域制限されるため、アナログ信号の帯域制限は空間解像度に対する効果的なローパスフィルタとして機能します。VHS（1走査線あたり240ライン）、ベータマックス（280ライン）、および新しいEDベータフォーマット（500ライン）の解像度の違いは、主に記録帯域幅の違いによって説明されます。

NTSC伝送規格では、各フィールドに262.5本のラインが含まれ、毎秒59.94フィールドが送信されます。したがって、各ラインは63マイクロ秒かかり、そのうち10.7マイクロ秒は次のラインへのリセットに使用されます。したがって、リトレースレートは15.734kHzです 。画像がほぼ同じ水平解像度と垂直解像度を持つようにするには（ケル係数を参照）、1ラインあたり228サイクルを表示できる必要があり、帯域幅は4.28MHzが必要です 。ライン（センサー）の幅がわかっている場合は、これを直接、空間解像度の単位である1ミリメートルあたりのサイクル数に変換できます。

B/G/I/Kテレビシステム信号（通常はPALカラー符号化で使用される）は、フレームの送信頻度が低い（ 50Hz）ものの、フレームに含まれるライン数が多く、幅も広いため、帯域幅の要件は同様である。

「識別可能な線」は1サイクルの半分を形成することに注意してください（1サイクルには暗い線と明るい線が必要です）。したがって、「228サイクル」と「456線」は同等の測定値です。

「システム解像度」（目やその他の光学情報の最終的な受信器を除いた意味での）を決定する方法は2つあります。1つ目は、まず画像とレンズ、次にその結果とセンサー（そしてシステムのすべての構成要素）に対して、2次元畳み込みを連続的に実行する方法です。この方法は計算コストが高いだけでなく、通常は撮影対象物が増えるごとにこの処理を繰り返す必要があります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Image(x,y)} ={}&\mathbf {Object(x,y)*PSF_{atmosphere}(x,y)*} \\&\mathbf {PSF_{lens}(x,y)*PSF_{sensor}(x,y)*} \\&\mathbf {PSF_{transmission}(x,y)*PSF_{display}(x,y)} \end{aligned}}}$$

もう一つの方法は、システムの各構成要素を空間周波数領域に変換し、それらの2次元結果を乗算することです。この方法では、対象物を参照することなくシステムの応答を決定できます。この方法は概念的に理解するのがかなり難しいものの、特に異なる設計の反復や画像化された対象物をテストする場合など、計算処理においては扱いやすくなります。

使用する変換はフーリエ変換である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {MTF_{sys}(\xi ,\eta )} ={}&\mathbf {MTF_{atmosphere}(\xi ,\eta )\cdot MTF_{レンズ}(\xi ,\eta )\cdot } \\&\mathbf {MTF_{センサー}(\xi ,\eta )\cdot MTF_{伝送}(\xi ,\eta )\cdot } \\&\mathbf {MTF_{表示}(\xi ,\eta )} \end{aligned}}}$$

システムの目的が人間にデータを提示して処理させることである場合、人間の目は多くのシステムにとって制約要因となる。

例えば、保安業務や航空管制業務においては、ディスプレイやワークステーションは、一般の人間が問題点を検知し、是正措置を指示できるように設計されなければなりません。その他にも、人間が目を使って重要な作業を行う場合、例えば、飛行（視覚による操縦）、車両の運転などが挙げられます。

人間の目の光学的中心（中心窩）における最高の視力は、 1線対あたり1分角未満であり、中心窩から離れるにつれて急速に低下する。

人間の脳は、目が捉えているものを理解するために、単なる線対以上のものを必要とする。ジョンソンの基準は、物体を認識または識別するために必要な眼の解像度、すなわちセンサーの解像度の線対数を定義するものである。

大気の長い経路を観測するシステムは、乱流によって制限される可能性があります。大気乱流の質を測る重要な指標は、シーイング直径（フリードのシーイング直径とも呼ばれる）です。時間的に一貫性のある経路は、等像面パッチと呼ばれます。

大口径レンズは、複数の光路を1枚の画像に統合することによって生じる開口平均化の影響を受ける可能性がある。

乱流は波長に対して約6/5乗の比例関係にある。したがって、可視光よりも赤外線波長の方が視界が良い。

短時間露光は、長時間露光に比べて乱流の影響を受けにくい。これは、「内側」と「外側」のスケールの乱流によるものである。可視光撮影の場合、短時間露光とは10ミリ秒未満（一般的には2ミリ秒未満）を指す。内側スケールの乱流は乱流中の渦によって発生し、外側スケールの乱流は大きな気塊の流れによって発生する。これらの気塊は通常ゆっくりと移動するため、積分時間を短くすることで乱流を軽減できる。

光学系の品質のみによって性能が制限されるシステムは、回折限界であると言われます。しかし、大気の長い経路を通して観測する可視光システムでは、通常、大気の乱流が制限要因となるため、ほとんどのシステムは乱流限界となります。補正は、適応光学や後処理技術を用いることで可能です。

$${\displaystyle \operatorname {MTF} _{s}(\nu )=e^{-3.44\cdot (\lambda f\nu /r_{0})^{5/3}\cdot [1-b\cdot (\lambda f\nu /D)^{1/3}]}}$$ どこ

• ${\displaystyle \nu }$空間周波数
• ${\displaystyle \lambda }$波長は
• fは焦点距離です
• Dは開口部の直径です
• bは定数（遠方伝搬の場合は1）
• そして$\displaystyle r_0$フライドの視直径は

様々な測定システムが利用可能であり、使用するシステムはテスト対象のシステムによって異なる場合がある。

コントラスト伝達関数（CTF）の典型的なテストチャートは、繰り返しパターンのバーで構成されています（下記の解説を参照）。限界解像度は、縦横それぞれにおいて、正しい数のバーが見える最小のバーのグループを特定することによって測定されます。ただし、いくつかの異なる周波数で黒と白の領域のコントラストを計算することで、コントラスト方程式を用いてCTFのポイントを決定することができます。 ${\displaystyle {\text{コントラスト}}={\frac {C_{\max }-C_{\min }}{C_{\max }+C_{\min }}}$ どこ

• ${\displaystyle C_{\max }}$これは最大値の正規化値です（例えば、白色領域の電圧またはグレースケール値）。
• ${\displaystyle C_{\min }}$これは最小値の正規化値です（例えば、黒色の領域の電圧値やグレースケール値など）。

システムがバーを識別できなくなると、黒と白の領域の値が同じになるため、コントラストは0になります。非常に低い空間周波数では、C _max = 1、C _min = 0となるため、変調は1になります。限界解像度を超えると、変調が見られる場合があります。これらはエイリアシングや位相反転を起こしている可能性があります。

干渉縞、正弦波、ISO 12233ターゲットのエッジなど、他の方法を用いる場合、MTF曲線全体を計算することが可能です。エッジに対する応答はステップ応答に似ており、ステップ応答の1階差分のフーリエ変換によってMTFが得られます。

アメリカ空軍1951年標的

USAF 1951解像度テストターゲットは、3本のバーターゲットのパターンで構成されています。通常、0.25～228サイクル/mmの範囲をカバーしています。各グループは6つの要素で構成されています。グループはグループ番号（-2、-1、0、1、2など）で指定され、これは最初の要素の空間周波数を得るために2を何乗するかを示します（例：グループ-2は0.25ラインペア/ミリメートル）。各要素は、グループ内の前の要素よりも小さい2の6乗根です（例：要素1は2^0、要素2は2^(-1/6)、要素3は2(-1/3)など）。分解できない最初の要素のグループ番号と要素番号を読み取ることで、目視による限界解像度を決定できます。複雑な番号付けシステムや参照チャートの使用は、OCR-A拡張フォントを使用してバーとスペースをサイクル/mmで直接ラベル付けする、改良されたが標準化されていないレイアウトチャートを使用することで回避できます。

$${\displaystyle Resolution=2^{{group}+{\frac {element-1}{6}}}}$$

EIA 1956 ビデオ解像度目標

EIA 1956解像度チャートは、テレビジョンシステムでの使用を想定して特別に設計されました。中央付近で徐々に広がる線には、対応する空間周波数が周期的に示されています。限界解像度は目視で確認できます。垂直解像度は通常、適用されるビデオ規格（I/B/G/K/NTSC/NTSC-J）によって決定されるため、最も重要なのは水平方向の限界解像度です。

• 角度分解能
• ディスプレイ解像度
• 画像解像度、コンピューティングにおいて
• 最小解像コントラスト
• 解像度テストに使用されるパターン、シーメンススター
• 空間解像度
• スーパーレンズ
• 超解像度

• ガスキル、ジャック・D. (1978)『線形システム、フーリエ変換、光学』、ワイリー・インターサイエンス 。ISBN 0-471-29288-5
• グッドマン、ジョセフ・W. (2004)、『フーリエ光学入門（第3版）』、ロバーツ＆カンパニー出版。ISBN 0-9747077-2-4
• フライド、デイビッド L. (1966)、「非常に長い露光時間と非常に短い露光時間におけるランダムに不均質な媒質を介した光学的解像度」、J. Opt. Soc. Amer. 56:1372-9
• ロビン、マイケル、およびポーリン、マイケル（2000）、『デジタルテレビの基礎』（第2版）、マグロウヒル・プロフェッショナル 。ISBN 0-07-135581-2
• スミス、ウォーレン・J. (2000)、『現代光学工学（第3版）』、マグロウヒル・プロフェッショナル 。ISBN 0-07-136360-2
• Accetta, JS および Shumaker, DL (1993)、『赤外線および電気光学システムハンドブック』、 SPIE/ERIM。ISBN  0-8194-1072-1
• ロッゲマン、マイケル、ウェルシュ、バイロン（1996）、『乱流を通じたイメージング』、CRC Press。ISBN  0-8493-3787-9
• タタルスキー、VI（1961）、『乱流媒体における波動伝播』、マグロウヒル、ニューヨーク

• ノーマン・コーレンのウェブサイトには、ダウンロード可能なテストパターンがいくつか掲載されています。
• カリフォルニア大学サンタクルーズ校のクレア・マックス教授による天文学289C「適応光学」の講義とノート
• ジョージ・オウが高解像度スキャンからEIAの1956年チャートを再現したもの
• センサーはレンズよりも「解像度が高い」のか？ - レンズとセンサーの解像度の相互作用について